클라인 4차

클라인 사분위는 7차 삼각형 타일링의 몫이다.

마지막으로, 클라인 사분위는 이중 타일링, 즉 3차 7각 타일링의 몫입니다.

쌍곡 기하학에서, 펠릭스 클라인의 이름을 딴 클라인 사분원은 이 속에 대해 가능한 가장 높은 차수의 자기동형 군을 $가진$ $3속$ , 즉, 방향이 뒤바뀔 수 있는 $경우$ 168 × 2= $336$ 자기동형 군을 가진 콤팩트한 리만 표면이다.따라서 클라인 사분위는 가능한 가장 낮은 속인 후르비츠 표면이다. 후르비츠의 자기동형성 정리를 참조하라.그 (배향 보존) 자기동형기는 교대군₅ A 다음으로 작은 비벨리안 단순군인 $PSL$ (2, $7)$ 과 동형이다.4진법은 (Klein 1878b)에서 처음 기술되었다.

클라인의 사분위는 표현 이론, 호몰로지 이론, 팔분 곱셈^{[citation needed]}, 페르마의 마지막 정리, 그리고 클래스 1의 가상 2차 수장에 대한 스타크-헤그너 정리를 포함한 수학의 많은 분야에서 발생한다. 성질에 대한 조사는 (레비 1999)를 참조하십시오.

원래 "클레인 4진수"는 대수 방정식에 의해 정의된 복소 투영 $평면 2$ P $(C)$ 의 서브셋을 가리킨다.이것은 특정한 리만 메트릭(P $(C$ )의² 최소 표면으로 만드는)을 가지며, 그 아래에서 가우스 곡률은 일정하지 않다.그러나 더 일반적으로 (이 기사에서처럼) 이것은 이 대수 곡선에 준거적으로 등가하는 리만 표면, 특히 등가점에 의해 $H$ 에² 자유롭게 작용하는 특정 콤팩트 군 $G$ 에 의한 $쌍곡면 2$ H의 몫인 표면으로 여겨진다.이것은 클라인 4진수가 $H$ 로부터² 물려받은 일정한 $곡률$ -1의 리만 메트릭을 제공한다.이 등각등가 리만 표면의 집합은 등각자기동형군이 독특한 단순순서군 168과 동형인 3속 모든 콤팩트 리만 표면과 정확히 동일하다.이 그룹은 $PSL(2$ , $7)이라고$ 도 하며, $동형 그룹 PSL(3$ , 2 $)$ 이라고도 합니다.공간이론을 커버함으로써 상기 $군$ G는 $3속$ 콤팩트 표면의 기본군과 동형이다.

닫힌 양식과 열린 양식

사분위의 두 가지 다른 형태를 구별하는 것이 중요하다.닫힌 사분위는 일반적으로 기하학에서 의미하며, 위상적으로는 3속이며 콤팩트한 공간입니다.열린 4진법 또는 "정지된" 4진법은 수 이론에서 흥미롭다; 위상적으로는 24개의 구멍이 있는 3속 표면이며, 기하학적으로 이 구멍들은 뾰족부이다.개방 사분위는 (위상적으로) 아래에서 논의한 바와 같이 타일링의 24개 중심을 일반 헵타곤으로 뚫음으로써 폐쇄 사분위수로부터 얻을 수 있다.열린 사분위수와 닫힌 사분위수는 쌍곡선이고^[1] 완전하지만 서로 다른 메트릭을 가지고 있습니다. 기하학적으로, 첨단은 구멍이 아닌 "무한점의 점"이기 때문에 열린 사분위는 여전히 완전합니다.

대수 곡선으로서

클라인 사분위는 $복소수$ C에 대한 투영 대수 곡선으로 볼 수 있으며, P $(C)$ 의² 균질 좌표[ $x : y : z]$ 에서 다음과 같은 사분위 방정식으로 정의된다.

x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x=0.

P $(C)$ 에서² 이 방정식의 궤적은 클라인에서 설명한 원래의 리만 표면이다.

사분위 대수 구조

콤팩트 클라인 4진수는 대수적 $정수장$ Z $(R)$ 의 링에서 $I=\langle \eta -2\rangle$ I $I=\langle \eta -2\rangle$ $I=\langle \eta -2\rangle$ $I=\langle \eta -2\rangle$ - $I=\langle \eta -2\rangle$ $⟩$ { $displaystyle$ I = \ $langle$ \ $eta$ - 2 $\rangle }$ 와 $I=\langle \eta -2\rangle$ 연관된 주요 합동 부분군인 Fuchsian 군 $δ(I)$ 의 작용에 의해 쌍곡면의 몫으로 구성될 수 있다.아이덴티티를 메모합니다.

(2-\eta)^{3}=7(\eta-1)^{2

2 – $as$ 를 대수 정수의 환에서 7의 소수 인수로 $나타낸다$ .

$δ(I)$ 그룹은 (2,3,7) 쌍곡 삼각형 그룹의 하위 그룹입니다.즉, $δ(I)$ 는 $생성기$ i, $j$ 및 관계들에 의해 결합대수로 생성되는 4분위 대수에서의 단위 노름 요소군의 부분군이다.

\displaystyle i^{2}=j^{2}=\eta,\qquad ij=-ji.}

4분위 대수에서 적절한 Hurwitz ${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ Q ${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ { $displaystyle$ { $mathcal { Q$ } $_$ { \ $mathrm$ { Hur } ${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ } ${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ （ $I$ ）는 1 $1+I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ + $1+I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ $1+I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ $1+I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ r { $displaystyle$ 1 + $I$ } { \ $mathcal$ { Q } } { $mathcal$ { $Hurrm$ } } } { hurrm } } } $one$ 。 $δ(I)$ 에서 쌍곡선 원소의 트레이스의 최소 절대값은 $\eta ^{2}+3\eta +2$ 2 + $\eta ^{2}+3\eta +2$ + $\eta ^{2}+3\eta +2$ ({ $displaystyle \eta ^{2}+3\eta$ + $2$ 이며, 이는 이 속 중 가장 높은 클라인 4차 원소의 수축기 값 3.936에 해당한다.

타일링

반사영역에 의한 사분위의 타일링은 3-7 키롬빌의 몫이다.

클라인 4진법은 대칭군(정규 지도)^[2]과 연결된 타일링을 허용하며, 이러한 타일링은 클라인의 원래 논문으로 거슬러 올라가는 대칭군을 이해하는 데 사용됩니다.그룹 동작을 위한 기본 도메인(전체 방향 반전 대칭 그룹, (2,3,7) 삼각형의 경우)이 주어진 반사 도메인(그룹 아래의 이 도메인의 이미지)은 타일링의 자기동형 그룹이 표면의 자기동형 그룹과 동일하도록 4차원의 타일링을 제공합니다. 즉 타일링 코일 라인의 반사입니다.그룹의 반사에 해당한다(기본 삼각형의 선에서의 반사는 3개의 반사를 발생시킨다).이 타일링은 쌍곡면의 3등분된 7각 타일링의 몫이며, 모든 후르비츠 표면은 몫과 같은 방식으로 타일링된다.

이 타일은 균일하지만 정규 타일이 아니며(스칼렌 삼각형에 의해), 정규 타일이 대신 사용되는 경우가 많습니다.(2,3,7) 패밀리의 타일링의 몫은 사용할 수 있다(그리고 동일한 자기동형성 그룹을 가질 것이다). 이 중 두 개의 정타일은 각각 3도(56개의 정점에서 만나는 것)의 24개의 정규 쌍곡선 헵타곤에 의한 타일링과 7도(24개의 정점에서 만나는 것)의 56개의 정삼각형에 의한 이중 타일링이다.자기동형성 그룹의 순서는 폴리곤의 수에 폴리곤의 가장자리 수를 곱한 값과 관련이 있습니다.

24 × 7 = 168

56 × 3 = 168

쌍곡면의 피복 타일링은 3차 7각 타일링과 7차 7각 타일링입니다.

자기동형군은 (타일링의 대칭으로는 실현되지 않는 대칭에 의해) 증가하여 마티외 그룹 ^[3]M을₂₄ 생성할 수 있다.

4차(부분 집합으로 4차 다양성의 분할)의 각 타일링에 대응하는 것은 추상 다면체이며, 그것은 기하학에서 추상화하고 타일링의 조합론만을 반영합니다(이것은 타일링에서 추상 다면체를 얻는 일반적인 방법입니다). 다면체의 꼭지점, 모서리 및 면은 집합과 동일합니다.입사 관계가 동일한 타일링의 꼭지점, 모서리 및 면과 추상 다면체의 (적도) 자기동형군은 4차원의 (적도) 자기동형군과 같다.이렇게 해서 지오메트리가 조합론으로 환원됩니다.

아핀 사분율

위는 사영 사분원(닫힌 다양체)의 타일링이다. 아핀 사분원은 정삼각형 타일링의 24개 정점에 해당하는 24개의 꼭지점(위상, 펑크)을 가지며, 7각 타일링의 24개 헵타곤의 중심과 동등하게 일치하며, 다음과 같이 실현될 수 있다.

뫼비우스 변환에 의한 쌍곡면의 상부 반평면 $모델 2$ H에 대한 SL(2, $R)$ 의 작용을 고려할 때, 아핀 클라인 사분위는 몫 $δ$ (7 $)\H$ 로² 실현될 수 있다(여기서 $δ(7)$ 는 동일 행렬에 일치하는 SL(2, $Z)$ 의 일치 부분군이다).

기본 영역 및 팬츠 분해

클라인 사분위는 푸치스 군의 작용에 의해 쌍곡면의 몫으로 얻을 수 있다.기본 도메인은 가우스 보넷 정리에 따라 $8\pi$ 8 $8\pi$ (\ $displaystyle$ 8 $\pi)$ 을 $8\pi$ 갖는 정규 14-gon입니다.이는 지표면을 테셀링하고 대칭 그룹을 생성하는 336(2,3,7) 삼각형을 포함하는 인접한 그림에서 확인할 수 있습니다.

클라인 4차원의 기본 영역입니다.표면은 변을 같은 숫자에 연관시켜 구한다.

(2,3,7) 삼각형에 의한 테셀레이션 안에는 24개의 정규 헵타곤에 의한 테셀레이션이 있습니다.표면의 수축기는 8개의 헥타곤 변의 중간점을 통과한다. 이러한 이유로 문헌에서는 "8단계 측지학"으로 언급되어 왔고, 아래 절에서 책의 제목이 붙여진 이유이다.그림에서 바지의 분해를 나타내는 모든 색상의 곡선은 수축기이지만, 이것은 부분집합일 뿐이며, 총 21개입니다.수축기의 길이는

(\displaystyle 16\sinh ^{-1}\left(\left)\tfrac {1}{2}\left(\csc ^{pi }{7})-4})\sin \sin \left \tfrac \pi }{7}\right)\sin \tfrac 약 3394646388.}

등가 닫힌 공식은 다음과 같습니다.

({displaystyle 8\cosh ^{-1}\leftfrac {3}{2}\sin ^{2}\leftfrac {7}\right).}

클라인 사분위는 3속 표면의 대칭군을 최대화하지만 수축기 길이를 최대화하지는 않는다.추측된 최대값은 "M3"(Schmutz 1993)라고 하는 표면이다.M3는 (2,3,12)개의 삼각형의 테셀레이션에서 유래하며, 그 수축기는 다중도 24와 길이를 가진다.

\ displaystyle 2 \ cosh ^ { - 1 } \ left ( 2 + { \ parrt { 3} } \ right ) \ 약 3 . 9833047820988736 。}

클라인 4진법 바지 분해예요왼쪽 그림은 기본 영역의 (2,3,7) 테셀레이션의 경계 측지학을 보여줍니다.오른쪽 그림에서 바지는 각각 다른 색으로 칠해져 있어 기본 영역의 어느 부분이 어느 팬츠에 속하는지 명확히 알 수 있습니다.

클라인 쿼티크는 수축기 6개를 따라 자르면 4쌍의 팬츠로 분해할 수 있다.이 분해는 펜첼-닐슨 좌표의 대칭 집합을 제공합니다. 여기서 길이 매개 변수는 모두 수축기 길이와 같으며 트위스트 매개 변수는 모두 수축기 길이의 $(\displaystyle\tfrac$ {1}{ $8$ 과 동일합니다. $l(S)$ l $l(S)$ ( $l(S)$ S ) $l(S)$ { $displaystyle$ l ( S ) $l(S)$ }을 $l(S)$ 으로 $l(S)$ 하면 좌표는

\displaystyle \left\{l(S), {\tfrac {l(S)}{8};l(S), {\tfrac {l(S)}{8};l(S), {\tfrac {l(S)}{8};{8}, {tfrac {L(S)};}

이 바지 분해에 대응하는 입방체 그래프는 사면체 그래프, 즉 각각 다른 3에 연결된 4개의 노드의 그래프입니다.사면체 그래프는 투영 Fano 평면에 대한 그래프와 유사합니다. 실제로 클라인 4차원의 자기동형군은 Fano 평면에 대한 자기동형입니다.

스펙트럼 이론

클라인 사분위의 첫 번째 양의 고유값에 해당하는 8개의 함수입니다.함수는 하늘색 선을 따라 0입니다.이러한 플롯은 FreeFEM++로 작성되었습니다.

클라인 사분위성의 스펙트럼 이론에 대해서는 거의 입증되지 않았다.클라인 사분위는 2속 볼자 표면과 마찬가지로 위상 등급에서 가장 큰 대칭 그룹을 가지고 있기 때문에, 일정한 음의 곡률을 가진 3속 모든 콤팩트 리만 표면 중에서 라플라스 연산자의 첫 번째 양의 고유값을 최대화하는 것으로 추측되어 왔다.또한 이러한 모든 표면 중 첫 번째 양의 고유값(8)의 다중성을 극대화하며, 이는 최근에 ^[4]입증된 사실이다.클라인 사분위의 고유값은 다양한 정확도로 계산되었습니다.처음 15개의 구별되는 양수 고유값은 다음 표에 해당 승수와 함께 표시됩니다.

클라인 사분위의 처음 15개의 양의 고유값에 대한 수치 계산
고유값	수치	다중성
$\displaystyle \displayda _{0}$	0	1
$\displaystyle \displayda _{1}$	2.67793	8
$\displaystyle \displayda _{2}}$	6.62251	7
$\displaystyle \displayda _{3}}$	10.8691	6
$\displaystyle \displayda _{4}$	12.1844	8
$\displaystyle \displayda _{5}$	17.2486	7
$\displaystyle \displayda _{6}$	21.9705	7
$\displaystyle \displayda _{7}$	24.0811	8
$\displaystyle \displayda _{8}$	25.9276	6
$\displaystyle \displayda _{9}$	30.8039	6
$\displaystyle \displayda _{10}$	36.4555	8
$\displaystyle \displayda _{11}$	37.4246	8
$\displaystyle \displayda _{12}$	41.5131	6
$\displaystyle \displayda _{13}$	44.8884	8
$\displaystyle \displayda _{14}$	49.0429	6
$\displaystyle \displayda _{15}$	50.6283	6

3차원 모델

4면체의 대칭을 가진 형태로 시작하여 안쪽으로 회전하여 더 큰 대칭을 나타내는 클라인의 4차 곡선을 3차원으로 삽입한 그렉 에건의 애니메이션.

$PSL(2,7)$ 은 SO( $3)$ 의 부분군( $또는$ O( $3))$ 으로 포함되어 있지 않기 때문에, 클라인 4차원은 3차원 도형으로 실현될 수 없다. 즉, $PSL(2,$ 7)과 같은 (회전) 대칭을 가지지 않는다.

그러나 클라인 4차원의 많은 3차원 모델은 클라인의 원본 ^[2]^[5]^[6]^[7]^[8]논문에서 시작되었으며, 클라인의 4차원의 특징을 보여주고 모든 기하학적이지는 않지만 위상적으로 대칭을 보존하고자 한다.결과 모델은 대부분 사면체(12차) 또는 8면체(24차) 대칭을 갖습니다. 나머지 7차 대칭은 쉽게 시각화할 수 없으며, 실제로 클라인의 논문 제목입니다.

팔분의 길 – 헬라만 퍼거슨의 조각과 함께 나온 책.

대부분의 경우 4차의 4면의 대칭(tubes/handles 수익률 이런 모양을 한 정사면체의 가장자리를 대체하고)로 불리는 부드러운 속 3표면,"tetruses"[8]도 또는"tetroids" 불리다면체의 근사치에 의해;[8]는 두 사건 모두에 이 모양의 3dimen에 있는던 1가지 이슈 때문이었습니다는 바탕이 되어 있다sions.가장 주목할 만한 매끄러운 모델(테트러스)은 캘리포니아 버클리 소재 수리과학연구소의 헬라만 퍼거슨(Helaman Ferguson)의 조각품인 "The Eightfold Way"로 1993년 11월 14일 공개되었다.제목은 삼각형의 지표면 중 하나의 정점에서 시작하여 임의의 가장자리를 따라 이동하며, 정점에 도달할 때 왼쪽과 오른쪽으로 번갈아 회전하면 항상 8개의 모서리 후에 원래 점으로 돌아간다는 사실을 나타냅니다.조각상의 취득은 4분의 1의 특성을 상세하게 설명하고 클라인의 논문을 영어로 번역한 논문집(Levy 1999)의 출판으로 이어졌다.사면체 대칭을 가진 다면체 모델은 대부분 잘린 사면체인 볼록한 선체를 가지고 있습니다. 예시와 예시는 (Schulte & Wills 1985)와 (Scholl, Schurmann & Wills 2002)를 참조하십시오.이러한 모델의 등변으로의 4면체의 팔이 뒤틀리와 이뤄질 수 없는 20삼각형 또는 56삼각형(56얼굴, 84모서리와 24vertices과 추상적으로, 정규 스큐 다면체{3,7 ,4},).로 구성된 – 이 heptagons planar 체포 될 수 있고 모드 non-convex,[9] 시스템도 있고, 24heptagons다.ls복잡도는 (정점) ^[2]정점이 아닌 (비정점) heptangular 면의 모양에 반영되기 때문에 삼각형 면보다 더 복잡합니다.

작은 입방정팔면체는 8면체 대칭을 가진 클라인 4차원의 타일링의 다면체 침지입니다.

대신에, quartic 8면체 대칭성을 갖는 다면체에 의해:그것은 몰두해 주어야 하는 닫힌 다면체( 있self-inte로 모델링 할 수 있Klein8면체 대칭으로 둘러싸인 도형과 무한함(한" 열린 다면체")[6]에 있는 점들 즉 3hyperboloids 직교 axes,[2]에 회의 약속을 이용하여 4차 다항식을 본따 모델링 할 수 있다.rsecti내장되어 ^[2]있지 않습니다.이러한 다면체는 오른쪽의 ^[3]작은 입방정팔면체와 같이 잘린 ^[10]입방체,^[9] 스너브 입방체 또는 마름모육면체를 포함한 다양한 볼록한 선체를 가질 수 있다.작은 입방정팔면체 침수는 삼각형의 일부(2개의 삼각형이 정사각형, 6개가 8각형)를 결합함으로써 얻을 수 있으며, 삼각형의 색칠을 통해 시각화할 수 있다(해당 타일은 위상적으로는 3-4 타일이지만 기하학적으로는 아니다).이 몰입은 또한 제곱과 팔각형의 ^[3]이등분선의 반대점을 교환하는 순열을 PSL(2,7)에 추가하여 기하학적으로 마티외 그룹₂₄ M을 구성하는 데 사용될 수 있다.

데생덴팡스

클라인 4차원의 자기동형군(리만 구면)에 의한 자기동형도와 관련된 dessin d'enfant는 정확히 3차 7각 타일링의 ^[11]1-skeleton이다.즉, 몫 맵은 $점$ 0, $1728$ 및θ에 걸쳐 적층됩니다. 1728로 나누면 벨리 함수(0, $1$ , $θ$ 로 적층됨)가 생성됩니다.여기서 56개의 정점(dessin의 검은 점)은 0 위에 있고 84개의 가장자리(desin의 흰색 점)의 중간점은 1 위에 있으며 24개의 heptagons의 중심은 무한대 위에 있습니다.그 결과 dessin은 엣지-트랜시티브와 "클린"을 의미하는 "플라토닉" dessin이다(각 흰색 점에는 원자가 2가 있음).

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ (레비 1999, 페이지 24)
^ ^a ^b ^c ^d ^e (Scholl, Schurmann 및 Wills 2002)
^ ^a ^b ^c (리처)
^ 막심 포르티에 부르케, 브람 페트리"클라인 4진수는 라플라시안의 첫 번째 양의 고유값의 다수를 최대화한다."
^ Baez, John C. (23 May 2013). "Klein's Quartic Curve". John Baez's stuff.
^ ^a ^b Westendorp, Gerard. "Platonic tilings of Riemann surfaces".
^ Stay, Mike. "Klein's quartic".
^ ^a ^b ^c Séquin, Carlo H. (2006). "Patterns on the Genus-3 Klein Quartic" (PDF). In Sarhangi, Reza; Sharp, John (eds.). BRIDGES Mathematical Connections in Art, Music, and Science Conference Proceedings. Bridges 2006. London, UK: Tarquin. pp. 245–254. ISBN 0-9665201-7-3. ISSN 1099-6702.
^ ^a ^b (Schulte & Wills 1985)
^ Egan, Greg (5 June 2017). "Klein's Quartic Curve". Science Notes.
^ 를 클릭합니다le Bruyn, Lieven (7 March 2007), The best rejected proposal ever, archived from the original on 27 February 2014.
^ 엘키, (Levy 1999) 섹션 4.4 (94-97페이지)
^ Martin, David; Singerman, Pablo (April 17, 2008), From Biplanes to the Klein quartic and the Buckyball (PDF)

문학.

Klein, F. (1878). "Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen" [On the order-seven transformation of elliptic functions]. Mathematische Annalen. 14 (3): 428–471. doi:10.1007/BF01677143. Levy 1999로 번역.
Elkies, N. (1998), "Shimura curve computations", Algorithmic number theory (Portland, OR, 1998), Lecture Notes in Computer Science, vol. 1423, Berlin: Springer, pp. 1–47, arXiv:math.NT/0005160, doi:10.1007/BFb0054850, ISBN 978-3-540-64657-0, MR 1726059
Levy, Silvio, ed. (1999), The Eightfold Way, Mathematical Sciences Research Institute Publications, vol. 35, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66066-2, MR 1722410. Paperback Edition, Cambridge University Press, 2001, ISBN 978-0-521-00419-0.리뷰 대상자:
Schulte, Egon; Wills, J. M. (1985-12-01), "A Polyhedral Realization of Felix Klein's Map {3, 7}₈ on a Riemann Surface of Genus 3", J. London Math. Soc., s2-32 (3): 539–547, doi:10.1112/jlms/s2-32.3.539, retrieved 2010-04-17
Karcher, H.; Weber, M. (1996), On Klein's Riemann Surface, CiteSeerX 10.1.1.47.1879, retrieved 2010-04-17^{[데드링크]}
Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M₂₄, retrieved 2010-04-15
Schmutz, P. (1993). "Riemann surfaces with shortest geodesic of maximal length". GAFA. 3 (6): 564–631. doi:10.1007/BF01896258.
Scholl, P.; Schürmann, A.; Wills, J. M. (September 2002), "Polyhedral Models of Felix Klein's Group", The Mathematical Intelligencer, 24 (3): 37–42, doi:10.1007/BF03024730, archived from the original on 2007-06-11{{citation}}: CS1 maint: bot: 원래 URL 상태를 알 수 없습니다(링크).
Singerman, David; Syddall, Robert I. (2003), "The Riemann Surface of a Uniform Dessin", Beiträge zur Algebra und Geometrie, 44 (2): 413–430

외부 링크

Klein's Quartic Curve, John Baez, 2006년 7월 28일
Greg Egan의 Klein의 Quartic Curve - 그림
Greg Egan의 Klein의 4차 방정식 - 그림

[1] (레비 1999, 페이지 24)

[scholl-2] (Scholl, Schurmann 및 Wills 2002)

[richter-3] (리처)

[4] 막심 포르티에 부르케, 브람 페트리"클라인 4진수는 라플라시안의 첫 번째 양의 고유값의 다수를 최대화한다."

[baez-5] Baez, John C. (23 May 2013). "Klein's Quartic Curve". John Baez's stuff.

[westendorp-6] Westendorp, Gerard. "Platonic tilings of Riemann surfaces".

[7] Stay, Mike. "Klein's quartic".

[sequin-8] Séquin, Carlo H. (2006). "Patterns on the Genus-3 Klein Quartic" (PDF). In Sarhangi, Reza; Sharp, John (eds.). BRIDGES Mathematical Connections in Art, Music, and Science Conference Proceedings. Bridges 2006. London, UK: Tarquin. pp. 245–254. ISBN 0-9665201-7-3. ISSN 1099-6702.

[schulte-9] (Schulte & Wills 1985)

[egan-10] Egan, Greg (5 June 2017). "Klein's Quartic Curve". Science Notes.

[11] 를 클릭합니다le Bruyn, Lieven (7 March 2007), The best rejected proposal ever, archived from the original on 27 February 2014.

[12] 엘키, (Levy 1999) 섹션 4.4 (94-97페이지)

[martin-13] Martin, David; Singerman, Pablo (April 17, 2008), From Biplanes to the Klein quartic and the Buckyball (PDF)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[10]

[9]

[11]

[12]

[13]

Search

클라인 4차

네임스페이스

더

목차

닫힌 양식과 열린 양식

대수 곡선으로서

사분위 대수 구조

타일링

아핀 사분율

기본 영역 및 팬츠 분해

스펙트럼 이론

3차원 모델

데생덴팡스

관련 리만 표면

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

문학.

외부 링크

Search

클라인 4차

닫힌 양식과 열린 양식

대수 곡선으로서

사분위 대수 구조

타일링

아핀 사분율

기본 영역 및 팬츠 분해

스펙트럼 이론

3차원 모델

데생덴팡스

관련 리만 표면

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

문학.

외부 링크

「」를 참조해 주세요.