원활한 완료

대수 기하학에서 매끄러운 아핀 대수 곡선 X의 매끄러운 완성(또는 매끄러운 압축)은 X를 오픈 서브셋으로 포함하는 완전한 매끄러운 대수 곡선이다.^[1]매끄러운 완성이 존재하며 완벽한 분야에 걸쳐 독특하다.null

예

과대망상 곡선의 부속 ${\displaystyle {형태}^{}}$는 y $2{\displaystyle {}^{}}$= P${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle y^{2}=P(x)}$로 표시할 수 있으며 여기서$$ (${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$C ${\$ {C$} ^{2}}$및 P(x)는 최소 5의 뿌리를 가지고 있다.$C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle P{\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^{$2}}$의 아핀 곡선의 자리스키 닫힘은 추가된$$ 고유한 무한 포인트에서 단수형이다.그럼에도 불구하고, 아핀 곡선은 그것의 부드러운 완성이라고 불리는 독특한 콤팩트 리만 표면에 삽입될 수 있다.$C{\displaystyle \mathbb{}}$ P 1 {\$displaystyle \mathb$ {$C} \mathb$ {P} $^1}에$대한$Riemann$ 표면 $투영$은${\displaystyle }$P (${\displaystyle x}$) ${\displaystyp$ P$(x)}$가 짝수인$$ 경우 무한의 단수점에 대해 2 대 1이고$$, 그렇지 않으면 1 대 1(단수)이다.null

이 원활한 완성은 또한 다음과 같이 얻을 수 있다.X 좌표를 사용하여 아핀 곡선을 아핀 선에 투영하십시오.아핀 선을 투영 선에 삽입한 후, 아핀 곡선의 함수 필드에서 투영 선의 정규화를 취한다.null

적용들

대수적으로 닫힌 장 위에 매끄럽게 연결된 곡선을 - 2+ r> $[\displaystyle 2g-2+r>0}$이면 쌍곡선이라고 하며, 여기서 g는 매끄러운 완성의 속이고 r은 가산점의 수이다.null

특성 0의 대수적으로 폐쇄된 필드 위에 X의 ${\displaystyle \mathrm{기본}}$ 그룹은 $2g{\displaystyle \mathrm{}}$ +${\displaystyle r}$- ${\displaystyle 1}$ $[\displaystyle 2g+r-1}$ 생성기로$$ 자유롭다(r>0).null

(디리클레의 단위 정리의 아날로그) X는 유한장 위에 매끄럽게 연결된 곡선이 되게 한다.그 다음 X의 정규 함수 O(X)의 링 단위는 r -1 등급의 아벨리아 그룹이다.

건설

베이스 필드가 완벽하다고 가정합시다.아핀 곡선 X는 일체형 투사형(완전) 곡선의 열린 부분 집합에 이형성이다.투영곡선의 정규화(또는 특이점 폭파)를 취하면 X가 매끄럽게 완성된다.이들의 점은 기준 분야에서 사소한 기능 분야의 개별적 가치 평가에 해당한다.null

시공에 의해 매끄러운 완성은 주어진 곡선을 어디에나 촘촘하게 열린 부분집합으로 포함하는 투영 곡선이며, 추가된 새로운 포인트는 매끄럽다.그러한 (프로젝트적인) 완성은 항상 존재하며 독특하다.null

베이스 필드가 완벽하지 않으면 매끄러운 아핀 곡선의 매끄러운 완성이 항상 존재하는 것은 아니다.그러나 위의 과정은 규칙적인 아핀 곡선으로 시작하면 항상 규칙적인 완성을 만들어 낸다(원활한 품종들은 규칙적이고, 완벽한 분야에서는 정반대되는 것이 사실이다).정기적인 완성은 고유하며, 적절성에 대한 가치평가 기준에 의해 어핀 곡선에서 완전한 대수적 다양성에 이르는 모든 형태론은 정규 완성에 고유하게 확장된다.null

일반화

X가 분리된 대수적 품종이라면, 나가타의^[2] 정리는 X가 완전한 대수적 품종의 오픈 서브셋으로 내장될 수 있다고 말한다.만약 X가 더없이 매끄럽고 베이스 필드가 특성 0을 가지고 있다면, 히로나카 정리 X를 경계로 하여 완전한 매끄러운 대수학 변종의 오픈 서브셋으로 삽입할 수도 있다.X가 준투영적이라면, 원활한 완성은 투영적으로 선택할 수 있다.null

그러나 1차원적인 경우와 달리 원만한 완성도의 독특함도 없고, 표준적인 것도 없다.null

참고 항목

• 과급곡선
• 볼자 표면

참조

참고 문헌 목록

• Griffiths, Phillip A. (1972). "Function theory of finite order on algebraic varieties. I(A)". Journal of Differential Geometry. 6 (3): 285–306. MR 0325999. Zbl 0269.14003.
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 52. New York, Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 0387902449. (제4장 참조).