디리클레 L-기능

수학에서 디리클레 L계열은 형태의 함수다.

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

여기서 $\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \chi}$은(는) 디리클레 문자로 실제 부분이 1보다 큰 복합 변수다.분석적 연속성에 의해, 이 기능은 전체 복잡한 평면의 meromorphic 함수로 확장될 수 있으며, 그 다음 Dirichlet L-함수라고 불리며 L(s, χ)을 나타내기도 한다.

이 함수들은 피터 구스타프 르주네 디리클레(Dirichlet 1837년)에 소개한 피터 구스타프 르주네 디리클레(Peter Gustav Lejeun Dirichlet)의 이름을 따서 그의 이름도 들어 있는 산술 진행의 프리타임에 대한 정리를 증명하기 위해 붙여진 이름이다.증명 과정에서 디리클레는 L(s, χ)이 s = 1에서 0이 아니라는 것을 보여준다. 더구나 χ이 주체인 경우 해당 디리클레 L-함수는 s = 1에서 간단한 극을 가진다.

오일러 제품

디리클레 문자 χ은 완전히 곱하기 때문에, 그 L-함수는 절대 수렴의 반평면에서도 오일러 제품으로 쓸 수 있다.

${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p}\좌(p)1-\chi(p)p^{-s}\우)^{-1}{{\text{{Re}}의 경우,}$

그 제품이 모든 소수보다 높은 곳에 있다.^[1]

원시 문자

L-기능에 대한 결과는 일반적으로 결과가 사소한 합병증을 가진 충동적인 문자로 확장될 수 있지만, 캐릭터가 원시적이라고 가정할 경우 더 단순하게 언급되는 경우가 많다.^[2]그 이유는 다음과 같이 유도하는$$ 충동적인 문자 ${\displaystyle$ \$chi }$과 원시 문자$$ ${\$^{\$star }}$의 관계 때문이다.^[3]

${\displaystyle \chi (n)={\prease}\chi ^{\star }(n),&\mathrm {if}\gcd(n,q)=1\0,&\mathrm {if} \gcd(n,q)\neq 1\end{case}}}}}}$

(여기서 q는 χ의 계수다.)오일러 제품을 적용하면 해당 L-기능 사이에 다음과 같은 간단한 관계가 나타난다.^[4][5]

${\displaystyle L(s,\chi )=L(s,\chi ^{\star }}\prod _{pq}\prod(1-{\frac {\chi ^{\star }}{p^{s}}}\right)}$

(이 공식은 Eiler 제품이 Re(s) 1 이상일 때만 유효함에도 불구하고 분석적 연속성에 의해 모든 s에 대해 유지된다.)이 공식은 χ의 L-기능이 χ을 유도하는 원시문자의 L-기능과 동일하며, 한정된 수의 요인만을 곱한 것을 보여준다.^[6]

특수한 경우, 주 문자 $character{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ modulo$$ q의 L-기능은 Riemann zeta 함수의 관점에서 표현될 수 있다.^[7][8]

${\displaystyle L(s,\chi _{0}=\zeta(s)\prod _{pq}(1-p^{-s})}$

함수 방정식

디리클레 L-기능은 기능 방정식을 만족시켜 복잡한 평면 전체에서 그것들을 분석적으로 지속할 수 있는 방법을 제공한다.기능 방정식은 $L{\displaystyle }$(${\displaystyle s,}$ $){\displaystyle L(s,\chi$)의 값과$$ L${\displaystyle (1}$- $){\displaystyle L(1-s,{\overline{\chi }}}}}}$의 값을 연관시킨다$.$ 여기서 χ은 기능 방정식을 표현하는 한 가지 방법이 다음과 같다.^[9]

${\displaystyle L(s,\chi )=\varepsilon(\chi )2^{s}\pi ^{1}q^{1/2-s}\sin \좌({\frac {\pi }{2}}(s+a)\우)\감마(1-s)L(1-s,{\overline{\chi }}).}$

이 방정식에서 γ은 감마 함수를 나타내며, χ(-1)이 1이면 a가 0이고, χ(-1)이 -1이면 1이다.

${\displaystyle \varepsilon(\chi )={\frac {\tau(\chi )}{i^{a}{\sqrt{q}}}}}}}$

여기서 τ(χ)은 가우스 합이다.

$\displaystyle \tau(\chi )=\sum _{n=1}^{q}\chi(n)\exp(2\pi in/q)}$

uss(χ) = q^1/2, 그래서 ɛ(χ) = 1인 가우스 합계의 속성이다.^[10][11]

기능 방정식을 기술하는 또 다른 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle \xi(s,\chi )=\좌({\frac {q}{\pi }}\우)^{(s+a)/2}\감마 \좌({\frac {s+a}{2}}\우)L(s,\chi )}$

함수 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.^[9][11]

${\displaystyle \xi(s,\chi )=\varepsilon(\chi )\xi(1-s,{\overline {\chi }).}$

기능 방정식은 L){L(s,\chi)\displaystyle}(그리고 ξ(s, χ){\displaystyle \xi(s,\chi)}(s, χ)(다시, 이것은 그 χ은 원시적인 성격으로 가정한다 s의 전체 기능을 내포하고 있q을과 q, 1의 나머지.만약 q1게 국가 주의적 관점에서 서술, 그때 나는(s, χ))ζ(s){\displaystyle L(s,\chi)=\zeta(s)}s로)1.)[12][11]장대를 가지고 있다.

일반화는 기능 방정식(L-function)을 참조하십시오.

제로스

χ 원초적 문자 modulo q, q > 1이 되도록 한다.

R(s) > 1을 가진 L(s, χ)의 0은 없다. R(s) < 0의 경우, 특정 음의 정수에는 0이 있다.

• χ(-1)이 1이면, Re(s)가 0인 L(s, χ)의 유일한 0은 -2, -4, -6, ....(s = 0에도 0이 있다.)이는 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle s\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$) ${\$의 극에 해당한다$.$^[13]
• χ(-1) = -1인 경우, Re(s)가 0인 L(s, ,)의 유일한 0은 -1, -3, -5, ....의 단순 0이다.이는 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}(s\frac{}{}}$+ 1 ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$) ${\$}}: $)$의 극에 해당한다$.$^[13]

이것들은 사소한 0이라고 불린다.^[9]

나머지 0은 임계 스트립 0 ≤ Re(s) ≤ 1에 위치하며, 비극성 0으로 불린다.비경쟁 0은 임계선 Re(s) = 1/2에 대해 대칭이다.즉, ${\displaystyle L}$ ( ${\displaystyle \mathrm{of}}$ ,${\displaystyle )}$) = 0 ${\displaystyle$ L$(\rho ,\chi )=0}$이면 $L{\displaystyle (}$1 - ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle -}$, ${\displaystyle \mathrm{\rho }\stackrel{}{})}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L(1-{\{ overline{\rho },\chi$)=$0}$ 역시$$ 기능 방정식으로 인해 나타나는 것이다.만약 χ이 진짜 캐릭터라면, 비경쟁적인 0도 실제 축에 대칭이지만, χ이 복잡한 캐릭터라면 대칭이 되지 않는다.일반화된 리만 가설은 모든 비경쟁적인 0이 임계선 Re(s) = 1/2에 놓여 있다는 추측이다.^[9]

시겔 0이 존재할 수 있는 범위까지, 라인 Re(s) = 1을 포함하거나 리만 제타 함수의 그것과 유사한 0-프리 영역은 모든 디리클레 L-기능에 존재하는 것으로 알려져 있다. 예를 들어, χ mod의 비실재 q.

${\displaystyle \proc{c}{\log {\big (}q(2+ \big )}}\ }}$

β + iγ의 경우 비실제 0.^[14]

후르비츠 제타함수와의 관계

디리클레 L 기능은 합리적인 값으로 허위츠 제타 함수의 선형 조합으로 쓸 수 있다.정수 k ≥ 1을 고정하면 문자 modulo k에 대한 디리클레 L 기능은 a = r/k 및 r = 1, 2, ...k인 ζ(s,a)의 일정한 계수를 갖는 선형 결합이다. 즉, 합리적인 a에 대한 Hurwitz zeta 함수는 디리클레 L-기능과 밀접하게 관련된 분석적 특성을 가지고 있다는 것을 의미한다.구체적으로 character은 캐릭터 모둘로 k가 되게 한다.그러면 Dirichlet L-function을 다음과 같이 쓸 수 있다.^[15]

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\inflt }{n^{n^{s}}}}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{r=1}^{k}}\zeta \lefrc(s, {r}{r}오른쪽).}$

참고 항목

• 일반화 리만 가설
• L-기능
• 모듈성 정리
• 아르틴 추측
• L 기능의 특수 값

메모들

참조

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Apostol, T. M. (2010), "Dirichlet L-function", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Davenport, H. (2000). Multiplicative Number Theory (3rd ed.). Springer. ISBN 0-387-95097-4.
• Dirichlet, P. G. L. (1837). "Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält". Abhand. Ak. Wiss. Berlin. 48.
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory (2nd ed.). Springer-Verlag.
• Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2006). Multiplicative number theory. I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. Vol. 97. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). Analytic Number Theory. American Mathematical Society Colloquium Publications. Vol. 53. Providence, RI: American Mathematical Society.
• "Dirichlet-L-function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]