힐베르트의 16번째 문제

힐베르트의 16번째 문제는 1900년에 열린 국제 수학자 대회의 파리 회의에서 데이비드 힐베르트가 수학의 23개 문제 목록의 일부로 제기한 것입니다.^[1]

원래 문제는 대수 곡선과 표면의 위상 문제(Problem der Topologie algorischer Kurven und Flächen)로 제기되었습니다.

실제로 문제는 수학의 다른 분야에서 두 가지 유사한 문제로 구성되어 있습니다.

• n차의 실제 대수 곡선의 가지들의 상대적인 위치에 대한 조사(그리고 유사하게 대수 표면에 대해서도).
• n도의 2차원 다항식 벡터장에서의 한계 사이클 수에 대한 상한의 결정 및 이들의 상대적인 위치의 조사.

첫 번째 문제는 n = 8에 대해 아직 해결되지 않았습니다. 따라서 이 문제는 실제 대수기하학에서 힐베르트의 16번째 문제를 이야기할 때 보통 의미하는 바입니다. 두 번째 문제도 해결되지 않은 채 남아 있습니다. 제한 주기 수에 대한 상한은 n > 1에 대해 알려져 있지 않으며, 이것은 동적 시스템 분야에서 힐버트의 16번째 문제가 일반적으로 의미하는 것입니다.

스페인 왕립 수학 협회는 힐베르트의 16번째 문제에 대한 설명을 발표했습니다.^[2]

힐베르트의 16번째 문제의 첫 부분

1876년, Harnack은 실제 사영 평면에서의 대수적 곡선들을 조사했고 n차의 곡선들은 그 이상을 가질 수 없다는 것을 발견했습니다.

${\displaystyle {n^{2}-3n+4 \over 2}}$

연결된 부품을 분리합니다. 또한 그는 그 상한에 도달하는 곡선을 구성하는 방법을 보여주었고, 따라서 그것이 가능한 최선의 경계임을 보여주었습니다. 성분 수가 그 정도인 곡선을 M-곡선이라고 합니다.

힐버트는 6도의 M-곡선을 조사한 결과, 11개의 성분이 항상 특정한 방식으로 그룹화되어 있다는 것을 발견했습니다. 이제 수학계에 대한 그의 도전은 M-곡선의 구성요소의 가능한 구성을 완전히 조사하는 것이었습니다.

또한 그는 하넉의 곡선 정리를 대수적 표면으로 일반화하고 성분 수가 최대인 표면에 대한 유사한 조사를 요청했습니다.

힐베르트의 16번째 문제의 두번째 부분

여기서 우리는 실제 평면에서의 다항식 벡터장을 고려할 것인데, 이것은 다음과 같은 형태의 미분 방정식 체계입니다.

${\displaystyle {dx \overdt}=P(x,y),\qquad {dy \overdt}=Q(x,y)}$

여기서 P와 Q는 모두 n차의 실수 다항식입니다.

푸앵카레는 이 다항식 벡터장들을 연구했는데, 푸앵카레는 시스템에 대한 정확한 해를 찾기 위한 탐색을 포기하고 대신 가능한 모든 해의 집합의 질적 특징을 연구하려고 시도했습니다.

많은 중요한 발견들 중에서, 그는 그러한 해들의 극한 집합이 정지점일 필요는 없으며 오히려 주기적인 해일 수 있다는 것을 발견했습니다. 이러한 솔루션을 한계 사이클이라고 합니다.

힐베르트의 16번째 문제의 두 번째 부분은 n차 다항식 벡터장의 극한 사이클 수에 대한 상한을 결정하고 첫 번째 부분과 마찬가지로 상대적인 위치를 조사하는 것입니다.

결과.

1991/1992년에 Yulii Ilyascheno와 Jean Ecalle에 의해 평면의 모든 다항식 벡터 필드는 유한한 많은 제한 주기만을 갖는다는 것이 밝혀졌습니다(1923년 앙리 둘락이 이 진술의 증거를 주장한 기사는 1981년에 공백을 포함하는 것으로 나타났습니다). 이 문장은 무한히 많은 동심 한계 사이클을 갖는 평면에서 매끄러운 (C^∞) 벡터 필드를 구성하기 쉽기 때문에 명확하지 않습니다.^[3]

n도의 평면 다항식 벡터 필드의 한계 사이클 수에 대한 유한 상한 H(n)가 존재하는지 여부에 대한 질문은 n > 1에 대해 해결되지 않은 채로 남아 있습니다. (H(1) = 0은 선형 벡터 필드에 한계 사이클이 없기 때문입니다.) 에브게니 란디스와 이반 페트로프스키는 1950년대에 해결책을 주장했지만 1960년대 초에 잘못된 것으로 나타났습니다. 4개의 한계 사이클을 갖는 2차 평면 벡터 필드가 알려져 있습니다.^[3] 2차 평면 벡터 필드에서 4개의 한계 사이클의 수치 시각화 예는 에서 찾을 수 있습니다.^[4][5] 일반적으로 수치적분에 의한 한계 사이클 수 추정의 어려움은 숨은 어트랙터인 인력의 영역이 매우 좁은 중첩 한계 사이클과 반안정 한계 사이클에 기인합니다.

그 문제들의 원래 공식.

그의 연설에서 힐베르트는 다음과 같은 문제들을 제시했습니다.^[6]

n도 대수 곡선의 닫힌 가지와 분리된 가지의 상한은 Harnack(Mathematische Annalen, 10)에 의해 결정되었습니다. 이로부터 평면에서 가지의 상대적인 위치에 대한 추가 질문이 발생합니다. 6도의 곡선을 보면 - 인정하건대 – 하넉에 따르면 11개의 가지가 있을 수 있는 것은 결코 분리될 수 없으며, 오히려 내부에 또 다른 가지가 있고 외부에 9개의 가지가 있거나 반대로 존재해야 한다고 스스로 확신했습니다. 분리된 가지에 대한 상한의 상대적 위치에 대한 철저한 조사가 매우 흥미로운 것으로 보이며, 마찬가지로 공간에서 대수적 표면의 시트의 수, 모양 및 위치에 대한 상응하는 조사도 아직 알려지지 않았습니다. 3차원 공간에서 4도의 표면이 최대로 가질 수 있는 시트의 수(cf. 론, 플레첸 비에테르 오르드눙, 프라이슈리펜더 퓌르스트리히 자블로노프스키셴 게셀샤프트, 라이프치히 1886)

힐베르트는 다음과 같이 말합니다.^[6]

순수하게 대수적인 이 문제에 이어서 저는 제가 보기에는 연속적인 계수 변화와 같은 방법으로 공격을 받을 수 있다는 질문을 던지고 싶습니다. 그리고 미분 방정식으로 정의되는 곡선 계열의 위상과 유사한 중요성을 갖는 답은 형태의 1차 미분 방정식에 대한 푸앵카레 경계 사이클(사이클 리미트)의 상한과 위치에 대한 질문입니다.

${\displaystyle {dy \over dx}={Y \over X}}$

여기서 X, Y는 정수이고, 반응에서 n번째 차수의 유리 함수입니다. x, y 또는 동형으로 작성됨:

${\displaystyle X\left(y{dz \over dt}-z{dy \over dt}\right)+Y\left(z{dx \over dt}-x{dz \over dt}\right)+Z\left(x{dy \over dt}-y{dx \over dt}\right)=0}$

여기서 X, Y, Z는 x, y, z에서 n번째 차수의 적분, 유리, 동차 함수를 의미하며 후자는 매개변수 t의 함수로 간주됩니다.

참고문헌

외부 링크

• 16번째 힐베르트 문제: 2차원 동적 시스템에서 랴푸노프 양과 리미트 사이클의 계산