속(수학)

Genus (mathematics)
A 속-2 표면

수학에서, 속은 몇 가지 다른 의미를 가지고 있지만 밀접하게 연관되어 있다. 아마도 속주를 도입하는 가장 빠르고 쉽고 직관적인 방법은 표면의 "구멍"의 숫자일 것이다.[1] 그래서 구에는 속 0이 있고, 토러스에는 속 1이 있다.

위상

방향성 표면

이 애니메이션에서 보여지는 커피잔과 도넛은 둘 다 속 1을 가지고 있다.

연결되고 방향성이 있는 표면의 속은 결과 다지관이 분리되지 않은 상태에서 교차되지 않는 닫힌 단순 곡선을 따라 절단된 최대 개수를 나타내는 정수다.[2] 그것은 그것의 손잡이 수와 같다. 또는, 닫힌 표면의 관계 χ = 2 - 2g을 통해 오일러 특성 χ의 관점에서 정의할 수 있으며, 여기서 g는 속이다. b 경계 구성요소가 있는 표면의 경우 방정식은 χ = 2 - 2g - b로 표시된다. 비전문가의 용어로, 그것은 물체가 가진 "구멍"의 숫자다. ("구멍"은 도넛 구멍의 의미로 해석된다; 텅 빈 구는 이런 의미에서 0개의 구멍을 가진 것으로 간주될 것이다.) 도넛, 즉 토러스에는 그러한 구멍이 1개 있는 반면 구는 0개 있는 것이다. 위에 그려진 녹색 표면에는 관련 종류의 구멍이 2개 있다.

예를 들어,

  • 구 S와2 원반은 둘 다 0속이다.
  • 토러스에는 손잡이가 달린 커피 머그 표면과 마찬가지로 속 1개가 있다. "토피학자는 도넛과 커피 머그잔을 구분할 수 없는 사람들"이라는 농담의 근원이다.

속 g의 표면의 명시적 구성은 기본 다각형에 관한 논문에서 제시되어 있다.

  • 방향성 표면의 속

  • 속 0

  • 속1

  • 속2

  • 속 3

간단히 말해서, 방향성이 있는 표면의 속 값은 그것이 가진 "구멍"의 수와 같다.[3]

방향성이 없는 표면

연결되고 방향성이 없는 닫힌 표면의 비방향성 속, 데미게너스 또는 오일러 속은 구에 부착된 교차 캡의 수를 나타내는 양의 정수다. 또는 오일러 특성 χ의 관점에서 닫힌 표면에 대해 χ = 2 - k 관계를 통해 정의할 수 있으며, 여기서 k는 방향성이 없는 속이다.

예를 들어,

매듭

매듭 K의 속은 K에 대한 모든 Seifert 표면의 최소 속성으로 정의된다.[4] 그러나 매듭의 세이퍼트 표면은 경계를 가진 다지관이며, 경계가 매듭인 경우, 즉 단위 원과의 동형이다. 그러한 표면의 속은 경계를 따라 단위 원반을 붙여서 얻은 2매니폴드의 속이라고 정의된다.

핸들바디

3차원 핸들바디의 속은 결과 다지관이 분리되지 않은 상태로 내장형 디스크를 따라 최대 절단 횟수를 나타내는 정수다. 그것은 그것의 손잡이 수와 같다.

예를 들어,

  • 공은 0의 속이다.
  • 고체 토러스 D2 × S는1 속 1을 가지고 있다.

그래프 이론

주요 기사: 그래프 포함

그래프의 속은 그래프가 손잡이가 n개인 구체(즉, 속 n의 방향 표면)에 교차하지 않고 그릴 수 있는 최소 정수 n이다. 따라서 평면 그래프는 자기 교차 없이 구체에 그릴 수 있기 때문에 0속이다.

그래프의 비방향성 속은 그래프가 n개의 교차 캡(즉, (방향성이 없는) 속 n의 비방향성 표면)으로 구에 교차하지 않고 그릴 수 있는 최소 정수 n이다. (이 숫자를 데미게노스라고도 한다.)

오일러 속은 그래프가 n 크로스캡이 있는 구체 또는 n/2 핸들이 있는 구체에 교차하지 않고 그릴 수 있는 최소 정수 n이다.[5]

위상 그래프 이론에는 집단의 속성에 대한 몇 가지 정의가 있다. 아서 T. 화이트는 다음과 같은 개념을 소개했다. 그룹 G의 속은 G에 대한 (연결되지 않은, 리디렉션되지 않은) Cayley 그래프의 최소 속이다.

그래프 속 문제는 NP-완전이다.[6]

대수 기하학

모든 투영 대수 체계 X의 속에는 산술 속과 기하 속이라는 두 가지 관련 정의가 있다.[7] X가 복잡한 숫자들을 정의한 대수 곡선일 때, 그리고 X에 단수점이 없다면, 이 정의들은 X의 리만 표면(복잡한 점의 다지관)에 적용되는 위상학적 정의와 일치한다. 예를 들어 대수기하학에서 나온 타원곡선의 정의는 주어진 이성적인 점이 있는 속 1의 비성술적 투영곡선을 연결한 것이다.

By the Riemann–Roch theorem, an irreducible plane curve of degree given by the vanishing locus of a section has geometric genus

여기서 s는 적절히 계수되었을 때의 특이점 수입니다.

생물학

속은 핵산이나 단백질의 화학적 상호작용의 그물에 의해 확장된 그래프에 대해서도 계산할 수 있다. 특히 사슬을 따라 그 속의 성장을 연구할 수도 있다. 그러한 함수(속추적이라 함)는 생체분자의 위상학적 복잡성과 영역 구조를 보여준다.[8]

참고 항목

인용구

  1. ^ Popescu-Pampu 2016, 페이지 xiii, 소개.
  2. ^ 멍크레스, 제임스 R. 위상 제2권 상류 새들 강: 프렌티스 홀, 2000.
  3. ^ Weisstein, E.W. "Genus". MathWorld. Retrieved 4 June 2021.
  4. ^ Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3678-1
  5. ^ Graphs on surfaces.
  6. ^ Thomassen, Carsten (1989). "The graph genus problem is NP-complete". Journal of Algorithms. 10 (4): 568–576. doi:10.1016/0196-6774(89)90006-0. ISSN 0196-6774. Zbl 0689.68071.
  7. ^ Hirzebruch, Friedrich (1995) [1978]. Topological methods in algebraic geometry. Classics in Mathematics. Translation from the German and appendix one by R. L. E. Schwarzenberger. Appendix two by A. Borel (Reprint of the 2nd, corr. print. of the 3rd ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58663-0. Zbl 0843.14009.
  8. ^ Sułkowski, Piotr; Sulkowska, Joanna I.; Dabrowski-Tumanski, Pawel; Andersen, Ebbe Sloth; Geary, Cody; Zając, Sebastian (2018-12-03). "Genus trace reveals the topological complexity and domain structure of biomolecules". Scientific Reports. 8 (1): 17537. doi:10.1038/s41598-018-35557-3. ISSN 2045-2322. PMC 6277428. PMID 30510290.

참조