리만-후르비츠 공식

수학에서 리만-베른하르트 리만과 아돌프 후르비츠의 이름을 딴 후르비츠 공식은 하나가 다른 하나의 층으로 덮인 경우 두 표면의 오일러 특성의 관계를 설명합니다. 따라서 이 경우 래미네이션과 대수적 토폴로지를 연결합니다. 이것은 다른 많은 사람들의 원형 결과이며, 리만 곡면(그 기원인)과 대수 곡선의 이론에 자주 적용됩니다.

진술

컴팩트하고 연결된 방향성 표면 $S$ ${\displaystyle$ S$}$의 경우$$오일러 특성$$χ (S) {\$displaystyle$\chi (S))는

${\displaystyle }$S$)$ = 2 - 2 g {\displaystyle \chi ${\displaystyle (}$S) = 2 - 2 g},

여기서 g는 속(손잡이의 수)이며, 베티 수는 $1{\displaystyle \mathrm{},}$ ${\displaystyle \mathrm{2g},}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0,}$… ${\displaystyle 1, 2g, 1, 0, 0,\dots}$ 이므로$,$ 표면을 덮는 지도의 경우, (증폭되지 않은)

${\displaystyle \pi \colon S'\to S}$

그것은 사변적이고 $차수{\displaystyle }$ N ${\displaystyle$ N$}$의 공식을 갖습니다$.$

${\displaystyle \chi (S')=N\cdot \chi (S)}$

그것은 오일러 특성이 위상 불변이기 때문에 우리가 할 수 있는 자격이 있는$$것처럼 $적어도{\displaystyle }$ S ${\displaystyle$ $S$$}$의 충분히 미세한 삼각측량을 사용한다면 S {\displaystyle $S$$}$의 각 심플렉스는 $정확히{\displaystyle {}^{}}$N ${\$$displaystyle$ N$}$으로 $덮여야{\displaystyle }$ 하기$$ 때문입니다$.$ 리만이 뭐..후르비츠 공식은 수정을 추가하여 (시트가 함께 나오는) 라미네이션을 허용하는 것입니다.

$이제$ S ${\displaystyle$ $S$$}$와 $S{\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ${\displaystyle$ $S$$'}$가 리만 곡면이고, 지도$$π${\displaystyle$\pi}가 복소해석학이라고 가정합니다. 지도$$π {\displaystyle \pi}는 P와 π(P) 근처에 분석 좌표가 존재하여 π가 π(z) = z, n > 1의 형태를 취할 경우 S'의 한 점 P에 라미네이팅된다고 합니다. 이에 대한 동등한 사고방식은 π(P)가 U에 하나의 원시영상을 가질 수 있도록 P의 작은 이웃 U가 존재하지만 U에 있는 다른 점의 영상은 U에 정확히 n개의 원시영상을 갖는다는 것입니다. 숫자 n은 P에서의 라미네이션 지수라고 불리고 e로도 표시됩니다. S'의 오일러 특성을 계산할 때 π(P) 위에 있는 P의 e - 1 복사본(즉, π(P)의 역 이미지)이 손실되는 것을 알 수 있습니다. 이제 S와 S'의 삼각측량을 각각 분기점과 램핑점에 정점이 있는 것으로 선택하고 이를 이용하여 오일러 특성을 계산해 보겠습니다. 그러면 S'는 d에 대한 d차원 면의 개수는 0과 다르지만 예상되는 정점보다 적습니다. 따라서 "수정된" 공식을 찾습니다.

${\displaystyle \chi (S')=N\cdot \chi (S)-\sum _{P\in S'} (e_{P}-1)}$

또는 일반적으로 사용되는${\displaystyle }$것처럼 ${\displaystyle \mathrm{해당}}$ χ${\displaystyle (X)}$ = 2 - ${\displaystyle 2}$ g(X) {\displaystyle \chi(X) = 2-2 g(X)}를 사용하고 -1을 곱합니다.

${\displaystyle 2g(S')-2=N\cdot (2g(S)-2)+\sum _{P\in S'}(e_{P}-1)}$

(확실히 많은 P를 제외한 모든 P는 e = 1이므로 상당히 안전합니다.) 이 공식은 리만으로 알려져 있습니다.후르비츠 공식과 후르비츠 정리.

이 공식의 또 다른 유용한 형태는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \chi (S')-r=N\cdot (\chi (S)-b)}$

여기서 r은 S'에서 커버가 사소하지 않은 라미네이션(라미네이션 포인트)을 갖는 점이고 b는 그러한 점(가지 포인트)의 이미지인 S의 점 수이다. 실제로$$이 공식을 얻기 위해서는 π${\displaystyle$\pi}의 제한이 적용되도록 S에서 분기점의 서로소 디스크 이웃과 S'의 램리점의 서로소 디스크 이웃을 제거합니다. 그런 다음 일반적인 차수 공식을 제한에 적용하고 디스크의 오일러 특성이 1과 같다는 사실을 사용하고 연결된 합 아래에서 오일러 특성의 덧셈을 사용합니다.

예

리만 구에서 값을 갖는 동형 $함수$로 간주되는 Weierstrass ℘ ${\displaystyle$ \wp } - 함수는 타원 곡선(속 1)에서 투영 선(속 0)으로의 지도를 산출합니다. 이중 커버(N = 2)이며, 4개 지점(e = 2)에서만 래미네이션이 발생합니다. 리만-후르비츠 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle 0=2\cdot 2-4\cdot (2-1)}$

총합이 4개의 조사 지점을 차지한 상태에서

이 공식을 사용하여 과대 지질 곡선의 속을 계산할 수도 있습니다.

또 다른 예로, 리만 구는 임의의 정수 n > 1에 대해 0에서 라미네이션 지수 n을 갖는 함수 z에ⁿ 의해 자신에게 매핑됩니다. 무한대의 지점에서만 다른 파급력이 있을 수 있습니다. 방정식의 균형을 맞추기 위해서

${\displaystyle 2=n\cdot 2-(n-1)-(e_{\infty }-1)}$

무한대에서도 파급 지수 n이 있어야 합니다.

결과들

대수 위상 및 복소 분석에서 몇 가지 결과가 뒤따릅니다.

첫째, 하위 속의 곡선에서 상위 속의 곡선으로 확장된 지도가 없습니다. 따라서 곡선의 비정규 메로모픽 지도가 공간을 확장하기 때문에 하위 속의 곡선에서 상위 속의 곡선으로 확장된 비정규 메로모픽 지도가 없습니다.

또 다른 예로, 속 0의 곡선은 N > 1을 포함하는 덮개가 없다는 것을 즉시 보여줍니다. 이는 오일러 특성 > 2를 생성하기 때문입니다.

일반화

곡선의 대응에 대해 보다 일반적인 공식인 Zeuthen's Theorem이 있으며, 이는 오일러 특성이 대응 정도와 반비례한다는 첫 번째 근사치에 대한 라미네이션 보정을 제공합니다.

오비폴드 표면 S'와 S' 사이의 오비폴드 피복은 분지 피복이므로, 리만-후르비츠 공식은 일반적인 피복 공식을 의미합니다.

${\displaystyle \chi (S')=N\cdot \chi (S)\,}$

$오비폴드$ 오일러 특성을$$χ {\displaystyle \chi \,}로 표시합니다.

참고문헌

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052제Ⅳ.2절