하세-윌 제타 함수

수학에서 대수적 숫자 필드 K에 대해 정의된 대수적 다양성 V에 부착된 하세-웨일 제타 함수는 L-함수의 가장 중요한 두 가지 유형 중 하나이다.이러한 L-기능을 '글로벌'이라고 하는데, 국소 제타 기능 측면에서 오일러 제품으로 정의한다는 것이다.그것들은 두 가지 주요 등급의 글로벌 L 기능 중 하나를 형성하고, 다른 등급은 자동 형태 표현과 관련된 L 기능이다.추측적으로, 지구 L-함수의 필수적인 형태는 단지 하나일 뿐이며, 두 가지 서술이 있다(대수학적 다양성에서 오는 것, 자동 형태 표현에서 오는 것). 이것은 타니야마-와일 추측의 광대한 일반화일 것이며, 그 자체가 수 이론에 있어서 매우 깊은 결과일 것이다.

정의

Hasse-Weil zeta의 기능 설명은 오일러 제품의 많은 요소까지 비교적 간단하다.이는 V가 단일점인 경우에서 동기가 부여된 헬무트 하세, 안드레 웨일의 초기 제안과 리만 제타 함수 결과에 따른 것이다.

합리적 숫자 필드 Q와 비성수 투사 품종의 경우, 우리는 거의 모든 소수 p에 대해 V에 대한 방정식을 줄이는 것만으로 p 요소가 있는 유한 필드 F에_p 대한 대수적 다양성_p V인 V modulo p의 감소를 고려할 수 있다.체계론적으로, 이러한 감소는 표준 지도 Spec F_p → Spec Z를 따라 V의 후퇴에 불과하다.다시 거의 모든 p에 대해 그것은 비음향적일 것이다.우리는 정의한다.

${\displaystyle Z_{V,Q}s}$

로컬 제타 함수의 무한 산물인 복합 변수 s의 디리클레 시리즈가 되다.

$\displaystyle \zeta _{V,p}\왼쪽(p^{-s}\오른쪽).}$

그렇다면 우리의 정의에 따르면, Z는 ${\displaystyle {\mathrm{유한}}^{}}$한 p$$-${\displaystyle {}^{}}$s {\$displaystyle$p^{-$s}$에서 합리적인 함수에 의해 곱셈까지만 잘 정의된다$.$

불변성은 비교적 무해하며, 어디서나 용적연속성이 있기 때문에, Z의 성질이 본질적으로 그것에 의존하지 않는다는 의식이 있다.특히 복합면의 수직선에서 반사되는 Z에 대한 기능 방정식의 정확한 형태는 '누락' 인자에 따라 분명히 달라지겠지만, 그러한 기능 방정식의 존재는 그렇지 않다.

에탈 코호몰로지(Etale cohomology)의 발달로 보다 정제된 정의가 가능해졌다. 이는 누락된 '나쁜 감소' 요인에 대해 어떻게 해야 하는지를 깔끔하게 설명한다.라미네이션 이론에서 보이는 일반적인 원리에 따르면, '나쁜' 프리타임은 좋은 정보(도체 이론)를 전달한다.이는 선량한 감소를 위한 Ogg-Néron-Shafarevich 기준의 étal 이론에 나타나 있다. 즉, V의 etale cohomology 그룹에 대한 갈루아의 표현 ρ이 명문화되지 않은 모든 p 시간 p에 좋은 감소가 있다는 것이다.그러한 경우, 국소 제타 함수의 정의는 의 특성 다항식의 관점에서 회복될 수 있다.

${\displaystyle \rho(\operatorname {Frob}(p),}$

프롭(p)은 p의 프로베니우스 원소가 된다.ramised p에서 일어나는 일은 p의 관성군 I(p)에서 ρ이 비경쟁적이라는 것이다.그러한 프리타임에서 정의는 '수정'되어야 하며, 사소한 표현에 의해 관성 집단이 작용하는 표현 ρ의 가장 큰 몫을 차지한다.이러한 정교함으로 Z의 정의는 '거의 모든' p에서 오일러 제품에 참여하는 모든 p로 성공적으로 업그레이드될 수 있다.기능 방정식의 결과는 1960년대 후반에 세레와 델랭에 의해 도출되었다. 기능 방정식 자체는 일반적으로 증명되지 않았다.

예제: Q 위의 타원 곡선

E를 도체 N의 Q에 대한 타원곡선으로 한다.그 다음, E는 N을 나누지 않고 모든 소수에서 좋은 감소를 가지고 있으며, 정확히 N을 나누는 소수 p에서 승수 감소를 가지고 있으며(즉, p가 N을 나누지 않는 경우, 이것은² P가 N을 나누는 소수에서), 다른 곳에서 첨가 감소를² 가진다(즉 p가 N을 나누는 소수에서).그러면 E의 하세-윌 제타 함수가 형태를 취한다.

${\displaystyle Z_{E,\mathbf {Q}}={\frac {\frac(s)\zeta(s-1)}{L(s,E)}}}\,}$

여기서 ζ(s)는 통상적인 리만 제타(Riemann zeta) 함수, L(s, E)는 형태를^[1] 취하는 E/Q의 L-함수(L-function)라고 한다.

${\displaystyle L(s,E)=\prod _{p}L_{p}(s,E)^{-1}\,}$

여기서, 주어진 prime p를 위해,

${\displaystyle L_{p}(s,E)={\begin{cases}(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}),&{\text{if }}p\nmid N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{if }}p\mid N{\text{ and }}p^{2}\nmid N\\1,&{\text{if }}p^{2}\mid N\end{cases}}}$

여기서, 좋은 감소의 경우 a는_p p + 1 - (E mod p의 포인트 수)이고, 승수 감소의 경우 a는_p p에서 E가 분할 또는 비분할 승수 감소를 했는지에 따라 ±1이다.

하세-윌 추측

Hasse-Weil 추측에 따르면 Hasse-Weil zeta 함수는 모든 복잡한 s에 대한 meromorphic 함수로 확장되어야 하며, Riemann zeta 함수와 유사한 함수 방정식을 만족해야 한다.타원형 곡선의 경우, Hasse-Weil 추측은 모듈화 정리로부터 따른다.

참고 항목

• 산술 제타 함수

참조

참고 문헌 목록

• J.-P. Serre, Facturs located des ponnects zeta des varietes algébrike (définitions et assuss), 1969/1970, Sem.델란지-피소-포이토우, 엑스포세 19