변곡점

Inflection point
변곡점이 (0,0)에 있는 y3 = x의 그림이며, 이것도 고정점입니다.
입방체3 다항식x - 3x2 - 144x + 432(검은색 선) 및 그 첫 번째 및 두 번째 도함수(빨간색 및 파란색)의 근, 정지점, 변곡점 및 오목도.

미적분과 미분 기하학에서, 변곡점, 변곡점, 굴곡점, 또는 변곡점(영국 영어: 굴곡)은 곡률이 변화하는 평탄한 곡선의 점입니다.특히 함수의 그래프의 경우 함수가 오목(아래로 오목)에서 볼록(위쪽으로 오목)으로, 또는 그 반대로 변화하는 점이다.

differentiability 클래스 C2(f가 첫번째 미분 f'으며, 두번째 파생 상품 f"그리고 지속적인 유단자)의 함수의 그래프의 경우, 조건 f"=0또한 변곡점을 찾기 f의 어떤 지점부터 "=0이 긍정적인 값(위로 오목하다)에서 f을 변경하면 부정적인 값으로(오목 아래로)거나 희생자를 전달해야 할 수 있다.ef"가 연속인 경우와 마찬가지로 곡선의 변곡점은 f" = 0인 경우이며 해당 지점에서 부호(양에서 음으로 또는 음에서 [1]양으로)를 변경한다.2차 도함수가 사라지지만 부호가 변하지 않는 점을 물결점 또는 물결점이라고 부르기도 한다.

대수기하학에서 변곡점은 접선이 곡선과 만나 적어도 3을 주문하는 정규점으로서 약간 더 일반적으로 정의되며, 파동점 또는 하이퍼플렉스는 접선이 곡선과 만나 적어도 4를 주문하는 점으로서 정의된다.

정의.

미분 지오메트리의 변곡점은 곡률로 [2][3]부호가 변경되는 원곡선의 지점입니다.

예를 들어, 미분 가능 함수의 그래프는 그 제1도함수 f'가 고립 극단을 x로 갖는 경우에 한해 (x, f(x)에 변곡점을 가진다.(이것은 f가 극단을 갖는다고 하는 것과 동일하지 않다.)즉, 일부 인근에서는 x가 f'가 (로컬) 최소값 또는 최대값을 갖는 유일한 지점입니다.f'의 모든 극단값이 분리되어 있는 경우 변곡점은 f의 그래프에서 접선이 곡선을 교차하는 점이 됩니다.

변곡점의 하강점은 도함수가 점의 양쪽에서 음이 되는 변곡점, 즉 함수가 감소하는 변곡점입니다.변곡점의 상승점은 도함수가 점의 양쪽에서 양의 값인 점, 즉 함수가 증가하는 변곡점입니다.

파라메트릭 방정식에 의해 주어지는 매끄러운 곡선의 경우, 부호 곡률이 플러스에서 마이너스 또는 마이너스에서 플러스(즉, 변화 부호)로 변화할 경우 점은 변곡점이 된다.

2차 미분함수의 그래프인 매끄러운 곡선에서 변곡점은 그래프상의 제2도함수가 고립된 0을 가지며 부호를 변화시키는 점이다.

대수기하학에서 대수곡선의 비특이점은 접선과 곡선의 교차번호가 (접선점에서) 2보다 클 경우에만 변곡점이다.이 다른 정의의 주된 동기는, 그렇지 않으면 곡선의 변곡점의 집합이 대수 집합이 되지 않는다는 것이다.사실 평면 대수 곡선의 변곡점 집합은 투영 완료의 헤시안 행렬식의 0인 정확히 비단수점입니다.

f(x) = sin(2x)의 플롯은 -124/4 ~ 5g/4이며, 두 번째 도함수는 fθ(x) = -4sin(2x)이므로 f의 부호와 반대이다.접선은 곡선이 볼록한 경우 파란색(자체 접선 위), 오목한 경우 녹색(접선 아래), 변곡점: 0, θ/2 및 θ

필요하지만 불충분한 조건

함수 f에 대하여, 만약 그 두 번째 도함수 f((x)가 x에 존재하고00 x가 f의 변곡점이라면 f((x0) = 0이지만, 이 조건은 어떤 차수의 도함수가 존재하더라도 변곡점을 가지기에 충분하지 않다.이 경우 0이 아닌 가장 낮은 차수의 도함수(3차, 5차 등)가 홀수 순서여야 합니다.가장 낮은 차수가 0이 아닌 도함수가 짝수 순서인 경우 이 점은 변곡점이 아니라 변동점이 됩니다.그러나 대수기하학에서는 변곡점과 변곡점을 모두 변곡점이라고 합니다.f(x) = x로4 주어진 함수 f에 대해 변동점의 예는 x = 0입니다.

앞의 어설션에서, f는 x에서 0이 아닌 고차 미분을 갖는 것으로 가정되며, 이는 반드시 그런 것은 아니다.만약 그렇다면, 첫 번째 0이 아닌 도함수가 홀수 차수를 갖는 조건은 f'(x)의 부호가 x의 근방에서 x의 양쪽에서 같다는 것을 의미한다. 이 부호가 양수이면 점은 변곡의 상승점이고 음수이면 변곡의 하강점이다.

변곡점 충분한 조건:

  1. f(x)가 k 홀수 및 k ≤ 3인 점0 x의 특정 근방에서 k배 연속적으로 미분 가능한 경우 변곡점에 대한 충분한 존재 조건은 f(x0) = n = 2, ..., k - 1 및(k) f(x0) 0 0이다(n). 그러면 f(x)는 x에서0 변곡점을 갖는다.
  2. 또 다른 보다 일반적인 충분한 존재 조건에서는 fx0(x + ))와 fx0(x - ))가0 x 근방에 반대 부호를 가져야 한다(Bronshtein과 Semendyev 2004, 페이지 231).

변곡점의 분류

y = x4 – x는 점(0,0)에서 0의 2차 도함수를 가지지만, 4차 도함수는 0이 아닌 첫 번째 고차 도함수이기 때문에 변곡점이 아니다(세 번째 도함수도 0이다.

f'(x)가 0인지 0이 아닌지에 따라 변곡점을 분류할 수도 있다.

  • f'(x)가 0이면 점은 변곡의 정지점이 된다.
  • f'(x)가 0이 아닌 경우, 점은 비정상 변곡점이 된다.

변곡점의 정지점은 국소 극단이 아니다.보다 일반적으로, 여러 실제 변수의 함수 맥락에서, 국소 극단이 아닌 정지점을 안장점이라고 한다.

변곡점의 고정점의 예로는 y = x3 그래프의 점(0, 0)이 있습니다.접선은 이 지점에서 그래프를 잘라내는 x축입니다.

비정상 변곡점의 예는 0이 아닌3 a에 대해 y = x + ax 그래프상의 점(0, 0)입니다.원점의 접선은 y = ax 선으로, 이 지점에서 그래프를 절단합니다.

불연속 함수

일부 함수는 변곡점을 가지지 않고 오목하게 변화합니다.대신 수직 점근이나 불연속부 주변에서 오목한 부분을 변경할 수 있습니다.예를 들어 x x \ x \ \{ 1 } { x 은 음수 x 에 대해서는 오목하고 양수 x 에 대해서는 볼록하지만 0 은 함수의 영역에 없기 때문에 변곡점이 없습니다.

2차 도함수가 사라지지 않는 변곡점을 갖는 함수

일부 연속 함수는 2차 도함수가 0이 아니더라도 변곡점을 가지고 있습니다.예를 들어, 입방근 함수는 x가 음수일 때는 위쪽으로 오목하고 x가 양수일 때는 아래쪽으로 오목하지만 원점에는 어떤 차수의 도함수도 없다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ Stewart, James (2015). Calculus (8 ed.). Boston: Cengage Learning. p. 281. ISBN 978-1-285-74062-1.
  2. ^ Problems in mathematical analysis. Baranenkov, G. S. Moscow: Mir Publishers. 1976 [1964]. ISBN 5030009434. OCLC 21598952.{{cite book}}: CS1 유지보수: 기타 (링크)
  3. ^ Bronshtein; Semendyayev (2004). Handbook of Mathematics (4th ed.). Berlin: Springer. p. 231. ISBN 3-540-43491-7.

원천