모듈형 타원 곡선

타원 곡선² y = x³ - x 및² y = x³ - x + 1 그래프입니다.만약 우리가 이것들을 유리 곡선에 대한 곡선으로 간주한다면, 모듈러성 정리는 그것들이 모듈러 곡선에 의해 매개변수화될 수 있다고 주장한다.

모듈식 타원곡선은 모듈식 곡선에 의해 파라미터레이션₀ X(N) → E를 받아들이는 타원곡선 E이다.이것은 타원 곡선이라고 할 수 있는 타원 곡선인 모듈러 곡선과는 다릅니다.타니야마라고도 알려진 모듈러성 정리-Shimura 추측은 유리수에 대해 정의된 모든 타원 곡선은 모듈러형이라고 주장한다.

역사와 의의

1950~1960년대 일본의 수학자 시무라 고로(下村 based郞)는 다니야마 유타카의 아이디어를 바탕으로 타원곡선과 모듈러 형태의 연관성을 추측했다.서양에서는 앙드레 베일의 1967년 논문을 통해 잘 알려지게 되었다.Weil이 그것에 대한 개념적인 증거를 제시하면서, 그것은 때때로 Taniyama라고 불린다.시무라그럴듯한 추측.이것은 모든 유리 타원 곡선이 모듈식임을 나타냅니다.

1960년대 후반에 이브 헬레구아치는 페르마 방정식의 해(a, b, c)를 완전히 다른 수학적 객체인 타원곡선과 ^[1]연관짓는 아이디어를 생각해냈다.곡선은 좌표(x, y)가 관계를 충족하는 평면의 모든 점으로 구성됩니다.

(\displaystyle y^{2}=x(x-a^{n}(x+b^{n})).\,}

이러한 타원 곡선은 방정식에서 정수의 높은 거듭제곱이 나타나고 a + bⁿ = c가ⁿ n번째ⁿ 거듭제곱이기 때문에 매우 특별한 특성을 가진다.

1986년 여름, 켄 리벳은 프레이가 예상했던 대로, 타니야마의 특별한 경우를 시연했다.현재 증명된 엡실론 추측과 함께 시무라 추측은 페르마의 마지막 정리를 암시한다.따라서 타니야마가...시무라 추측은 반안정 타원 곡선에 대해 참이며, 페르마의 마지막 정리가 참이 될 것이다.그러나 이 이론적 접근법은 타니야마(Taniyama) 때문에 달성할 수 없는 것으로 널리 간주되었다.시무라의 추측 자체는 현재 ^[2]지식으로는 전혀 입증할 수 없는 것으로 널리 알려져 있었다.예를 들어, 와일스의 전 슈퍼바이저 존 코츠는 "실제로 ^[3]증명하는 것은 불가능해 보인다"고 말했고, 켄 리벳은 자신이 "그것을 완전히 접근할 ^[4]수 없다고 믿는 대다수의 사람들 중 한 명"이라고 생각했다.

1986년 엡실론 추측의 증거를 들은 와일스는 타니야마-의 증거를 위해 연구를 시작하기로 결정했다.시무라 추측리벳은 나중에 "안드류 와일스는 아마도 여러분이 실제로 가서 증명할 수 있다는 꿈을 꾸는 대담성을 가진 몇 안 되는 사람들 중 한 명이었을 것입니다." ^[4]

와일즈는 1993년 6월 23일 수요일 캠브리지에서 열린 "엘립틱 곡선과 갈로아 표현"^[5]이라는 제목의 강연에서 처음으로 그의 증거를 발표했다.그러나 1993년 9월 이 증거에 오류가 있는 것으로 밝혀졌다.1년 뒤인 1994년 9월 19일 월요일, 그가 "직장생활에서 가장 중요한 순간"이라고 칭한 와일스는 우연히 "말할 수 없이 아름다운...너무 단순하고 우아하다"는 말로 수학계를 만족시킬 수 있도록 증거를 정정할 수 있었다.정확한 증거는 1995년 5월에 발표되었다.증명은 대수기하학과 수론으로부터 많은 기술을 사용하며, 수학의 이러한 분야들에 많은 영향을 끼친다.그것은 또한 체계와 이와사와 이론과 같은 현대 대수기하학의 표준 구성 및 페르마가 이용할 수 없는 다른 20세기 기법들을 사용한다.

모듈화 정리

정리는 Q 위의 모든 타원 곡선은 고전적인 모듈 곡선으로부터 정수 계수를 가진 합리적인 지도를 통해 얻을 수 있다고 말한다.

X_{0}(N)\

일부 정수 N의 경우, 이는 명확한 정의를 가진 정수 계수를 갖는 곡선입니다.이 매핑은 레벨 N의 모듈식 파라미터화라고 불린다. 만약 N이 그러한 파라미터화를 찾을 수 있는 가장 작은 정수라면(이것 자체가 도체라고 불리는 수치로 알려져 있다), 파라미터화는 무게 tw의 특정 종류의 모듈식 형식에 의해 생성된 매핑의 관점에서 정의될 수 있다.o 및 level N은 정수 q-확장이 있는 정규화된 새로운 형태이며, 필요에 따라 등진성이 뒤따른다.

모듈성 정리는 밀접하게 관련된 분석 문구를 암시한다. 우리는 Q 위의 타원 곡선 E에 대응하는 L-계열을 붙일 수 있다.L시리즈는 디리클레 시리즈로 일반적으로 작성됩니다.

L(s,E)=\prod _{p}L_{p}(s,E)^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {a_{n}}}{n^{s}}}}

여기서 $a_{n}$ 제품 및 $a_{n}$ 는 Hasse-Weil $a_{n}$ zeta 함수에 정의됩니다 $.$ $a_{n}$ {\ $displaystyle a_{n}}$ $a_{n}$ 의 $a_{n}$ 생성 함수는 다음과 같습니다.

f(q,E)=\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}q^{n}.

만약 우리가 대체를

q=e^{2\pi i\display }\

복소수 θ의 $f(\tau ,E)$ f $f(\tau ,E)$ $f(\tau ,E)$ , $f(\tau ,E)$ ) { $displaystyle$ f $(\tau$ , $E)}$ 의 $f(\tau, E)$ 푸리에 확장을 적었으므로, q 계열의 계수는f { $displaystyle$ f $f$ 의 푸리에 계수로도 간주됩니다.이 방법으로 얻을 수 있는 함수는 주목할 만한 가중치 2와 수준 N의 첨두 형태이며 고유 형태(모든 헤케 연산자의 고유 벡터)이기도 하다. 이것은 모듈성 정리에 따른 하세-바일 추측이다.

무게 2의 모듈러 형태 중 일부는 타원 곡선의 정칙 미분과 일치합니다.모듈 곡선의 야코비안은 무게 2의 헤케 고유 형태에 해당하는 환원 불가능한 아벨 변종의 산물로 쓰여질 수 있다.1차원 요인은 타원 곡선입니다(고차원 요인도 있을 수 있으므로 모든 헤케 고유 형식이 합리적인 타원 곡선에 해당하는 것은 아닙니다).대응하는 첨두 형태를 찾아 곡선을 구성함으로써 얻을 수 있는 곡선은 원래의 곡선과 동질적이다(그러나 일반적으로는 동일하지 않다).

레퍼런스

^ Hellegouarch, Yves (2001). Invitation to the Mathematics of Fermat–Wiles. Academic Press. ISBN 978-0-12-339251-0.
^ Singh, Simon (October 1998). Fermat's Enigma. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Zbl 0930.00002.^{: 203–205, 223, 226}
^ Singh, Simon (October 1998). Fermat's Enigma. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Zbl 0930.00002.^{: 226}
^ ^a ^b Singh, Simon (October 1998). Fermat's Enigma. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Zbl 0930.00002.^{: 223}
^ Kolata, Gina (24 June 1993). "At Last, Shout of 'Eureka!' In Age-Old Math Mystery". The New York Times. Retrieved 21 January 2013.

추가 정보

Wiles, Andrew (1995), "Modular elliptic curves and Fermat's last theorem", Annals of Mathematics, Second Series, 141 (3): 443–551, CiteSeerX 10.1.1.169.9076, doi:10.2307/2118559, ISSN 0003-486X, JSTOR 2118559, MR 1333035
Wiles, Andrew (1995), "Modular forms, elliptic curves, and Fermat's last theorem", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Zürich, 1994), Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, pp. 243–245, MR 1403925

[1] Hellegouarch, Yves (2001). Invitation to the Mathematics of Fermat–Wiles. Academic Press. ISBN 978-0-12-339251-0.

[singh-2] Singh, Simon (October 1998). Fermat's Enigma. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Zbl 0930.00002.^{: 203–205, 223, 226}

[3] Singh, Simon (October 1998). Fermat's Enigma. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Zbl 0930.00002.^{: 226}

[ReferenceA-4] Singh, Simon (October 1998). Fermat's Enigma. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Zbl 0930.00002.^{: 223}

[nyt-5] Kolata, Gina (24 June 1993). "At Last, Shout of 'Eureka!' In Age-Old Math Mystery". The New York Times. Retrieved 21 January 2013.

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