J자리의

수학에서 복합 변수 klein의 함수로 간주되는 펠릭스 클라인의 j-invariant 또는 j 함수는 복합수의 상부 반면에 정의된 SL(2, Z)에 대한 무게 0의 모듈형 함수다.그것은 독특한 기능으로서, 끝부분의 간단한 극으로부터 홀로모르픽 떨어져 있다.

${\displaystyle j\left(e^{2\pi i/3}\right)=0,\pi j(i)=1728=12^{3}.}$

j의 합리적 함수는 모듈형이며, 사실상 모든 모듈형 함수를 부여한다.고전학적으로, j-invariant는 C에 대한 타원곡선의 매개변수화로서 연구되었지만, 몬스터 그룹의 대칭(이 연결을 괴물 월샤인이라고 한다)에도 놀라운 연관성을 가지고 있다.null

정의

j-invariant는 상부 반평면 H = {τ ∈ C, 임(τ) > 0}의 함수로 정의할 수 있다.

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}{3}{3}-27g_{3}(\tau )^{2}=1728{\frac{g_{2}(\tau )^{3}}{3}}{\delta (\tau}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}})$

여기서:

${\displaystyle g_{2}(\tau )=60\sum _{(m,n)\neq(0,0)}\왼쪽(m+n\tau \오른쪽)^{-4}$

${\displaystyle g_{3}(\tau )=140\sum _{(m,n)\neq(0,0)}\왼쪽(m+n\tau \오른쪽)^{-6}}$

${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$(${\displaystyle \tau }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {g\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\tau {}^{}}$) 3${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 27}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {}^{}\tau }$ ) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$모듈식 판별)

이는 각 τ을 타원곡선의 이소모르피즘 계급을 나타내는 것으로 보는 것으로 동기를 부여할 수 있다.C 위의 모든 타원 곡선 E는 복잡한 토러스여서 2등급 격자, 즉 C의 2차원 격자로 식별할 수 있다.이 격자는 회전 및 스케일링(이형성 계급을 보존하는 연산)이 가능하여 1과 τ by H에 의해 생성된다.이 격자는 ${\displaystyle {타원\mathrm{}}^{}}$ 곡선 y $2{\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\tau }$) x${\displaystyle }$- ${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle \tau }$ ) ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{$2}(\$tau )x-g_{3}(\tau )}$에 해당한다($$Weierstras 타원 함수 참조).null

모듈형 판별이 0이 아니므로 j는 H의 모든 곳에서 정의된다.이는 해당 큐빅 다항식의 뿌리가 뚜렷하기 때문이다.null

기본 지역

Δ는 중량 12의 모듈형 형태이며₂, g는 중량 4의 모듈형이기 때문에, 그 세 번째 힘도 중량 12의 것이 된다.따라서 이들의 지수, 즉 j는 무게 0의 모듈형 함수, 특히 SL(2, Z)의 작용에 따른 홀로모르픽 함수 H → C 불변성이다.중심 { ±I }에 의한 인지도는 모듈 그룹을 산출하며, 우리는 이를 투영 특수 선형 그룹 PSL(2, Z)로 식별할 수 있다.null

이 그룹에 속하는 적절한 변환 선택으로

${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d},\qquad ad-bc=1,}$

우리는 조건을 만족시키는 τ에 대한 값으로 구성된 j에 대해 동일한 값을 부여하고, j에 대한 기본 영역에 눕는 값으로 τ을 줄일 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned} \tau &\geq 1\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow \tau >1\end{aligned}}}$

이 지역에 제한되었을 때 함수 j( restricted)는 여전히 복합수 C의 모든 값을 정확히 한 번 차지한다.즉, C의 모든 C에 대해 c = j(τ)와 같은 기본 영역에 고유한 τ이 있다.따라서 j는 기본 영역을 전체 복합 평면에 매핑하는 속성을 가지고 있다.null

추가로 두 값 values,sl' ,H는 일부 T , PSL(2, Z)에 대해 f τ = T(τ)'이면 동일한 타원곡선을 생성한다.즉, j는 C에 걸친 타원 곡선 집합에서 복잡한 평면으로의 편차를 제공한다.^[1]null

리만 표면으로서, 기본 영역은 속 0을 가지며, 모든 (레벨 1) 모듈 함수는 j의 합리적 함수가 되며, 반대로 j의 모든 이성 함수는 모듈형 함수가 된다.즉 모듈형 함수의 분야는 C(j)이다.null

학급장 이론 및 j

j-invariant는 많은 주목할 만한 특성을 가지고 있다.

• 만약 τ이 어떤 CM 지점, 즉 (j가 정의되도록) 양의 가상의 부분을 가진 가상의 2차장 원소라면, j(τ)^[2]는 대수 정수다.이 특별한 값들은 단수모듈리라고 불린다.
• 필드 익스텐션 Q[j(τ), /]/Q( is)는 아벨리안, 즉 아벨리안 갈루아 그룹을 가지고 있다.
• λ을 {1, τ}에 의해 생성된 C의 격자가 되게 하라.곱셈으로 λ을 고정하는 Q(τ)의 모든 요소가 명령이라고 불리는 단위를 가진 고리를 형성하는 것을 쉽게 알 수 있다.동일한 순서에 따라 연결된 발전기 {1, },},}이(가) 있는 다른 격자는 Q(τ)에 대해 j(τ)의 대수적 결합 j(τ)를 정의한다. 포함에 의해 Q(τ)의 고유 최대 순서는 Q(τ)의 대수적 정수의 링이며, τ의 값을 연관 순서에 따라 Q(τ)의 확장이 미묘화된다.

이러한 고전적 결과는 복잡한 곱셈 이론의 출발점이다.null

초월 특성

1937년 테오도르 슈나이더는 상반면에서의 τ이 2차 비합리적인 숫자라면 j(τ)는 대수 정수라는 상기 결과를 증명했다.게다가 그는 만약 τ이 대수학 숫자지만 가상의 2차적 숫자가 아니라면 j(τ)는 초월적이라는 것을 증명했다.null

j 함수는 그밖에도 수많은 초월적 성질을 가지고 있다.커트 말러는 1990년대 유 브 브이 네스테렌코와 패트리스 필리폰에 의해 결과의 산물로 증명되었지만, 흔히 말러의 추측이라고 일컬어지는 특별한 초월적 결과를 추측했다.말러의 추측에 의하면 만약 τ이 상반신 평면에 있다면 e와^2πiτ j(τ)는 결코 동시에 대수학인 것이 아니었다.더 강력한 결과가 지금 알려져 있는데, 예를 들어 e가^2πiτ 대수학이라면 다음 세 개의 숫자는 대수학적으로 독립적이므로, 그 중 적어도 두 개의 숫자는 초월적이다.

${\displaystyle j(\tau ),{\frac {j^{\prime }(\tau )}{\pi }}}{\frac {j^{\py }}}{\pi ^{2}}:$

q-팽창과 밀주

j의 몇 가지 주목할 만한 특성은 다음과 같이 시작되는 q^2πiτ = e(nome의 제곱)의 관점에서 Laurent 시리즈로 쓰인 q-확장(푸리에 시리즈 확장)과 관련이 있다.

${\displaystyle j(\tau )=q^{-1}+744+884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+20245856256q^{4}+\cdots }}$

j는 첨부에 간단한 극을 가지고 있으므로, q-확장에는 q⁻¹ 이하의 항이 없다.

모든 푸리에 계수는 정수로, 그 결과 몇 개의 거의 정수가 발생하며, 특히 라마누잔의 상수는 다음과 같다.

${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\displaystyle {\sqrt{163}}^{}}$ ${\displaystyle {\approx }^{}}$ ${\displaystyle {640320\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 744}$ ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt{163}}\약 640320^{3}+744}$.

qⁿ 계수에 대한 점근 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle \frac{e^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{4\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\pi n\sqrt{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2n\mathrm{}}^{}}{}}$ 3${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$/ ${\displaystyle \frac{{4\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$sqrt{n}}}{{\$sqrt${2$}}\,n^{3/4$

하디-리틀우드 원법으로 증명할 수 있는 ^[3][4]바와 같이null

문샤인

더 놀라우q의 긍정적인 지수 법칙:누승 지수에 대한 푸리에 계수는 괴물 그룹 5단계적 대수학의 단계적 부분의 치수는 밀주 모듈 – 구체적으로 말하면, 그 밀주 모듈, 첫번째 예는 Griess의 grade-n 부분의 qn의 계수는 치수를 있습니다. a196884q라는 용어에 해당하는 치수 196,884를 가진 lgebra.존 맥케이에 의해 처음 만들어진 이 놀라운 관찰은 밀주 이론의 출발점이 되었다.null

Moonshine 추측에 대한 연구는 John Horton Conway와 Simon P를 이끌었다. Norton은 0개의 모듈식 함수를 살펴본다.양식을 갖도록 정규화된 경우

${\displaystyle q^{-1}+{O}(q)}$

그리고 존 G. 톰슨은 (일부 유한 수준의) 그러한 함수의 수가 유한하다는 것을 보여주었고, 이후 크리스 J. 컴민스는 정확히 6486개가 있으며, 그 중 616개는 적분 계수를 가지고 있다는 것을 보여주었다.^[5]null

대체 표현식

우리는 가지고 있다.

${\displaystyle j(\tau )={\frac {256\왼쪽(1-x\오른쪽)^{3}{x^{2}}:$

여기서 x = λ(1 - λ) 및 λ은 모듈형 람다 함수임

${\displaystyle \lambda(\tau )={\frac {\}{2}^{4}(e^{\pi i\tau }}}{3}^{3}}}{4}(e^{\pi i\tau }}})=k^{2}(\tau )}}$

자코비 세타 함수 비율 θ_m, 타원형 계수 k(τ)의 제곱이다.^[6]λ을 다음과 같은 교차 비율의 6개 값 중 하나로 대체하면 j의 값은 변하지 않는다.^[7]null

${\displaystyle \left\lbrace {\brace {1}{1-\braceda },{\frac {\practda -1}{\fractda },{\frac {1}{\fractda -1},{\1-\braceza }}, }}}\brace }}}}.$

j의 분기점은 {0, 1, ∞}이므로 j는 벨리함수다.^[8]null

ta 함수에 대한 표현식

nome q = e^πiτ 및 Jacobi 세타 함수를 정의하십시오.

${\displaystyle \vartheta (0;\tau )=\vartheta _{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{n=1}{n^{\pi i\tau }\오른쪽)^{n^{2}}=\sum _{n=-\nflt }^{\nflt }^{n^{2}}:}$

거기서 보조 세타 기능을 도출할 수 있다.내버려두다

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}}$

여기서 θ과_m ϑ은_n 대체 표기법이고, - b⁴⁴⁴ + c = 0이다.그러면.

${\displaystyle {\pregated}g_{2}(\tau )&={\tfrac {2}}{3}\pi ^{4}\왼쪽(a^{8}+b^{8}+c^{8}+c^{8}+c^{8}{8]}\\\g_{3}(\tau )&={\tfrac {4}{27}\pi^{6}{\sqrt {\\\frac {\\(a^{8}+b^{8}+c^{8}+c^{8}){8}+c^{8}}\right)^{3}-54\left(abc\right)^{8}}{2}}}\\\Delta &=g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=4096\pi ^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}=4096\pi ^{12}\eta (\tau )^{24}\end{aligned}}}$

Weierstrass 불변성 g₂, g₃ 및 Dedekind eta 함수 η(τ)에 대하여.그러면 우리는 빠르게 계산될 수 있는 형태로 j(τ)를 표현할 수 있다.null

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{3}{3}^{3}-27g_{3}^}}}}}}}}=32{\frac {\frac(a^{8}+b^{8}+c^{8}+c^{8}{8}{8}}{8}}{8}{8}}}}}}{8}}}}}}}}}}}{8}}}}}}\오른쪽)^{3}{\왼쪽(오른쪽)^{8}}}}}}{8}}}$

대수적 정의

지금까지 우리는 j를 복합 변수의 함수로 생각해 왔다.그러나 타원곡선의 이형성 등급에 대한 불변성으로서 순수하게 대수적으로 정의할 수 있다.^[9]내버려두다

${\displaystyle y^{2}+a_{1}}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}}x+a_{6}}}$

어느 분야나 평면 타원곡선이다그런 다음 연속적인 변환을 수행하여 위의 방정식을 표준² 형식³ y = 4x₃ - gx₂ - g로 만들 수 있다(참고, 이 변환은 필드의 특성이 2 또는 3과 같지 않을 때만 가능하다).결과 계수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{2}&=a_{1}^{2}+4a_{2},\quad &b_{4}&=a_{1}a_{3}+2a_{4},\\b_{6}&=a_{3}^{2}+4a_{6},\quad &b_{8}&=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2},\\c_{4}&=b_{2}^{2}-24b_{4},\quad &c_{6}&=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6},\end{aligned}}}$

여기서₂ g = c₄, g = c₃₆.우리는 또한 차별을 가지고 있다.

${\displaystyle \Delta =-b_{2}^{2}b_{2}b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}.}$

타원곡선에 대한 j-invariant는 이제 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle j={\frac {c_{4}^{3}{\Delta }}}$

곡선이 정의되는 필드가 2 또는 3과 다른 특성을 갖는 경우, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle j=1728{\frac {c_{4}^{3}{4}^{3}-{6}^{2}}.}$

역함수

j-invariant의 역함수는 초기하함수 F로₁ 표현할 수 있다(Picard – 기사 참조).푸치 방정식).명시적으로 숫자 N을 부여하면 equation에 대한 방정식 j(τ) = N을 풀려면 적어도 네 가지 방법으로 할 수 있다.null

방법 1: λ에서 sextic을 푼다.

${\displaystyle j(\tau )={\frac {256{\bigl (}1-\bigda ){\bigr )}^{3}{{{\bigl (}\bigl (1-\bigr)}}}}}}}}}={\frac {256}{x^{x^2}}:}$

여기서 x = λ(1 - λ)과 λ은 모듈형 람다 함수로, sextic은 x의 입방체로 풀 수 있다.그러면.

${\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}F_{1}{1}\좌측({\tfrac {1}{1}2}},{\tfrac {1}{2}},1;\lambda \우측)}{{}_{2}F_{1}\좌측({\tfrac {1}{1}:{2}},{\tfrac {1}{1}{2}},1;\lambda \우측)}}}=i{\frac {\operatorname {M}(1,{\sqrt {1-\lambda }})}{\operatorname {M}(1,{\sqrt {\lambda }}}}}}}}}$

λ의 6개 값 중 하나에 대해, 여기서 M은 산술-기하 평균이다.^{[note 1]}null

방법 2: γ로 사분위수를 풀면서

${\displaystyle j(\tau )={\frac {27\왼쪽(1+8\lift \rift \right)^{3}{3}{\reft \reft(1-\limit \right)^{3}}}}}}}}}}$

네 가지 뿌리 중 어떤 것에 대해서도

${\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt{3}}{\frac {{}_{2}F_{1}}\좌측({\tfrac {1}{1}{3}},{\tfrac {2}{3},1-\gamma \오른쪽)}}{{}_{2}F_{1}\좌측({\tfrac {1}{3},{\tfrac {2}{3},1},\gamma \우측)}}}$

방법 3: 입방체를 β로 분해,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {64\left(1+3\lift \rift \right)^{3}{3}}{\reft \reft(1-\lipse \right)^{2}}:$

그럼 세 뿌리 중 어느 쪽이든

${\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt{2}}:{\frac {{}_{2}F_{1}}\왼쪽({\tfrac {1}{4},{\tfrac {3}{4}}}}}{4},1-\beta \rig)}}{{}_{2}F_{1}\좌측({\tfrac {1}{4},{\tfrac {3}{4},1;\beta \우측)}}}$

방법 4: α 단위의 이차적 해결,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {1728}{4\reason (1-\reason )}}$

그때

${\displaystyle \tau =i\{\\\\\frac {{}F_{1}{1}\좌측({\tfrac {1}{1}{6},{\tfrac {5}{6}},1-\alpha \right)}}{{}_{2}F_{1}\좌측({\tfrac {1}{6},{\tfrac {5}{6}{6},1;\alpha \우측)}}}$

어느 뿌리이고, 다른 −.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output .sfrac을 준다 τ을 준다.Den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/τ지만 이후 j(τ))j(−1/τ), α가 선택하다 별 영향이 없다.후자의 세 가지 방법은 대체기지에 대한 라마누잔의 타원함수 이론에서 찾을 수 있다.null

이 역전은 타원 함수 기간의 비율이 제한되지 않더라도 타원 함수 기간의 고정밀 계산에 적용된다.^{[citation needed]}관련 결과는 크기가 2인 상상의 축 지점(나침반과 직선구조가 허용됨)에서 j 값의 2차적 급진성을 통한 표현성이다.순서 2의 j에 대한 모듈 방정식이 입방형이기 때문에 후자의 결과는 거의 확실하지 않다.^[10]null

파이 공식

1987년에 발견된 ^[11]추드노브스키 형제는

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }={\frac {12}{12}{3/2}}\sum _{k=0}^{\flac {(6k)!}{{\frac {(6k)!(html\cdot 3344418k+1391409)}{(3k)!\left(k!\오른쪽)^{3}\left 640320\right)^{3k}}}}}}$

라는 사실을 이용한 증거

${\displaystyle j\left\frac {1+{\sqrt}{-sqrt}{2}}:\오른쪽)=-sv320^{3}.}$

유사한 공식은 Ramanujan-Sato 시리즈를 참조하십시오.null

특수값

j-invariant는 기본 영역의 "코너"에서 사라진다.

$\displaystyle\j\!\left\tfrac{1+{\sqrt{3}i}{2}}\오른쪽)=0.}$

다음은 대체 표기법 J(τ) ≡ 1/1728 j(τ)의 관점에서 주어진 몇 가지 특별한 값이며, 처음^{[citation needed]} 잘 알려진 네 가지 값은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin}J(i)&=J\왼쪽({\tfrac {1+i}{2).}}}\오른쪽)=1\\J\좌({\sqrt{2}}i\오른쪽)&=\좌({\tfrac {5}{3}\우)^{3}\J(2i)&=좌({\tfrac {11}{2}}\우)^{3}\\\\\좌)J\\{\sqrt{2}}i\오른쪽)&={\tfrac {125}{125}}}\좌측(19+13{\sqrt{2}}\\오른쪽)^{3}\\\\}\j(4i)&={\tfrac {1}{64}}}}}}좌측(724+513{2}}\sqrt}오른쪽)^{3\}}}}^{{{{{}}}}}}}}}\3\3\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}J\왼쪽({\tfrac {1+2i}{2}}\오른쪽)&={\tfrac {1}{1}{64}}\왼쪽(724-513{\sqrt{2}}\오른쪽)^{3}\\\J\left({\tfrac {1+2{\sqrt {2}}i}{3}}\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19-13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(3i)&={\tfrac {1}{27}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(21+20{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\\{\sqrt{3}i\right)&={\tfrac {125}{16}}\왼쪽(30+17{3}\sqrt{3}\right)^{3}\\J\좌({\tfrac{1+7{\sqrt{3}i}{2}}\우)&=-{\tfrac {64000}{7}}\좌(651+142{\sqrt {21}\우)^{3}\\\J\prec({\tfrac{1+3{\sqrt{11}i}{10}}\오른쪽)&={\tfrac {64}{27}}}}}}{23-4{\sqrt{33}\오른쪽)^{2}\{2}\(-77+15{\sqrt{33}\}\}\}\}\}\}\}\}\}}\}}}\^{3}\}}}}}\}}J\left({\sqrt {21}}i\right)&={\tfrac {1}{32}}\left(5+3{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(3+{\sqrt {7}}\right)^{2}\left(65+34{\sqrt {3}}+26{\sqrt {7}}+15{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{1}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10+7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {5}}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10+7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{5}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{10}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5}}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac{1+{\sqrt{31}}나는}{2}}\right)&, =\left(1-\left(1+{\frac{\sqrt{19}}{2}}\left({\sqrt{\tfrac{13~{\sqrt{93}}}{13+{\sqrt{93}}}}}\cdot{\sqrt[{3}]{\tfrac{{\sqrt{31}}+{\sqrt{27}}}{{\sqrt{31}}-{\sqrt{27}}}}}+{\sqrt{\tfrac{13+{\sqrt{93}}}{13~{\sqrt{93}}}}}\cdot{\sqrt[{3}]{\tfrac{{\sqrt{31}}-{\sqrt{27}}}{{\sqrt{31}}와{\sqrt.{27}}}\오른쪽)^{2}\오른쪽)^{3}\\J({\sqrt{70}i)&=\left(1+{\tfrac{9}{4}}\left(303+220{\sqrt{2}}+139{\sqrt{5}}+96{\sqrt{10}}\right)^{2}\right)^ᆯ\\J(7i)&, =\left(1+{\tfrac{9}{4}}{\sqrt{21+8{\sqrt{7}}}}\left(30+11{\sqrt{7}}+\left(6+{\sqrt{7}}\right){\sqrt{21+8{\sqrt{7}}}}\right)^{2}\right)^ᆲ\\J(8i)&, =\left(1+{\tfrac{9}{4}}{\sqrt[{4}]{2}}\left(1+{\sqrt{2}}\right)\left(123+1.04{\sqrt[{4}]{2}}+88{\sqrt {2}}+73{\sqrt[{4}]{8}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(10i)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402+1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}+719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {5i}{2}}\right)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402-1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}-719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(2{\sqrt {58}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{256}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{5}\left(5+{\sqrt {29}}\right)^{5}\left(793+907{\sqrt {2}}+237{\sqrt {29}}+103{\sqrt {58}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\pret({\tfrac{1+{\sqrt{1435}i}{2}}\오른쪽)&=\좌측(1-9\좌측(9892538+4424079{\sqrt{5}}}}+1544955{5}}}}}}+690925{205}\우측^3}J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1555}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(22297077+9971556{\sqrt {5}}+\left(3571365+1597163{\sqrt {5}}\right){\sqrt {\tfrac {31+21{\sqrt {5}}}{2}}}\right)^{2}\right)^{3}\\\end{aligned}}}$

타원형 곡선을 다른 필드에 걸쳐 분류하지 못함

$j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$ -invariant는$$ 복잡한 숫자 또는 보다 일반적으로 대수적으로 닫힌 필드 위에 있는 타원곡선의 이형성 등급에만 민감하다.다른 필드에는 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$ -invariant가$$ 같지만 비이형인 타원곡선의 예가 존재한다.예를 들어${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ 1, ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$을 다항식 관련 타원형 곡선이 되도록$$ 한다.

${\displaystyle {\reasoned}E_{1}:&{\text{}}{}y^{2}=x^{3}-25x\\\E_{2}:&{\text{}}{}y^{2}=x^{3}-4x,\end{arged}}}}$

$j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$ -invariant$$ ${\displaystyle 1728}$ ${\displaystyle 1728}$을(를) 둘 다 갖는 경우$.$ 그러면 E ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}의 합리적인 포인트를 다음과 같이 계산할 수 있다$$.

${\displaystyle E_{2}(\mathb {Q} )=\{\nft ,(2,0), (-0)\}}$

$x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle x}$= x${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle 4}$) =${\displaystyle x}$ (${\displaystyle x}$ -${\displaystyle 2}$)$$ $displaystyle$ x$^{3}-4x=x(x^{2$}-4)=x$(x-2)($$x+2)}$$$ ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle y=a\neq 0}$을(를) 가진 합리적인 해결책은 없다$.$이는 카다노의 공식을 사용하여 그 경우에 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$- 2 ${\$}}에 대한 해결책이 모두$$ 불합리하다는 것을 보여줄 수 있다.반면에, 포인트 세트에서는

${\displaystyle \{n(-4,6):n\in \mathb {Z} \}}$

$E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}의 방정식은 ${\displaystyle {}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle \mathrm{100n}}$ ${\displaystyle 36n^{2}=-64n^{3}+100n}$이 된다$$$.$ (${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ,}$ 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle (0,0)$ 솔루션을$$ 제거하기 위해$$ $4n}$로 나누면 2차 공식은 다음과 같은 합리적인 해결책을 제공한다.

${\displaystyle n={\frac {-9\pm {\sqrt {81-4\cdot 16\cdot(-25)}}{2\cdot 16}={\frac {-9\pm 41}{32}}}}}.}$

If these curves are considered over ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {10}})}$, there is an isomorphism ${\displaystyle E_{1}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))\cong E_{2}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))}$ sending

${\displaystyle (x,y)\mapsto (\mu ^{2}x,\mu ^{3}y)\\\text{{{}여기서 }\mu ={\frac {\sqrt{10}}}}.}$

참조

메모들

기타

• 매우 읽기 쉬운 소개와 다양한 흥미로운 정체성을 제공한다Apostol, Tom M. (1976), Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 41, New York: Springer-Verlag, MR 0422157.null
  • Apostol, Tom M. (1990), Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 41 (2nd ed.), doi:10.1007/978-1-4612-0999-7, ISBN 978-0-387-97127-8, MR 1027834
• Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat (1999), "Ramanujan and the modular j-invariant", Canadian Mathematical Bulletin, 42 (4): 427–440, doi:10.4153/CMB-1999-050-1, MR 1727340.초기하학 계열로서 역행하는 것을 포함하여 다양한 흥미있는 대수적 정체성을 제공한다.
• Cox, David A. (1989), Primes of the Form x^2 + ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, New York: Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc., MR 1028322 j-invariant를 소개하고 관련 계급장 이론을 논한다.
• Conway, John Horton; Norton, Simon (1979), "Monstrous moonshine", Bulletin of the London Mathematical Society, 11 (3): 308–339, doi:10.1112/blms/11.3.308, MR 0554399. 175개 속-제로 모듈 함수의 목록을 포함한다.
• Rankin, Robert A. (1977), Modular forms and functions, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-21212-0, MR 0498390. 모듈형 양식의 맥락에서 짧은 리뷰를 제공한다.
• Schneider, Theodor (1937), "Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale", Math. Annalen, 113: 1–13, doi:10.1007/BF01571618, MR 1513075, S2CID 121073687.