트위스트 큐빅

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수학에서 꼬인 입방체는 투사형 3-공간 P에서³ 도 3의 매끄럽고 이성적인 곡선이다.그것은 꼬치곡선의 근본적인 예다.그것은 본질적으로 독특하고, 투사적 변환(따라서 꼬인 입방체)까지이다.대수 기하학에서 트위스트 큐빅은 사실 완전한 교차점이 아닌 선형이나 초대면인 투영적 다양성의 단순한 예다.이성적 정규 곡선의 3차원 사례로, 투영 선상에 3도 베로네즈 지도의 이미지다.null

정의

꼬인 입방체는 지도 이미지처럼 파라메트릭적으로 가장 쉽게 주어진다.

${\displaystyle \nu :\mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^3}$

균일한 좌표${\displaystyle }$[${\displaystyle S}$: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [S:T]}$에 값을 할당한다.

$\displaystyle \nu :[S:T]\mapsto [S^{3}:S^{2}T:ST^{2}:T^{3}]}$

투영 공간의 한 좌표 패치에서, 지도는 단순히 모멘트 곡선이다.

${\displaystyle \nu :x\mapsto(x,x^{2},x^{3})}$

즉, 아핀 곡선$x$ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}{x\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$)의 무한대에서 단일 점으로 마감하는 것이다$.$ ${\displaystyle$ (x$,x^{2},x^{3$

꼬인 입방체는 투영적인 품종으로, 세 개의 사분위의 교차점으로 정의된다.균일한 좌표${\displaystyle }$[${\displaystyle X}$: ${\displaystyle Y}$: Z${\displaystyle }$: ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [X:$P의³ $Y:Z:W]},$ 꼬인 입방체는 세 개의 동종 다항식이 소멸하여 정의된 닫힌 하위 체임이다.

${\displaystyle F_{0}=XZ-Y^{2}}$

${\displaystyle F_{1}=YW-Z^{2}}$

${\displaystyle F_{\displaystyle F_{2}=XW-YZ.}$

위의 명시적 매개변수화를 사용할 때, 즉 X를³ X로 대체하는 등 이 3차적 형태가 동일하게 사라지는지 확인할 수 있다.null

더 강하게 말하면, 트위스트 큐빅 C의 동질적 이상은 이 세 개의 동질 다항식 도 2에 의해 생성된다.null

특성.

트위스트 큐빅은 다음과 같은 특성을 가지고 있다.

• It is the set-theoretic complete intersection of ${\displaystyle XZ-Y^{2}}$ and ${\displaystyle Z(YW-Z^{2})-W(XW-YZ)}$, but not a scheme-theoretic or ideal-theoretic complete intersection; meaning to say that the ideal of the variety cannot be generated by only 2 polynomials; a minimum3개 중 3개가 필요하다.(${\displaystyle {}^{}{}^{}}$(${\displaystyle {Y\mathrm{}}^{}}$ W - Z 2) 2 ${\$개가 들어$$ 있지만, $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$- Z ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$개는 들어$$ 있지 않기 때문에 두 개의 다항식만을 사용하려고 하면 결과적으로 급진적이지 않은 이상적인 결과가 된다.
• C span P의³ 임의 4점.
• 4개의 코플라어가 없는³ P에서 6개의 포인트를 주어, 그 사이를 통과하는 독특한 트위스트 큐빅이 있다.
• 꼬인 입방 C의 접선과 이차선(이차종)의 결합은 P를³ 채우고 선은 곡선 자체의 점을 제외하고 쌍으로 분리된다.사실, 어떤 비 평면 매끄러운 대수곡선의 접선과 이차선의 결합은 3차원이다.또한 4개의 하위 체임벨이 P에³ 걸쳐 있는 특성을 가진 부드러운 대수적 다양성은 다양성 자체의 지점을 제외하고 접선과 이차선이 쌍으로 분리되는 특성을 갖는다.
• C의 접선 선상의 한 지점에서 면에 C의 투영으로 인해 정사 입방체가 생성된다.
• C의 두 번째 선에 있는 점으로부터의 투영은 노달 입방체를 산출한다.
• C의 점으로부터 투영된 것은 원뿔 단면을 산출한다.

참조

• Harris, Joe (1992), Algebraic Geometry, A First Course, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97716-3.