복잡한 곱셈

수학에서, 복소수 곱셈(CM)은 ^[1]정수보다 큰 내형 고리를 가진 타원 곡선 E의 이론이다.즉, 주기 격자가 가우스 정수 격자 또는 아이젠슈타인 정수 격자일 때 볼 수 있는 추가 대칭을 가진 타원 함수 이론을 포함합니다.

그것은 특수함수 이론에 속하는 양상을 가지고 있는데, 왜냐하면 그러한 타원함수 또는 여러 복잡한 변수의 아벨 함수는 특별한 항등식을 만족시키고 특정 지점에서 명시적으로 계산 가능한 특수값을 취하는 '매우 특별한' 함수이기 때문이다.그것은 또한 대수적 수 이론의 중심 테마로 밝혀졌고, 사이클로토믹 장 이론의 일부 특징들이 더 넓은 적용 영역으로 옮겨질 수 있게 해 주었다.데이비드 힐버트는 타원곡선의 복소수 곱셈 이론이 수학뿐 아니라 모든 ^[2]과학에서 가장 아름다운 부분이라고 언급했다고 한다.

또한 A의 항등원소에서의 접선공간에서의 작용이 1차원 모듈의 직합이라는 어떤 정확한 의미에서 충분한 내형성을 갖는 아벨 품종 A의 고차원 복소수 곱셈 이론이 있다.

가상 2차 필드 확장 예제

복소수 위의 타원곡선은 격자 δ에 의해 복소평면의 몫으로서 구하며, 여기서 2개의 기본주기 θ₁ 및 θ에₂ 걸쳐 있다.또한 Ω을 포함하는 격자 1/4 Ω에 해당하는 4토션도 표시된다.가우스 정수에 해당하는 타원 곡선의 예는 ω₂ = i가₁ 될 때 발생합니다.

Z, d>0{\textstyle K=\mathbb{Q}\left({\sqrt{-d}}\right),\,d\in\mathbb{Z},d>0}. 타원회 함수 f{\displaystyle f}이 있다면 f(z){\displaystyle f(z)}와 f사이에 대수 관계(은 복잡한 곱셈 것으로 알려져 있는 가상의 2차 필드 K= Q(− d), d∈을 고려해 보세요. λ z $f(\lambda z)$ K $\displaystyle$ K $displaystyle$ $\lambda$ 의 $\lambda$ $모든$ ${\$ 에 대해 {\ $displaystyle$ f $(\lambda$ z $)}$ 를 $f(\lambda z)$ 선택합니다 $.$

반대로 크로네커는 K $(\$ style $K)$ 의 $K$ 모든 아벨 연장은 복잡한 곱셈을 가진 적절한 타원곡선의 (근원) 방정식에 의해 얻을 수 있다고 추측했다.오늘날까지 이것은 힐버트의 12번째 문제 중 실제로 해결된 몇 안 되는 사례 중 하나로 남아 있다.

복소 곱셈을 갖는 타원 곡선의 예는 다음과 같다.

\displaystyle \mathbb {C} /(\theta \mathbb {Z} [i])}

여기서 Z[i]는 가우스 정수 링이고 θ는 0이 아닌 복소수입니다.이러한 복소 토러스에는 내형 링과 같은 가우스 정수가 있습니다.대응하는 곡선은 모두 다음과 같이 쓸 수 있는 것으로 알려져 있습니다.

Y^{2}=4X^{3}-aX

$a\in \mathbb {C}$ C $a\in \mathbb {C}$ {\ $displaystyle$ a $\in \mathbb {C$ 의 경우, 두 개의 공역 차수-4 자기 동형이 전송된다.

\displaystyle Y에서 \pm iY, 4분위 X에서 -X로

바이얼스트라스 타원함수에 대한 i의 작용과 일치한다.

$\omega _{1},\omega _{2}$ 일반적으로, $\omega _{1},\omega _{2}$ $\omega _{1},\omega _{2}$ , ${\$ $\omega _{1},\omega _{2}$ { $displaystyle$ \ $omega _$ ${$ 1} , \ $omega$ _ {2} $\omega _{1},\omega _{2}$ } 로 생성된 복소평면 내의 가법군인 격자 δ 를 고려하여 C ${\$ 에서 $\mathbb {C}$ 변수 $z$ ${\displaystyle$ z $}$ 의 $z$ 바이어스트라스 함수를 다음과 같이 정의한다.

({displaystyle \wp (z;\Lambda )=\wp (z;\Omega _{1},\Omega _{2})=sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left \{\frac {1}{(z+m\Omega_1}+{2}}^{2}})^{{2}}^{{{2}}}}}}}}{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}{displaystymega_{{{{{{{

그리고.

g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\obe _{1}+n\obe _{2})^{-4

g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\obe _{1}+n\obe _{2})^{-6}.

$℘$ { $displaystyle$ \ $wp$ }를 $\wp '$ ${\$ { $displaystyle$ \ $wp$ $\wp$ 의 도함수라고 합니다.그러면 복잡한 Lie 그룹의 동형성을 얻을 수 있습니다.

\displaystyle w\mapsto (\wp (w):\wp '(w):1)\in \mathbb {P}^{2}(\mathbb {C})}

복잡한 $\mathbb {C} /\Lambda$ C / $\mathbb {C} /\Lambda$ (\ $displaystyle \mathbb {C} /\Lambda})$ 에서 $\mathbb {C} /\Lambda$ 다음과 같이 균일한 좌표에서 정의된 투영 타원 곡선으로 이동합니다.

\displaystyle E=\left\{(x:y:z)\in \mathbb {C}^{3}\mid y^{2}z=4x^{3}-g_{3}z^{3}\right\}

그리고 여기서 타원곡선의 군법칙의 0요소인 무한점은 관례상 $(0:1:0)$ ( $(0:1:0)$ : $(0:1:0)$ : $)$ { $displaystyle (0:1:$ 0 $(0:1:0)$ 으로 간주한다. 타원곡선을 정의하는 격자가 ${\mathfrak {o}}_{K}$ 정수 ${\mathfrak {o}}_{K}$ 의 링(아마도 적절한 부분환)에 의해 곱하여 보존되는 경우 $,$ \ $displaystyle {mathfrfr$ } $K의$ ak { $o}}_{K$ $K$ 는 ${\mathfrak {o}}_{K}$ E $=$ / $E=\mathbb {C} /\Lambda$ { $displaystyle$ E=\ $mathbb {C}$ /\ $Lambda}$ 의 $E=\mathbb {C} /\Lambda$ 해석 자기동형환이다.

$\tau =\omega _{1}/\omega _{2}$ $\tau =\omega _{1}/\omega _{2}$ 1 $\tau =\omega _{1}/\omega _{2}$ / $display$ 2 ( $\tau =\omega _{1}/\omega _{2}$ \ $displaystyle$ $\tau =\omega _{1}/\omega _{2}$ \ $operatorname { Im$ $\operatorname {Im} \tau >0$ \ $> 0$ $)및$ $\Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^{3}$ ( $\Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^{3}$ ) $\tau =\omega _{1}/\omega _{2}$ $\Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^{3}$ $\Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^{3}$ ( $\Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^{3}$ ) $3$ - $\Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^{3}$ g $\Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^{3}$ 3 ( $\Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^{3}$ ) $\Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^{3}$ 。

\displaystyle j(\lambda)=j(\Lambda)=2^{6}3^{3}g_{2}(\Lambda)^{3}/\Delta(\Lambda)\ .}

즉, E $\displaystyle$ E에 복소 $E$ 곱셈이 $있는$ 경우 $,$ E\ $displaystyle$ 의 $E$ j 불변수는 대수적 숫자(K $\displaystyle$ K $)$ 입니다.

내형 추상론

타원 곡선의 내형상의 링은 세 가지 형태 중 하나가 될 수 있다: 정수 Z, 가상의 2차 수 필드의 순서 또는 ^[3]Q 위의 유한 사분위 대수의 순서.

정의장이 유한장일 경우, 항상 프로베니우스 맵에서 나오는 타원곡선의 사소하지 않은 내형상이 존재하기 때문에, 그러한 모든 곡선은 복잡한 곱셈을 가진다(그리고 용어는 자주 적용되지 않는다).그러나 기본 필드가 숫자 필드인 경우 복잡한 곱셈은 예외입니다.일반적으로 복소수 곱셈의 경우는 호지 추측에 있어서 가장 해결하기 어려운 것으로 알려져 있다.

크로네커와 아벨 확장자

크로네커는 처음에 비틀림 점에서의 타원함수의 값이 가상의 2차장에 대한 모든 아벨 확장을 생성하기에 충분해야 한다고 가정했고, 어떤 경우에는 아이젠슈타인으로, 심지어 가우스로까지 거슬러 올라가는 아이디어였다.이것은 크로네커 주겐드트라움으로 알려지게 되었고, 시무라의 상호 법칙을 통해 유리수장의 아벨 연장에 대한 통합의 뿌리가 하는 방식으로 명시적인 계급장 이론을 만들었기 때문에 확실히 힐베르트의 위의 발언을 촉발시켰다.

실제로, K를 클래스 필드 H를 갖는 가상의 2차 필드라고 하자. E를 H에 대해 정의된 K의 정수에 의한 복소 곱셈을 갖는 타원 곡선이라고 하자.그런 다음, K의 최대 아벨 연장은 E ^[4]over H에 대한 일부 바이어스트라스 모델에서 유한 차수의 점들의 x 좌표에 의해 생성된다.

크로네커의 사상에 대해 많은 일반화가 요구되어 왔지만, 그것들은 랭글랜드 철학의 주요 추진력에 다소 비스듬히 놓여 있고, 현재 알려진 명확한 진술은 없다.

샘플 결과

는 우연이 아니다

e^{\pi {displayrt}=262537412640768743.99999999925007\display

또는 동등하게

e^{\pi {displayrt {display}}=180320^{3}+743.999999999925007\syslog,

정수에 매우 가깝습니다.이 주목할 만한 사실은 복잡한 곱셈 이론과 모듈러 형태에 대한 약간의 지식, 그리고 사실로 설명된다.

\mathbf {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-163}}{2}}\right]

는 하나의 인수분해 도메인입니다.

$여기$ 서 $(1+{\sqrt {-163}})/2$ $(1+{\sqrt {-163}})/2$ ( $(1+{\sqrt {-163}})/2$ + - $(1+{\sqrt {-163}})/2$ / $(1+{\sqrt {-163}})/2$ ( $1+{\displayrt$ {-display}) /2)는 α $=$ α - 41을 만족한다².일반적으로 S[α]는 α와 S를 포함하는 가장 작은 고리인 S에 계수를 갖는 α의 모든 다항식 집합을 나타낸다.α는 이 2차 방정식을 만족시키기 때문에, 필요한 다항식은 1차 방정식으로 제한될 수 있다.

또,

e^{\pi {pi}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+743.999999999925007\syslog,

특정 아이젠슈타인 급수로 인한 내부 구조 및 다른 Heegner 숫자에 대한 유사한 간단한 표현.

특이 모듈리

복소수 곱셈을 하는 복소수에 대한 타원곡선의 주기 비율에 해당하는 상부 반평면 θ의 점은 정확히 가상의 2차 ^[5]수이다.대응하는 모듈러 불변량 j(θ)는 단수 ^[6]곡선을 참조하는 것이 아니라 비사소한 내형성을 갖는 성질을 "단수"로 지칭한 오래된 용어에서 유래한 단수 모듈리이다.

모듈러 함수 j(θ)는 허수 2차 수 ^[7]θ에 대해 대수적이다: 이것들은 j가 ^[8]대수인 상부 반평면에서 유일한 대수적 수이다.

δ가 주기비가 θ인 격자라면 j(θ)에 대해 j(δ)로 쓴다.만약 더 나아가 δ가 2차 허수장 K의 정수_K O의 링에서의 이상 a라면, 우리는 대응하는 단수 계수에 대해 j(a)를 쓴다.값 j(a)는 실제 대수 정수이며, K의 힐버트 클래스 필드 H를 생성한다. 필드 확장도 [H:K] = h는 K의 클래스 번호이고, H/K는 갈로아 그룹이 K의 이상 클래스와 동형인 갈로아 확장이다.클래스 그룹은 [b] : j(a) → j(ab)의 값 j(a)에 따라 작용합니다.

특히 K가 1등급이면 j(a) = j(O)는 유리 정수이다. 예를 들어 j(Z[i]) = j(i) = 1728이다.

「」를 참조해 주세요.

인용문

^ Silverman 2009, 페이지 69, 비고 4.3.
^ Reid, Constance (1996), Hilbert, Springer, p. 200, ISBN 978-0-387-94674-0
^ Silverman 1989, 페이지 102. sfn 오류: 대상 없음: CITEREFSilverman1989(도움말)
^ Serre 1967, 295페이지
^ 실버맨 1986, 페이지 339
^ 실버맨 1994, 페이지 104
^ Serre 1967, 293페이지
^ Baker, Alan (1975). Transcendental Number Theory. Cambridge University Press. p. 56. ISBN 0-521-20461-5. Zbl 0297.10013.

레퍼런스

보렐, A.쵸우라, C.S. 허즈, 이와사와, J.-P.복소수 곱셈 세미나1957년부터 58년까지 프린스턴 고등연구소에서 세미나를 개최.수학 강의 노트, No. 21, 베를린-뉴욕, Springer-Verlag, 1966년
Husemöller, Dale H. (1987). Elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 111. With an appendix by Ruth Lawrence. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96371-5. Zbl 0605.14032.
Lang, Serge (1983). Complex multiplication. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Vol. 255. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90786-6. Zbl 0536.14029.
Serre, J.-P. (1967). "XIII. Complex multiplication". In Cassels, J.W.S.; Fröhlich, Albrecht (eds.). Algebraic Number Theory. Academic Press. pp. 292–296.
Shimura, Goro (1971). Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Publications of the Mathematical Society of Japan. Vol. 11. Tokyo: Iwanami Shoten. Zbl 0221.10029.
Shimura, Goro (1998). Abelian varieties with complex multiplication and modular functions. Princeton Mathematical Series. Vol. 46. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-01656-9. Zbl 0908.11023.
Silverman, Joseph H. (1986). The Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 106. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96203-4. Zbl 0585.14026.
Silverman, Joseph H. (2009). The Arithmetic of Elliptic Curves (2nd ed.). Springer Science. ISBN 978-0-387-09493-9.
Silverman, Joseph H. (1994). Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 151. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94328-5. Zbl 0911.14015.

외부 링크

PlanetMath.org의 복잡한 곱셈
PlanetMath.org의 복소 곱셈을 사용한 타원 곡선의 예
Ribet, Kenneth A. (October 1995). "Galois Representations and Modular Forms". Bulletin of the American Mathematical Society. 32 (4): 375–402. arXiv:math/9503219. CiteSeerX 10.1.1.125.6114. doi:10.1090/s0273-0979-1995-00616-6.

[FOOTNOTESilverman200969Remark_4.3-1] Silverman 2009, 페이지 69, 비고 4.3.

[2] Reid, Constance (1996), Hilbert, Springer, p. 200, ISBN 978-0-387-94674-0

[FOOTNOTESilverman1989102-3] Silverman 1989, 페이지 102. sfn 오류: 대상 없음: CITEREFSilverman1989(도움말)

[FOOTNOTESerre1967295-4] Serre 1967, 295페이지

[FOOTNOTESilverman1986339-5] 실버맨 1986, 페이지 339

[FOOTNOTESilverman1994104-6] 실버맨 1994, 페이지 104

[FOOTNOTESerre1967293-7] Serre 1967, 293페이지

[8] Baker, Alan (1975). Transcendental Number Theory. Cambridge University Press. p. 56. ISBN 0-521-20461-5. Zbl 0297.10013.

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