대수 기하학 및 해석 기하학

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수학에서 대수 기하학과 분석 기하학은 밀접한 관련이 있는 두 과목이다.대수 기하학이 대수적 품종을 연구하는 동안, 분석적 기하학은 복잡한 다지관과 여러 복잡한 변수의 분석 기능이 사라짐으로써 국소적으로 정의되는 보다 일반적인 분석 공간을 다룬다.이들 과목 사이의 깊은 관계는 대수적 기법이 공간 분석과 대수적 변종 분석 기법에 적용되는 수많은 응용을 가지고 있다.

주요명세서

X를 투영적인 복잡한 대수적 다양성이 되게 하라.X는 복합 품종이기 때문에 콤팩트한 복합 분석 공간의 구조를 얻을 수 있다.이 분석 공간은 X로^an 표시된다.마찬가지로 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) X의 셰프인 경우 X에는^an 해당하는 ${\displaystyle {\text{셰프}}^{}}$ F ${\$ {$F}^{\text{an}}}$이(가) 있다.이 분석 대상과 대수적 대상의 연관성은 functor이다.X와 X와^an 관련된 원형 정리는 X에 대한 F ${\$ 및 $G$ ${\$을(를) 두 개의 일관성 있는 층에 $대해{\displaystyle \mathcal{}}$ 자연 동형성을 다음과 같이 말한다.

${\displaystyle {\text{홈}_{\mathcal{O}_{X}}({\mathcal {F},{\mathcal {G})\오른쪽 화살표 {\text{홈}}_{\mathcal{O}_{X}^{\text{an}}}({\mathcal {F}^{\text{an},{\mathcal {G}^{\text{an})}}}}}$

이소모르프다.여기서 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$은(는) 대수종 X의 구조 조각이며, $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\text{X}}_{}^{}}$는 ${\$은(는) 분석종류 X의^an 구조 조각이다.즉 대수적 품종 X에 대한 일관성 있는 피복의 범주는 분석적 품종 X에^an 대한 분석적 일관성 피복의 범주와 동등하며, $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$displaystyle {\mathcal{F}}$을(를$)$ F에 매핑하여 물체에 동등성이 부여된다$($특히 t $t)$hat $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle X_{}^{}}$ ${\displaystyle {\text{an}}_{}^{}}$ ${\$_{$X}^{\$text{$an}}$ 그 자체는$$ 일관성이 있으며, 결과는 Oka 일관성 정리라고 알려져 있다.)^[1]

또 다른 중요한 진술은 다음과 같다.대수적 다양성 X에 대한$$ 일관성 $있는{\displaystyle \mathcal{}}$ sheaf F ${\$의 경우 동형성

${\displaystyle \varepsilon _{q}\ :\ H^{q}(X, {\mathcal {F})\오른쪽 화살표 H^{q}(X^{an},{\mathcal {F}^{an}})}$

모든 q에 대한 이형성.이것은 X의 q번째 코호몰로지 그룹이 X의^an 코호몰로지 그룹과 이형성이라는 것을 의미한다.

이 정리는 위에서 언급한 것보다 훨씬 일반적으로 적용된다(아래 공식 성명 참조).그것과 그 증거는 차우의 정리, 렙체츠 원리, 고다이라 소멸 정리 등 많은 결과를 낳는다.

배경

대수적 다양성은 다항식들의 공통 영점 집합으로 국소적으로 정의되며, 복합수위에 걸친 다항식들은 홀로모픽 함수이기 때문에 C에 대한 대수적 다양성은 분석적 공간으로 해석할 수 있다.마찬가지로, 품종들 사이의 규칙적인 형태는 분석적 공간들 사이의 홀로모르픽 매핑으로 해석된다.다소 놀랍게도, 분석적인 물체를 대수적으로 해석하는 것, 그 반대 방향으로 가는 것이 종종 가능하다.

예를 들어 리만 구에서 그 자체로 분석함수가 이성함수 또는 동일 무한함수(Louville의 정리의 확장)라는 것을 증명하기 쉽다.그러한 함수 f가 일정하지 않으면 f(z)가 무한인 z 집합이 분리되고 리만 구가 콤팩트하기 때문에 f(z)가 무한과 동일한 z가 정밀하게 많다.로랑 확장을 그런 모든 z에서 고려하고 단수 부분을 빼라: 우리는 리만 구에 C의 값을 가진 함수를 남겨두고 있는데, 리우빌의 정리에 의해 이 함수는 일정하다.그러므로 f는 이성적인 함수다.이 사실은 대수적 품종으로서의 복잡한 투사선, 또는 리만 구체로서의 본질적인 차이가 없음을 보여준다.

중요한 결과

대수 기하학과 분석 기하학 사이에는 19세기에 시작된 비교 결과의 오랜 역사가 있다.보다 중요한 진전의 일부는 여기에 연대순으로 나열되어 있다.

리만의 존재 정리

리만 표면 이론은 콤팩트한 리만 표면이 충분한 메리모르픽 함수를 가지고 있어 대수학적 곡선이 된다는 것을 보여준다.리만의 존재 정리라는^[2][3] 이름 아래 콤팩트한 리만 표면의 래미티드 커버링에 대한 더 깊은 결과를 알 수 있었다. 위상학적 공간과 같은 유한 커버링은 래미화 포인트 보완의 기본 그룹의 순열 표현에 의해 분류된다.리만 표면 특성은 국부적이기 때문에 그러한 덮개는 복잡한 분석적 의미에서 커버로 꽤 쉽게 보인다.그러면 그것들이 대수곡선의 지도를 커버하는 데서 나온다고 결론 내릴 수 있다. 즉, 그러한 커버링은 모두 함수 영역의 유한한 확장으로부터 나온 것이다.

렙셰츠 원리

20세기에 솔로몬 렙체츠를 위해 명명된 렙체츠 원리는 K를 복잡한 숫자장처럼 취급함으로써 특성 0의 어떤 대수적으로 폐쇄된 필드 K에 대해 대수 기하학에 위상학적 기법을 사용하는 것을 정당화하기 위해 대수 기하학에서 인용되었다.그것의 기본적인 형태는 C에 대한 필드의 첫 번째 순서 이론의 참된 진술이 특성 0의 어떤 대수적으로 닫힌 필드 K에 대해 진실이라고 주장한다.정확한 원리와 그 증거는 알프레드 타르스키에 기인하며 수학 논리에 기초를 두고 있다.^[4][5]

이 원리는 C 이상의 대수적 변종에 대한 분석적 또는 위상학적 방법을 사용하여 얻은 일부 결과를 특성 0의 다른 대수적으로 폐쇄된 지면장으로 이월하는 것을 허용한다.

초의 정리

Wei-Liang Chow에 의해 증명된 Choo(1949년)는 이용 가능한 가장 즉시 유용한 종류의 비교의 예다.(일반적인 위상학적 의미에서) 닫힌 복잡한 투영 공간의 분석적 하위공간은 대수학적 하위변수라고 기술하고 있다.이는 "강력한 위상에서 닫힌 복잡한 투영 공간의 분석적 하위 공간은 자리스키 위상에서 닫힌다"고 다시 표현할 수 있다.이것은 대수 기하학의 고전적인 부분들 안에서 복잡한 분석적 방법들을 꽤 자유롭게 사용할 수 있게 한다.

가가

예를 들어, 호지 이론의 기법을 포함하는 대수 기하학의 기초를 마련하는 사업의 일환으로, 두 이론 사이의 많은 관계를 위한 기초가 1950년대 초반에 마련되었다.이 이론을 통합한 주요 논문은 장 피에르 세레의 게메트리 알제브리크 et Géométrie Analytique Serre(1956)로, 지금은 보통 GAGA로 일컬어진다.그것은 대수적 품종, 규칙적인 형태론 및 피복과 분석적 공간, 홀로모르픽 매핑 및 피복의 분류와 관련된 일반적인 결과를 증명한다.이것은 이 모든 것을 단의 범주 비교로 줄인다.

오늘날 GAGA-스타일 결과라는 문구는 어떤 비교의 정리에도 사용되며, 대수 기하학에서 나온 물체의 범주와 그 형태들 사이의 통로를 분석 기하학 물체와 홀로모르프 매핑의 잘 정의된 하위 범주로 허용한다.

GAGA 공식 성명

1. Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$) ${\displaystyle (X,{\mathcal{O}_{X}}}}$은(는) C보다 유한한 유형의 체계다$$.그 다음 위상학적 공간^an X가 있는데, 이 공간은 연속적 포함 지도 λ_X: X^an → X와 함께 X의 닫힌 점으로 구성되어 있다.X의^an 위상은 "복잡한 위상"이라고 불린다(그리고 아공간 위상과는 매우 다르다).
2. φ: X → Y는 C보다 국소적으로 유한한 형태의 체계 형태론이라고 가정하자.그 다음, 연속 지도 φ^an: X^an → Y와^an 같은 λ_Y^an ° = φ ° λ이_X 존재한다.
3. There is a sheaf ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$ on X^an such that ${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$ is a ringed space and λ_X: X^an → X becomes a map of ringed spaces.The space ${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$ is called the "analytification" of ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ and is an analytic space.매 φ: X → Y에 대해 위에서 정의한 지도 φ은^an 분석공간의 매핑이다.게다가 지도 φ ↦ maps^an 지도는 산물을 개방하여 산물을 개방한다.X = Spec(C₁[, ...,x_n])이면 모든^an 폴리디스크 U에 대해$$ X = Cⁿ 및 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ X ${\displaystyle a_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}{\mathrm{U}}_{}^{}}$ $){\displaystyle {\mathcal$ {$O}_{X}^{\mathrm {an}}}}(U$)이$($가) U의 홀모픽 함수의 공간에 대한 적절한 몫이다.
4. 모든 다발 F{\displaystyle{{F\mathcal} 들어}}X에서(대수 사향 속이라고 불리는)이 Xan(분석적인 사향 속이라고 불리는)에 한 F오빠{\displaystyle{{F\mathcal}}^{\mathrm{}}}그리고 OX{\displaystyle{{O\mathcal}}_{X}다발의 지도가 있}λ X∗:F→(Xλ)∗ F-modules a$n {\$오른쪽 $화살표(\lambda _{X}){*}{\mathcal{F}^{\mathrm {an$The sheaf ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ is defined as ${\displaystyle \lambda _{X}^{-1}{\mathcal {F}}\otimes _{\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$.The correspondence ${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ defines an exact functor from the category of sheaves over ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ to the category of sheaves of ${\displaystyle (X^{\mathrm {a$$n},{\mathcal{O}_{X}^{\mathrm {an$
   다음의 두 진술은 세레의 GAGA 정리(Alexander Grotendieck, Amnon Neeman ^[6]등)^[3]의 핵심이다.
5. If f: X → Y is an arbitrary morphism of schemes of finite type over C and ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is coherent then the natural map ${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\rightarrow f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ is injective. f가 적절하다면 이 지도는 이형성이다.One also has isomorphisms of all higher direct image sheaves ${\displaystyle (R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\cong R^{i}f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ in this case.
6. 이제 X가^an 하우스도르프이고 콤팩트하다고 가정해보자.If ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$ are two coherent algebraic sheaves on ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ and if ${\displaystyle f\colon {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\rightarrow {\mathcal {G}}^{\mathrm {an} }}$ is a map of sheaves ofOX는 n{\displaystyle{{O\mathcal}}_{X}^{\mathrm{}}}다음 OX{\displaystyle{{O\mathcal}}_{X}}다발의 독특한 지도 존재하 -modules φ:F→ G{\displaystyle \varphi:{{\mathcal F}}\rightarrow{{G\mathcal}}}f)φan과 -modules.만약 R{\displaystyle{{R\mathcal}}}이다.OX는 n{\displaystyle{{O\mathcal}}_{X}^{\mathrm{}의 조리 있는 분석적 다발}}Xan 위에 일관성 있는 대수 한 F{\displaystyle{{F\mathcal}}이 존재하}OX{\displaystyle{{O\mathcal}}_{X}의}-modules과 유질 동상 F오빠≅ R{\displaystyle{\mat -modules.hc$al{F}^{\mathrm {an}}}\cong {\mathcal {R$

약간 덜 일반적인 것으로, GAGA 정리는 복잡한 투영 버라이어티 X에 대한 일관성 있는 대수적 피복 범주와 해당 분석 공간 X에^an 대한 일관성 있는 분석 피복 범주가 동등하다고 주장한다.분석 공간 X는^an 좌표 차트를 통해 C에서ⁿ X로 복잡한 구조를 다시 당겨서 대략 얻는다.실제로 위의 공식 성명이 얼마나 많이 사용하는 완전 계획-이론적 언어가 GAGA의 출판 당시까지 발명되지 않았는지를 보면, 이러한 방식으로 정리를 표현하는 것은 세레의 논문에 더 가까운 정신이다.

메모들

참조

외부 링크

• Kiran Kedlaya. 18.726 대수 기하학 (LEC #30 - 33 GAGA) 2009년 봄.매사추세츠 공과대학교: MIT OpenCourseWare Creates: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA.