높이 기능

높이 함수는 수학적 물체의 복잡성을 수량화하는 함수입니다.디오판틴 기하학에서 높이 함수는 디오판틴 방정식에 대한 해법의 크기를 정량화하고, 일반적으로 대수적 다양성(또는 대수적 다양성 집합)에 대한 점 집합에서 ^[1]실수에 이르는 함수이다.

예를 들어, 유리수에 대한 고전적 높이 또는 순진한 높이는 일반적으로 좌표의 분자와 분모의 최대값(예를 들어 좌표의 경우 3(3/9, 1/2))으로 정의되지만 로그 척도로 정의된다.

중요성

높이 함수를 사용하면 수학자는 유리점과 같이 양이 무한하지 않은 물체를 셀 수 있습니다.예를 들어, 주어진 상수보다 낮은 순진한 높이의 유리수 집합(가장 낮은 항으로 표현될 때 분자와 분모의 최대치)은 유리수 집합이 ^[2]무한함에도 불구하고 유한하다.이런 의미에서 높이 함수는 앨런 베이커(1966, 1967a, 1967b)에 의해 증명된 초월수 이론의 베이커 정리 같은 점근적 결과를 증명하는데 사용될 수 있다.

다른 경우에는 높이 함수가 복잡도에 따라 일부 객체를 구분할 수 있습니다.예를 들어, 부분 공간 정리는 볼프강 M에 의해 증명되었다. 슈미트(1972)는 투영 공간에서 작은 높이의 점(즉, 작은 복잡도)이 한정된 수의 하이퍼플레인에 있다는 것을 증명하고 S 단위 ^[3]방정식의 적분점과 해법에 대한 시겔의 정리를 일반화한다.

높이 함수는 Weil(1929년)과 Faltings(1983년)가 각각 Mordell-Weil 정리와 Faltings 정리를 증명하는 데 결정적이었다.마닌 추측과 보이타의 추측과 같은 대수적 변종에서의 유리점의 높이에 대한 몇몇 해결되지 않은 문제들은 디오판틴 근사, 디오판틴 방정식, 산술 기하학, 그리고 수학 ^[4][5]논리학의 문제에 광범위한 영향을 미친다.

디오판틴 지오메트리의 높이 함수

역사

디오판틴 기하학의 높이는 1920년대에 ^[6]안드레 베일과 더글러스 노스콧에 의해 처음 개발되었다.1960년대 혁신은 Néron-입니다.테이트 높이와 높이가 투영 표현과 연결되어 있다는 것을 깨달은 것은 충분한 선다발이 대수기하학의 다른 부분에 있는 것과 거의 같은 방식이었다.1970년대에 수렌 아라켈로프는 아라켈로프 ^[7]이론에서 아라켈로프 고지를 개발했다.1983년 팔팅스는 팔팅스 ^[8]정리의 증명에서 팔팅스 높이 이론을 발전시켰다.

순진한 키

고전적 높이 또는 순진한 높이는 동종 좌표의 일반적인 절대값으로 정의됩니다.이는 일반적으로 로그 척도가므로 ^[2]점을 저장하는 데 필요한 "대수 복잡도" 또는 비트 수에 비례하는 것으로 볼 수 있습니다.이는 일반적으로 최소 공통 분모를 곱하여 얻은 공역 정수 벡터의 최대 절대값의 로그로 정의됩니다.이는 최소 ^[9]다항식의 높이에서 계수 벡터 또는 대수적 숫자의 벡터로 간주되는 Q 또는 다항식 위의 투영 공간의 점의 높이를 정의하기 위해 사용될 수 있다.

유리수 x = p/q의 순진한 높이는 다음과 같다.

• 승수 $높이{\displaystyle }$H (${\displaystyle p}$ /${\displaystyle }$q ) $=$ {${\displaystyle p}$ , ${\displaystyle q}$ $}$ { $displaystyle$H ($p$ / q )= \ $max$\ {$p$ , q$\$ }
• 로그 높이:${\displaystyle }h{\displaystyle }$ (${\displaystyle p}$ /${\displaystyle }$q )$=$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$( p /$){$ $displaystyle$ h ( $p$/ q )=\$log$H ( $p$/ q )$$}

따라서 4/10의 순승과 로그 높이는 예를 들어 5와 log(5)입니다.

y = x³ + Ax + B로 주어진² 타원 곡선 E의 순진한 높이 H는 H(E) = log max(4 A, 27 B)^[12]로 정의된다.

네론-테이트 높이

네론-테이트 높이 또는 표준 높이는 전지구장에 걸쳐 정의된 아벨 다양성의 합리적인 점들의 모르델-바일 군에서 2차 형식이다.이것은 처음에 그것을 지역 ^[13]높이의 합으로 정의한 André Néron과 미발표 ^[14]작품에서 그것을 글로벌하게 정의한 John Tate의 이름을 따서 명명되었다.

웨일 높이

Weil 높이는 X에 선 번들 L이 장착된 숫자 필드 K 위의 투영 품종 X에 정의됩니다.X에 매우 풍부한 선다발₀ L이 주어졌을 때, 순한 높이 함수 h를 사용하여 높이 함수를 정의할 수 있다.L'은 매우 풍부하기 때문에₀ 완전한 선형계는 X에서 투영 공간까지의 지도 θ를 제공한다.다음으로 X의 모든 포인트p에 ${\displaystyle {대해h{}_{}}_{}}$ L ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$(${\displaystyle p}$ ) : ${\displaystyle =h}$ ( ${\displaystyle p}$)를 $정의$합니다$.{$ $display style$ h _ { $L$_ { $0$} （ $p$） :$=h(\phi($$p)).$$}$^[15][16]

임의의 선다발 L은 Serre의 연선다발 O(1)까지 X의 2개의 매우 넉넉한 선다발₁ L과₂ L의 차이로 쓸 수 있으므로${\displaystyle L_{}}$ : $=$ ${\displaystyle {}_{{}_{}}{{1\mathrm{}}_{}}_{}}$ - ${\displaystyle {{H\mathrm{}}_{}}_{}{2{}_{}}_{}}$, {\$style H_{L$}_${L$}_${L$}_{L}을 통해 X에 대한 Weil 높이_L h를 정의할 수 있다.

아라켈로프 높이

대수적 숫자의 장에 걸친 투영 공간의 아라켈로프 높이는 아르키메데스 장에 대한 Fubini-Study 측정 기준과 비아르키메데스 ^[17][18]장에 대한 일반적인 측정 기준에서 나온 국소적 기여와 함께 전역 높이 함수이다.이것은 다른 ^[19]측정 기준을 갖춘 일반적인 Weil 높이입니다.

흔들림 높이

숫자 필드에 대해 정의된 아벨 다양성의 팔팅 높이는 산술 복잡도의 척도입니다.이것은 미터링된 회선 번들의 높이로 정의됩니다.그것은 팔팅스(1983)가 모르델 추측의 증거로 도입했다.

대수의 높이 함수

다항식의 높이

n차이의 다항식 P에 대하여

${\displaystyle P=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}}$

높이 H(P)는 ^[20]계수의 최대 크기로 정의됩니다.

${\displaystyle H(P)= 언더셋 {i}{\max}}, a_{i} .}$

마찬가지로 길이 L(P)을 계수의 크기 합계로 정의할 수 있다.

${\displaystyle L(P)=\sum _{i=0}^{n} a_{i} .}$

말러 측도와의 관계

P의 말러 측도 M(P)은 ^[21]P의 복잡도를 나타내는 척도이다.세 가지 함수 H(P), L(P), M(P)는 부등식에 의해 관련된다.

${\displaystyle {n}{\lfloor n/2\rfloor}}^{-1}H(P)\leq M(P)\leq H(P){\sqrt {n+1};}$

${\displaystyle L(p)\leq 2^{n}M(p)\leq 2^{n}L(p);}$

$\displaystyle H(p)\leq L(p)\leq(n+1)H(p)}$

${\displaystyle 여기}$서 $({\displaystyle }$ n${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{/}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$ / ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{2\mathrm{}}{}}$)$$){ $displaystyle$ \$scriptstyle \binom$ {n$}{\lfloor$n/$2\loor }}$은 이항계수입니다.

자동 형태에서의 높이 함수

아델릭 대수군의 일반 선형군에서의 자기형태 정의 조건 중 하나는 아핀 ^[22]품종으로 보는 일반 선형군에서의 높이함수의 성장에 관한 점근적 조건이다.

기타 높이 기능

축소할 수 없는 유리수 x = p/q, q > 0의 높이는${\displaystyle }$p $+$^[23]$q입니다($$이$ 함수는 N$(\$$displaystyle$ $\mathbb$$${$N})$과$Q$(\displaystyle \$mathbb$ {$Q})$ $사이$의 분사를 구성하는 데 사용됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

• abc 추측
• 버치와 스위너튼-다이어 추측
• 타원 르메르 추측
• 히스-브라운-모로즈 상수
• 정식 단체법의 높이
• 높이 제타 기능
• 레이노 등원 정리
• 트리 높이

레퍼런스

원천

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• Baker, Alan (1967a). "Linear forms in the logarithms of algebraic numbers. II". Mathematika. 14: 102–107. doi:10.1112/S0025579300008068. ISSN 0025-5793. MR 0220680.
• Baker, Alan (1967b). "Linear forms in the logarithms of algebraic numbers. III". Mathematika. 14 (2): 220–228. doi:10.1112/S0025579300003843. ISSN 0025-5793. MR 0220680.
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외부 링크

• Mathworld에서의 다항식 높이