볼자 표면

수학에서 볼자 표면, 대안으로 복잡한 대수학적 볼자 곡선(Oskar Bolza (1887년)이 소개됨)은 이 속(속)에서 등정 자동형성 그룹의 가능한 가장 높은 순서를 가진$$ 속 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle 2}$의 콤팩트 리만 표면이며, 즉, 48(일반 린)의 $GL_{$이다.유한 필드 $F{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ {$F} _{3}$에 걸쳐 2 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2\time$ 2$}$ 행렬의$$ 이어 그룹.$$완전 자동형성 그룹(${\displaystyle \mathrm{반사}}$ 포함)은 순서 96의$$ 반직접 제품 $G{\displaystyle }$ L ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( 3${\displaystyle }$) ${\displaystyle ⋊}$ Z ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}이다.볼자 표면의 아핀 모델은 방정식의 중심으로서 얻을 수 있다.

${\displaystyle y^{2}=x^{5}-x}$

$C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$볼자 표면은 아핀 곡선의 매끄러운 완성이다.모든 속 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 2}$ 쌍곡면$$ 중에서 볼자 표면은 시스톨의 길이를 최대화한다(Schmutz 1993).과대망상 리만 표면으로서, 위 방정식에서 쉽게 알 수 있듯이, 구에 새겨진 일반 팔면체의 6 꼭지점에 라미화 궤적을 가진 리만 구의 래미티드 더블 커버로 발생한다.null

볼자 표면은 양자 혼돈에 대한 비교적 단순한 모델을 제공하기 때문에 물리학자들의 관심을 끌었다. 이러한 맥락에서 볼자 표면은 보통 하다마드-구츠윌러 모델이라고 불린다.^[1]볼자 표면의 기능에 작용하는 라플라스-벨트라미 연산자의 스펙트럼 이론은 수학자와 물리학자들 모두에게 관심의 대상이 되는데, 그 이유는 표면이 일정한 음의 곡선을 가진$$ $2속{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$2}의 모든 컴팩트하고 닫힌 리만 표면들 중에서 라플라치안의 첫 번째 양의 고유값을 최대화하는 것으로 추측되기 때문이다.요소들

삼각면

볼자 표면은 a${\displaystyle }$(${\displaystyle 2,3}$,${\displaystyle }$8 )$${\$디스플레이$스타일($2,3$,8$)}$개의$$ 삼각형 표면이다 – 슈바르츠 삼각형을 참조한다.구체적으로는 볼자 표면을 정의하는 푸치안 그룹은 ${\displaystyle \frac{\mathrm{각도}}{}}$가${\displaystyle }angles{\displaystyle \frac{}{}}$ 2, ${\displaystyle \pi \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{3}{}}$,${\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{}}$ 8 ${\$인 쌍곡 삼각형의 측면에서 반사에 의해 생성된 그룹의 하위 그룹이다.등각도를 보존하는 방향 그룹은 반사군 지수 2 하위군의 한 부분군으로, 반사의 짝수 숫자의 산물로 구성되며, 생성자의 관점에서 추상적인 $표시$는 ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{s\mathrm{}}_{}}$8 $displaystyle s_{2},s_{3}, s_{8},$ $관계$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{\mathrm{}}}$= s ${\displaystyle 3_{}}$이다.${\displaystyle {}^3}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{\mathrm{}}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle s_{2}}{}^{2}=s_{3}{}^{3}=s_{8}{8}=1}$및$$ $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2초\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$= s ${\displaystyle {8\mathrm{}}_{}}$ ${\$볼자 표면을 정의하는$$ 푸치안 그룹 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ 또한 (${\displaystyle 2},{\displaystyle 3}$,${\displaystyle }$, 8$){\displaystyle ($2$,3,8)$ 그룹에 있는 지수 2의 하위 그룹이다.$({\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle }$$8$${\displaystyle }$) ${\displaystyle ($2$,3,8)}$ 그룹은$$ 쿼터니온 대수적 관점에서 실현되지 않지만 (3$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 4}$) ${\displaystyle$(3$,4)}$ 그룹은$$ 실현된다.null

푸앵카레 디스크의 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$의 작용에 따라 볼자 표면의 기본 도메인은 $\pi {\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{4}{}}$ ${\$$}}$ 각도와 모서리가 있는 일반 8각형이다.

${\displaystyle p_{k}=2^{-1/4}e^{i\leftfrac\tfrac {\pi }{8}}+{\tfrac {k\pi }{4}}\오른쪽)}}}}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, 7 ${\displaystyle k=0,\ldots,7$ 8각형의 반대쪽은 후치안 그룹의 작용으로 식별된다.그 발전기는 매트릭스다.

${\displaystyle g_{k}={\begin{pmatrix}1+{\sqrt {2}}&(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{\tfrac {ik\pi }{4}}\\(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{-{\tfrac {ik\pi }{4}}}&1+{\sqrt {2}}\end{pmatrix}},}$

$여기$서 $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle \sqrt{2}}$- 1 ${\$ k$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,\dots ,}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle k=0,\ldots ,3$ 그 invers.발전기가 관계를 만족시킨다.

${\displaystyle g_{0}g_{1}g_{1}^{-1}g_{3}^{-1}g_{0}^{0}g_{1}g_{2}^{-1}g_{1}g_{1}g_{1}^{-1}g_{3}=1.}$

이러한 발전기는 길이 스펙트럼에 연결되어 가능한 모든 지질 루프 길이를 제공한다.그러한 가장 짧은 길이를 표면의 systole이라고 한다.볼자 표면의 시스톨은

${\displaystyle \ell _{1}=2\mname {\rm { {osh}(1+{\sqrt{2}})\약 3.05714.}$

볼자 표면에 대한 길이 스펙트럼의$$ $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\text{th}}^{}}$ ${\$ 요소 ${\displaystyle {elementn}_{}}$ ${\$은(는) 다음과 같다.

${\displaystyle \ell _{n}=2\mname {\rm { {osh}}(m+n{\sqrt{2}}),}$

여기서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은 양의 정수(4, 24, 48, 72, 140 및 다양한 상위 값 제외)를 통과하며($Aurich{\displaystyle }$, Bogomolny & Steiner $1991),$ m ${\displaystym$ m}은$$ 최소화하는 고유한 홀수 정수다.

${\displaystyle \vert m-n{\sqrt{2}\vert .}$

삼각형 그룹에서 직접 동등한 폐쇄 형태의 시스톨을 얻을 수 있다.공식은 a(2,3,8) 삼각형의 옆 길이를 명시적으로 계산하기 위해 존재한다.systole은 (2,3,8) 삼각형에서 안쪽 길이의 4배 길이에 해당한다. 즉,

${\displaystyle \ell _{1}=4\m 이름 {\rm { {osh}\refrac {\csc\\\refrac{}}{8}\pi }{2}}\오른쪽)\ 약 3.05714.}$

측지 길이 ${\displaystyle {\ell n}_{}}$ ${\$도 지표면의 펜첼-닐슨 좌표에도 나타난다.속 2의 표면에 대한 펜첼-닐슨 좌표 세트는 세 쌍으로 구성되며, 각 쌍은 길이와 꼬임이다.Perhaps the simplest such set of coordinates for the Bolza surface is ${\displaystyle (\ell _{2},{\tfrac {1}{2}};\;\ell _{1},0;\;\ell _{1},0)}$, where ${\displaystyle \ell _{2}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (3+2{\sqrt {2}})\appr$$소$ 4$.8969$ .

또한 "대칭" 좌표 집합$ℓ1$,${\displaystyle {}_{}t;}$ ${\displaystyle \ell 1{}_{}}$,${\displaystyle {}_{}t;}$;1, $t$ $t$ )이 있는데$,$ 여기서 길이 $3개$는 모두 sysole $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}${$1}$이고^[2], 우여곡절의 3개는 모두 sysole 1 ${\$

${\displaystyle t={\frac {\rm {\rm {}}osh}\left\sqrt{2}}{7}}}{3+{\sqrt{2}}}}}}{\rm {oshosh}}}}}}}{1+{\sqrqrt{2}}}}}}\약 0.321281.}$

표면의 대칭

볼자 표면의 기본 영역은 푸앵카레 디스크의 정규 8각형이며, (전체) 대칭 그룹을 생성하는 네 가지 대칭 작용은 다음과 같다.

• R – 8각형의 중심에 대한 순서 8의 회전;
• S – 실제 라인의 반사
• T – 8각형을 테셀링하는 16개(4,4,4) 삼각형 중 한 개의 측면에 반사되는 모양
• U – a (4,4,4) 삼각형의 중심에 대한 순서 3의 회전.

이것들은 인접한 그림에서 굵은 선으로 표시된다.그들은 다음과 같은 관계를 만족한다.

${\displaystyle \langle R,\,S,\,T,\,U\mid R^{8}=S^{2}=T^{2}=U^{3}=RST=RTR^{3}T=e,\,UR=R^{7}U^{2},\,U^{2}R=스튜,\,US=SU^{2},\,UT=RSU\angle ,}$

여기서 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$은(는) 사소한(일반적인) 작업이다.GAP의 이러한 관계 집합을 사용하여 그룹의 대표 이론에 대한 정보를 검색할 수 있다.특히 1차원의 4개, 2차원의 2개, 3차원의 4개, 4차원의 불가해한 표현 3개가 있다.

${\displaystyle 4(1^{2})+2(2^{2})+4(3^{2})+3(4^{2}=96}$

예상대로null

스펙트럼 이론

여기서 스펙트럼 이론은 라플라시안 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Delta }$의 스펙트럼을 가리킨다$$볼자 표면의 첫 번째 아이겐스페이스(즉, 첫 번째 양의 고유값에 해당하는 아이겐스페이스)는 3차원이고, 두 번째 아이겐스페이스(Cook 2018), (Jenni 1981).Teichmüller 공간의 첫 번째 아이겐스페이스에서 기능 노달 라인의 동요를 조사하면 도입에서 추측된 결과를 산출할 수 있을 것으로 생각된다.이 추측은 표면의 고유값과 속 2의 다른 표면의 광범위한 수치 계산에 기초한다.특히 볼자 표면의 스펙트럼은 매우 높은 정확도로 알려져 있다(Strohmaier & Uski 2013).다음 표는 볼자 표면의 처음 10개의 양의 고유값을 나타낸다.null

볼자 표면의 처음 10개의 양의 고유값에 대한 수치적 계산

아이겐값	수치	다중성
${\displaystyle \lambda _{0}}$	0	1
${\displaystyle \lambda _{1}.$	3.8388872588421995185866224504354645970819150157	3
${\displaystyle \lambda _{2}}$	5.353601341189050410918048311031446376357372198	4
${\displaystyle \lambda _{3}}$	8.249554815200658121890106450682456568390578132	2
${\displaystyle \lambda _{4}}$	14.72621678778883204128931844218483598373384446932	4
${\displaystyle \lambda _{5}}$	15.04891613326704874618158434025881127570452711372	3
${\displaystyle \lambda _{6}}$	18.65881962726019380629623466134099363131475471461	3
${\displaystyle \lambda _{7}}$	20.5198597341420020011497712606420998241440266544635	4
${\displaystyle \lambda _{8}}$	23.0785584813816351550752062995745529967807846993874	1
${\displaystyle \lambda _{9}}$	28.079605737677729081562207945001124964945310994142	3
${\displaystyle \lambda _{10}}$	30.833042737932549674243957560470189329562655076386	4

볼자 표면의$$ 스펙트럼 결정인자와 카시미르 에너지 ${\displaystyle \mathrm{\zeta }}$(${\displaystyle }$- 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ )${\$디스플레이 $스타일 \제타(-1/2)}$은 다음과 같다.

${\displaystyle \det {}{\\zeta }(\Delta )\약 4.72273280444557}$

그리고

${\displaystyle \zeta _{\Delta }(-1/2)\약 -0.65000636917383}$

각각 모든 소수 자릿수가 정확하다고 간주되는 경우.볼자 표면의 제2속에서는 스펙트럼 결정요소가 극대화되는 것으로 추측된다.null

콰터니온 대수

MacLachlan과 Reid에 이어 quaternion 대수로는 발전기 i,j 및 관계에 의한 연관 대수로서 생성된$$ Q${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ $){\displaystyle \mathb{Q}{\sqrt{2}}}$에 대한 대수라고 할 수 있다.

${\displaystyle i^{2}=-3,\;j^{2}={\sqrt{2},\;ij=-ji,}$

적절한 주문으로null

참고 항목

• 과급곡선
• 클라인 쿼티크
• 브라이즈 곡선
• 맥비트 표면
• 퍼스트 허비츠 트리플트

참조

• Bolza, Oskar (1887), "On Binary Sextics with Linear Transformations into Themselves", American Journal of Mathematics, 10 (1): 47–70, doi:10.2307/2369402, JSTOR 2369402
• Katz, M.; Sabourau, S. (2006). "An optimal systolic inequality for CAT(0) metrics in genus two". Pacific J. Math. 227 (1): 95–107. arXiv:math.DG/0501017. doi:10.2140/pjm.2006.227.95. S2CID 16510851.
• Schmutz, P. (1993). "Riemann surfaces with shortest geodesic of maximal length". GAFA. 3 (6): 564–631. doi:10.1007/BF01896258. S2CID 120508826.
• Aurich, R.; Bogomolny, E.B.; Steiner, F. (1991). "Periodic orbits on the regular hyperbolic octagon". Physica D: Nonlinear Phenomena. 48 (1): 91–101. Bibcode:1991PhyD...48...91A. doi:10.1016/0167-2789(91)90053-C.
• Cook, J. (2018). Properties of Eigenvalues on Riemann Surfaces with Large Symmetry Groups (PhD thesis, unpublished). Loughborough University.
• Jenni, F. (1981). Über das Spektrum des Laplace-Operators auf einer Schar kompakter Riemannscher Flächen (PhD thesis). University of Basel. OCLC 45934169.
• Strohmaier, A.; Uski, V. (2013). "An Algorithm for the Computation of Eigenvalues, Spectral Zeta Functions and Zeta-Determinants on Hyperbolic Surfaces". Communications in Mathematical Physics. 317 (3): 827–869. arXiv:1110.2150. Bibcode:2013CMaPh.317..827S. doi:10.1007/s00220-012-1557-1. S2CID 14305255.
• Maclachlan, C.; Reid, A. (2003). The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds. Graduate Texts in Math. Vol. 219. New York: Springer. ISBN 0-387-98386-4.

특정