극곡선

대수 기하학에서 점 Q에 관한 대수 평면 곡선 C n의 첫 번째 극성 또는 단순히 극성은 접선 선이 Q를 통과하는 C의 모든 점을 포함하는 n-1의 대수 곡선이다.예를 들어 플뤼커 공식의 도출에서 곡선과 그 이중의 관계를 조사하는 데 사용된다.null

정의

C를 f(x, y, z) = 0으로 균일한 좌표로 정의하고 여기서 f는 도 n의 균일한 다항식이며 Q의 균일한 좌표는 (a, b, c)가 되도록 한다.연산자 정의

${\displaystyle \Delta_{Q}=a{\partial \over \partial x}+b{\partial \over \partial y}+c{\partial \partial z}.}$

그 다음 Δf는 n-1의 동종 다항식이고 _QΔf(x, y, z) = 0은 Q와 관련하여 C의 첫 번째 극성이라고 불리는 n-1의 곡선을 정의한다.

P=(p, q, r)가 곡선 C의 비성수 점이라면 P에서의 접선 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle x{\displaystyle f \over x}(p,q,r)+y{\dataf \over y}(p,q,r)+z{\display f \over z}(p,q,r)=0.}$

특히 P는 Q가 P에서 C에 접하는 경우에만 Q와 관련하여 C와 첫 번째 극성의 교차점에 있다.C의 이중 점의 경우 f의 부분파생상품은 모두 0이므로 첫 번째 극지방도 이러한 점을 포함한다.null

곡선 등급

C의 등급은 C에 있지 않은 지점에서 C에 끌릴 수 있는 탄젠트의 수로 정의할 수 있다(승수 계산 및 가상 탄젠트 포함.이들 접선은 각각 C와 첫 번째 극지의 교차점 중 한 지점에서 C에 닿는데, 베주트의 정리로는 이것의 최대 n(n-1)이 있다.이것은 n도 곡선 등급에 n(n-1)의 상한을 놓는다.클래스는 C에서 단수 점의 수와 유형을 계산하여 정확하게 계산할 수 있다(Plucker 공식 참조).null

상위 폴라

자연수 p에 대한 C의 p-th 극성은 Δf(_Q^px, y, z) = 0으로 정의된다. 이것은 n-p의 곡선이다.p가 n-1일 때 p-th 극성은 Q에 관해서 C의 극선이라고 불리는 선이다.마찬가지로 p가 n-2일 때 곡선을 C의 극성 원뿔이라고 한다.null

테일러 시리즈를 여러 변수에 사용하고 동질성을 착취하면 f(aa+μp, bb+μq, cc+μr)는 다음과 같이 두 가지로 확장할 수 있다.

${\displaystyle \mu ^{n}f(p,q,r)+\lambda \mu ^{n-1}\Delta _{Q}f(p,q,r)+{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\mu ^{n-2}\Delta _{Q}^{2}f(p,q,r)+\dots }$

그리고

${\displaystyle \lambda ^{n}f(a,b,c)+\mu \lambda ^{n-1}\Delta _{P}f(a,b,c)+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\lambda ^{n-2}\Delta _{P}^{2}f(a,b,c)+\dots .}$

μμ의^pn−p 계수를 비교하면 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {1}{p!}}}\Delta _{Q}^{p}f(p,q,r)={\frac {1}{(n-p)!}}}\Delta _{P}^{n-p}f(a,b,c)}$

특히 Q에 대한 C의 p-th 극성은 P 지점의 위치여서 P에 대한 C의 (n-p)-th 극성이 Q를 통과한다.^[1]

폴스

점 Q에 대한 C의 극선이 L선이라면 Q는 L의 극이라고 한다. 주어진 선에는 (n-1)² 극(승수 등)이 있고 여기서 n은 C의 정도라고 한다.이를 보려면 L에서 P와 Q 두 점을 선택하십시오.극선이 P를 통과하는 점의 중심은 P의 첫 번째 극점이고 이것은 n-1의 곡선이다.마찬가지로 극선이 Q를 통과하는 점의 중심은 Q의 첫 번째 극성이며 이 역시 n-1의 곡선이다.점의 극선은 P와 Q를 모두 포함하는 경우에만 L이므로, L의 극은 정확히 두 개의 첫 번째 폴라의 교차점이다.베주트의 정리로는 이 곡선은 교차점(n-1)²을 가지며, 이것들은 L의 극이다.^[2]

헤시안

주어진 점 Q=(a, b, c)의 경우, 극성 원뿔은 점 P의 중심이므로 Q는 P의 두 번째 극성에 있다.즉 극성 원뿔의 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle \Delta_{(x,y,z)}^{2}f(a,b,c)=x^{2}f \partial x^{2}}(a,b,c)+2xy{2}f \partial ^{2}f \partial x\partial y}(a,b,c+)\dots)\dots ==}$

원뿔은 f의 헤시안 결정인자가 다음과 같은 경우에만 퇴보한다.

${\displaystyle H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partialz\,\frac x}}{\frac ^{\preason z\,\property y}{\fac ^{2}}{\preason z^{2}}}\end{bmatrix},},}$

사라지다따라서 H(f) =0 등식은 C의 헤시안 곡선이라 불리는 3도(n-2)의 극성 원뿔이 퇴보하는 점의 위치인 곡선을 정의한다.null

참고 항목

• 극초음면
• 극과 극

참조

• Basset, Alfred Barnard (1901). An Elementary Treatise on Cubic and Quartic Curves. Deighton Bell & Co. pp. 16ff.
• Salmon, George (1879). Higher Plane Curves. Hodges, Foster, and Figgis. pp. 49ff.
• Fulton 1.2절, 대수 기하학의 교차로 이론 소개, CBMS, AMS, 1984.
• Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Polar", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Hessian (algebraic curve)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press