ELSV 공식

수학에서 ELSV 공식은 4명의 저자인 토르스텐 에케달[sv], 세르게이 란도[ru], 마이클 샤피로, 알렉 베인슈테인(Alek Vanyshtein)의 이름을 딴 것으로, 허위츠 수(구체의 적층 커버링 카운팅)와 안정된 곡선의 모듈리 공간 위에 있는 적분 사이의 동등이다.null

곡선의 모듈리 공간의 교차로 이론에 있어서의 몇 가지 기본적인 결과는 위튼 추측, 비라소로 제약, ${\displaystyle g_{}}$ g$${\$displaystyle \lambda_{g}$ -conjecture$$ 등 ELSV 공식에서 추론할 수 있다.null

고파쿠마르-마리뇨-바파 공식에 의해 일반화된다.null

공식

허위츠 수 정의

${\displaystyle h_{g;k_{1},\display,k_{n}}}$

as the number of ramified coverings of the complex projective line (Riemann sphere, ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ))}$ that are connected curves of genus g, with n numbered preimages of the point at infinity having multiplicities ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$ and m more sim가지를 뻗다여기에서 커버에 비견상 자동형성 그룹 G가 있는 경우 무게${\displaystyle }1{\displaystyle \mathrm{}}$ / ${\displaystyle G}$ $디스플레이 스타일$1/ G$}$을(를) 사용하여 계산해야 한다$.$

그러면 ELSV 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle h_{g_k_{1},\filename,k_{n}}={\dfrac {m!}{\#{\text{}자동}}(k_{1},\ldots,k_{n}}}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}^{k_{i}}}}{k_{i}}}}}}{k_{i}}}!}}}\int _{\overline {\m}_{g,n}}{\frac {c(E^{*}){{1-k_{1}\psi _{1}}\cdots(1-k_{n}\psi _{n}}}}}}.}$

여기서 표기법은 다음과 같다.

• ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle g\geq 0}$은(는) 음이 아닌 정수임.
• ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n\geq 1}$은(는) 양의 정수임.
• ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle k_{}}$ n ${\$ ,$k_{n}}$는 양의$$ 정수임.
• ${\displaystyle \mathrm{\#}}$ 자동 ${\displaystyle {aut\mathrm{}}_{}(}$k ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle \#\operatorname {Aut}(k_{1},\ldots,$ ${\displaystyle {k\_n}_{}}$은 n-투플$({\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$, k ${\displaystyle );}$ ${\displaystyle(k_{1},\ldots,k_{n$})의 자동 수입니다$.$
• ${\displaystyle m=\sum k_{i}+n+2g-2;}$
• ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathcal{M}}g}_{,}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) 표시된 점이 n개인 g의 안정적인 곡선의 모듈리 공간이다$$.
• E는 Hodge 벡터 번들 및 이중 벡터 번들의 총 체르누스 등급이다.
• ψ은_i i번째 표시점까지의 코탄젠트 선다발의 첫 번째 체르누스 등급이다.

숫자

${\displaystyle h_{g;k_{1},\display,k_{n}}}$

왼쪽에는 결합기 정의가 있으며 결합기적으로 증명될 수 있는 특성을 만족시킨다.이러한 각각의 속성은 ELSV 공식(Kazarian 2009)의 우측에 있는 통합에 대한 문장으로 해석된다.null

후르비츠 수

후르비츠 수

${\displaystyle h_{g;k_{1},\display,k_{n}}}$

또한 순전히 대수학 용어로도 정의되어 있다.K₁ = k + ...인 경우+ k와_n m = K + n + 2g - 2, τ₁, ..., τ은_m 길이₁ k, ..., k의_n numbered cycle을 갖는 s와_K σ에서 전치되도록 한다. 그런 다음

${\displaystyle(\tau _{1},\no,\tau _{m},\mau )}$

제품인 경우 유형(k₁, ..., k_n)의 ID에 대한 전이적 요인화

${\displaystyle \tau _{1}\cdots \tau _{m}\cdma }$

ID 순열 및 에 의해 생성된 그룹과 동일함

${\displaystyle \tau _{1},\no,\tau _{m}}$

타동적이다.null

정의.${\displaystyle {h;}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$, ${\displaystyle {\dots ,}_{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$ ${\$는 유형별(k₁, ..., k_n)의 transitive 인자화 수입니다.null

예 A.$h{\displaystyle {}_{;}}$ ${\displaystyle k_{}}$; k; ${\$는 제품이 k-cycle인$$ transpositions $목록($,$… k$k + ${\displaystyle 2_{}}$g -${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$)의 1/$k$!즉, $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {g;}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$; k$;$ {\$displaystyle h_{g;$k}}는$$ 주어진 k 사이클의 인자화 횟수의 1/k를 k + 2g - 1 전이의 곱한 값이다.null

후르비츠 숫자의 두 가지 정의(구체의 래미티드 커버링 카운트 또는 전이 인자 카운트 카운트) 사이의 동등성은 그 모노드로 래미티드 커버를 설명함으로써 확립된다.보다 정확하게: 구의 기준점을 선택하고, 1에서 K까지의 프리이미지 수를 매기고(이것은 K!의 인수를 도입하며, 그에 의한 분열을 설명함), 분기점에 대한 커버의 모노드로미즈를 고려한다.이것은 전이적 요인화로 이어진다.null

모듈리 공간의 일체형

The moduli space ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ is a smooth Deligne–Mumford stack of (complex) dimension 3g − 3 + n. (Heuristically this behaves much like complex manifold, except that integrals of characteristic classes that are integers for manifolds are rational numbers for Deligne–Mumford stacks.)null

Hodge bundle E는 moduli 공간 ${\displaystyle M_{}}$의${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$g${\displaystyle {,}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle${\$overline {\mathcal {{}}$__1n${g}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$에 있는 g 벡터 번들로, c에 있는 아벨리안 미분들의 공간이다.체르누스 계급은 에 의해 표시된다.

${\displaystyle \lambda _{j}=c_{j}(E)\in H^{2j}({\overline {\mathcal{M}}}}_{g,n}\mathbf {Q}).$

우리는 가지고 있다.

${\displaystyle c(E^{*})=1-\lambda _{1}+\lambda _{2}-\cdots +(-1)^{g}\lambda _{g}.}$

ψ클래스.Introduce line bundles ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1},\ldots ,{\mathcal {L}}_{n}}$ over ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$. The fiber of ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}}$ over a curve (C, x₁, ..., x_n) is the cotangent line to C at x_i.$L{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 첫 번째 체르누스 클래스는 다음과 같이 표시된다$$.

${\displaystyle \psi _{i}=c_{1}({\mathcal {L}_{i})\in H^{2}({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n},\mathbf {Q}).$

통합.The fraction ${\displaystyle 1/(1-k_{i}\psi _{i})}$ is interpreted as ${\displaystyle 1+k_{i}\psi _{i}+k_{i}^{2}\psi _{i}^{2}+\cdots }$, where the sum can be cut at degree 3g − 3 + n (the dimension of the moduli space).따라서 통합은 n + 1 요인의 산물이다.우리는 이 제품을 확장하여 3g - 3 + n의 부분을 추출하여 모듈리 공간을 통해 통합한다.null

다항식으로서의 정수.그 다음이 바로 적분이다.

${\displaystyle \int _{\overline {\m}_{g,n}{\c(E^{*}){{1-k_{1}\psi _{1}\cdots(1-k_{n}\psi _{n}}}}}}}}}}}}}$

변수 k₁, ..., k의_n 대칭 다항식이며, 단항은 3g - 3 + n과 2g - 3 + n 사이의 도이다.단일 $k{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ 1${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}{{1\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ k ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {d_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\$}^{1$}}\cdots k_{n}^{d_{n}}}}}$의 계수는 동일하다$$.

${\displaystyle \int_{\overline {\m}_{g,n}-1)^{j}\lambda _{j}\psi _{1}^{1}}\cdots \psi _{n}^{n}^{d_{n},n},}$

, where

${\displaystyle j=3g-3+n-\sum d_{i}.}$

비고. 숫자의 다항식

${\displaystyle {\frac {h_{g_{1},\reason,k_{n}}{m!}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}!}}{k_{i}^{k_{i}}}}}}$

I. P. Goulden과 D에 의해 처음 추측되었다.M. 잭슨.ELSV 공식과 독립적인 증거는 알려져 있지 않다.null

예 B.g = n = 1로 두십시오.그러면.

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k_{1}\psi _{1}}}=\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k_{1}-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right].}$

예

n = g = 1로 두십시오.표기법을 단순화하려면 k를₁ k로 표시한다.우리는 m = K + n + 2g - 2 = k + 1이 있다.

사례 B에 따르면 이 경우 ELSV 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle h_{1;k}=(k+1)!{\frac{k^{k}}{k!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k\psi _{1}}}=(k+1)k^{k}\left\{\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right]\right\}.}$

한편, 사례 A에 따르면, Hurwitz number_{1, k} h는 대칭 그룹 S의_k k 사이클을 k + 1 전이 제품으로 분해하는 방법의 1/k와 같다.특히 h_{1, 1} = 0(S에는₁ 전이가 없기 때문에), h = 1/2(S에는_{1, 22} 전이가 없기 때문에)이다.null

이 두 값을 ELSV 공식에 연결하면

${\displaystyle \int _{\overline {\mathcal {M}_{11,1}\psi _{1}=\int_{\overline {M}_{\mathcal {M}_{11,1}\lambda _{1}={\frac {1}{1}{24}}}}}.}$

우리가 추론하는 바로는

${\displaystyle h_{1;k}={\frac {(k^{2}-1)k^{k}{24}}.}$

역사

ELSV 공식은 Ekedahl 외 연구진(1999년)이 발표했지만 잘못된 징후가 있었다.판테치&판다리판데(2002)는 k₁ = ...을 위해 그것을 증명했다.= k = 1(수정_n 기호 포함)그래버&바킬(2003)은 현지화 기법을 이용해 완전 일반화 공식을 입증했다.4명의 초기 저자가 발표한 증거는 그 뒤를 이었다(Ekedahl et al. 2001).한 점에 상대적인 투사선에 대한 안정적 지도의 공간이 리(2001)에 의해 구축되었으므로, 이 공간에 가상의 현지화를 적용하면 즉시 증거를 얻을 수 있다.null

여러 사람의 선행 작업을 토대로 구축한 카자리안(2009)은 ELSV 공식에서$$ $M$의${\displaystyle {\stackrel{}{}g}_{,}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$,n}}의 교차 이론에서 가장 알려진 결과를 추론할 수 있는 통일된 것이다.null

증거 아이디어

$M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle g_{;}}$ ${\displaystyle {{k\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$,${\displaystyle {{}_{}\dots ,}_{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$ ${\$는 속 g 곡선에서 P¹(C)까지의 안정적 맵의 공간으로$$, f가 정확히 n극의 $순서$가${\displaystyle {}_{}{k1\mathrm{}}_{},}$ ${\displaystyle \dots ,}$ $kn_{n},dots,k_$n$}}$이 되도록 한다.

분기 형태론 br 또는 Lyashko-Loijenga 지도는 다중성을 고려하여 C에서 순서가 정되지 않은 m 분기점 $집합$인 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle M_{}}$ g${\displaystyle {;}_{}}$ ${\displaystyle {{k\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$, ${\displaystyle {\dots ,}_{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$ ${\mathcal$ {$M}_{g;k_{1},\dots, k_{n}}}$에 할당한다.사실 이 정의는 f가 평탄한 지도일 경우에만 통한다.그러나 그것은 안정된 지도라는 공간까지 자연스럽게 확장되어 있다.예를 들어, xy = t 등식이 주는 곡선 C의 패밀리와 지도_t f_t(x, y) = x + y를 보면 알 수 있듯이, 노드의 f 값은 이중 분기점으로 간주된다.t → 0으로 f의_t 두 가지 분기점은 C의₀ 노드에서 f의₀ 값을 향한다.null

가지 형태론은 유한하지만 무한한 섬유를 가지고 있다.우리의 목표는 이제 두 가지 다른 방법으로 그것의 정도를 계산하는 것이다.null

첫 번째 방법은 이미지에서 일반 점의 사전 이미지를 세는 것이다.즉, ∞에서 가지점(k₁, ..., k_n)을 가지는 P¹(C)의 래미티드 커버링과 m을 더 고정된 단순 분기점으로 계산한다.이것은 정확히 Hurwitz number $h{\displaystyle {}_{;}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$, ${\displaystyle {\dots ,k_{}}_{}}$ n ${\$ 입니다$.$

br의 정도를 알아내는 두 번째 방법은 가장 퇴보하는 지점의 선각, 즉 모든 m가지 지점을 C의 0에 합치는 것이다.null

The preimage of this point in ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$ is an infinite fiber of br isomorphic to the moduli space ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$. Indeed, given a stable curve with n marked points we send this curve to 0 in P¹(C) and안정적 $지도$가 z${\displaystyle {}^{}}$ z ${\displaystyle {{k\mathrm{}}_{}}^{}}$ 1${\displaystyle {{}_{}}^{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle z{}^{}}$ ${\displaystyle {z_{}}^{}}$ k n$${\$displaystyle$z\$mapsto$ z$^{k_{1},\reason, z\mapsto z^{k_{n}}}}$의 형태를 갖는 표시된 지점에 부착한다$.$따라서 $우리$는 ${\displaystyle 0_{}}$과 ∞ 바깥의 M g${\displaystyle {;}_{}}$ k ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$,${\displaystyle {\dots ,}_{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\$에 있는$$ 모든 안정적 지도를 얻는다.대수 기하학의 표준적인 방법으로는 무한 섬유와 그 정상 묶음을 보고 지도의 정도를 찾을 수 있다.그 결과는 무한 섬유 위에 있는 특정 특성 클래스의 적분으로 표현된다.우리의 경우 이 적분은 ELSV 공식의 우측과 동일하다.null

따라서 ELSV 공식은 분기 형태론의 정도를 계산하는 두 가지 방법 사이의 동일성을 나타낸다.null

참조

• Ekedahl, T.; Lando, S.; Shapiro, M.; Vainshtein, A. (1999). "On Hurwitz numbers and Hodge integrals". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. 328 (12): 1175–1180. arXiv:math/9902104. Bibcode:1999CRASM.328.1175E. doi:10.1016/S0764-4442(99)80435-2. S2CID 15218497.
• Ekedahl, T.; Lando, S.; Shapiro, M.; Vainshtein, A. (2001). "Hurwitz numbers and intersections on moduli spaces of curves". Inventiones Mathematicae. 146 (2): 297–327. arXiv:math/0004096. Bibcode:2001InMat.146..297E. doi:10.1007/s002220100164. S2CID 10881259.
• Fantechi, B.; Pandharipande, R. (2002). "Stable maps and branch divisors". Compositio Mathematica. 130 (3): 345–364. arXiv:math/9905104. Bibcode:1999math......5104F. doi:10.1023/A:1014347115536. S2CID 1124032.
• Graber, T.; Vakil, R. (2003). "Hodge integrals and Hurwitz numbers via virtual localization". Compositio Mathematica. 135 (1): 25–36. arXiv:math/0003028. Bibcode:2000math......3028G. doi:10.1023/A:1021791611677. S2CID 15706096.
• Kazarian, Maxim (2009). "KP hierarchy for Hodge integrals". Advances in Mathematics. 221 (1): 1–21. arXiv:0809.3263. doi:10.1016/j.aim.2008.10.017.
• Li, Jun (2001). "Stable Morphisms to Singular Schemes and Relative Stable Morphisms". Journal of Differential Geometry. 57 (3): 509–578. arXiv:math/0009097. doi:10.4310/jdg/1090348132.