자코비 곡선

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수학에서 자코비 곡선은 위어스트라스 방정식으로 정의되는 일반적인 타원곡선과 다른 타원곡선을 나타낸 것이다.때로는 단순하고 차동 전력 분석 스타일(SPA) 공격에 대한 방어를 제공할 수 있기 때문에 위어스트라스 형태 대신 암호법에 사용되기도 한다. 실제로 일반적인 추가 공식을 사용하는 것은 이 형태의 타원곡선에서 한 점을 두 배로 증가시키기 위해 가능하다. 이렇게 하면 두 운영은 구별할 수 없게 된다.일부 사이드 채널 정보를 생략한다.^[1]자코비 곡선은 또한 위어스트라스 곡선에 비해 더 빠른 산수를 제공한다.

자코비 곡선은 두 표면의 교차점에 의해 주어지는 자코비 교차점과 자코비 사분위의 두 가지 유형으로 구성될 수 있다.

타원 곡선: 기본 사항

Given an elliptic curve, it is possible to do some "operations" between its points: for example one can add two points P and Q obtaining the point P + Q that belongs to the curve ; given a point P on the elliptic curve, it is possible to "double" P, that means find [2]P = P + P (the square brackets are used to indicate [n]P, the point P added n times) 또한 찾기를 의미하는 P의 부정을 찾는다.이렇게 해서 타원곡선의 점들이 그룹을 형성한다.그룹 연산의 ID 요소는 어핀 평면의 점이 아니라 투영 좌표에만 나타난다는 점에 유의하십시오. 그러면 O = (0: 1: 0)는 그룹 법칙의 중립 요소인 "무한의 지점"이다.공식을 추가하고 두 배로 늘리는 것은 타원곡선에 있는 점 P의 n번째 배수인 [n]P를 계산하는 데도 유용하다. 이 연산은 타원곡선 암호법에서 가장 많이 간주된다.

필드 K 위에 있는 타원 곡선 E는 Weierstrass 형식² y = x³ + 축 + b에 넣을 수 있으며, a, b는 K에 넣을 수 있다.나중에 중요해질 것은 순서 2이다. 즉 [2]P = O와 P ≠ O와 같은 E의 P이다. P = (p, 0)가 E의 점이라면 순서 2가 있다. 보다 일반적으로 순서 2의 지점은 다항 f(x) = x³ + 도끼 + b의 뿌리에 해당한다.

이제부터 우리는 E를_a,b 이용하여 위어스트라스폼 y² = x + 도끼³ + b로 타원곡선을 나타낼 것이다.

만약_a,b E가 입방 다항식³ x + 도끼 + b가 K에 3개의 뚜렷한 뿌리를 가지고 있다면, 우리는 Legendre 정상 형태로 E를_a,b 쓸 수 있다.

E_a,b: y² = x(x + 1)(x + j)

이 경우 순서 2의 세 지점이 있다: (0, 0), (–1, 0), (–j, 0).이 경우 우리는 E[j]라는 표기법을 사용한다.j는 a, b 단위로 표현할 수 있다는 점에 유의한다.

정의: 자코비 교차로

P³(K)의 타원곡선은 두 개의 사분면 교차점으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle Q:\{Q_{1}(X_{0},X_{1},X_{1},X_{3}=0\}\cap \{Q_{2}(X_{0},X_{1},X_{3}=0}}}}}}},X_{3}=0}}}}}}}}}}}}}:}$

타원곡선의 자코비 형태를 두 개의 사분위의 교차점으로 정의할 수 있다.E를_a,b Weierstrass 형식의 타원형 곡선으로 하고, 거기에 다음과 같은 지도를 적용한다.

${\displaystyle \Phi :(x,y)\mapsto(X,Y,Z,T)=(x,y,1,x^{2})}$

우리는 다음과 같은 방정식 체계가 유지된다고 본다.

${\displaystyle \mathbf {S} :{\begin{case}X^{2}-TZ=0\\Y^{2}-aXZ-bZ^{2}-TX=0\end{case}}}$

E[j] 곡선은 P³(K)에서 다음과 같은 표면 교차점에 해당한다.

$S$$Y^{2}-T^{2}=0\\kX^{2}+Z^{2}-T^{2}=0\case$

"특수사례" E[0], 타원곡선은 이중점을 가지므로 단수적이다.

S1은 다음과 같은 변환을 E[j]에 적용하여 얻는다.

ψ: E[j] → S1

${\displaystyle (x,y)\mapsto (X,Y,Z,T)=(-2y,x^{2}-j,x^{2}+2jx+j,x^{2}+2x+j)}$

${\displaystyle O=(0:1:0)\mapsto(0,1,1,1)}$

집단법

S1의 경우 그룹의 중립 요소는 지점(0, 1, 1, 1)이며, 이는 ψ 아래의 O = (0: 1: 0)의 이미지인 것이다.

덧셈 및 더블링

P₁ = (X₁₁, Y, Z₁, T₁)와₂ P = (X₂, Y, Z₂, T₂₂), S1의 두 점을 감안할 때 P₃ = P₁ + P 지점의₂ 좌표는 다음과 같다.

${\displaystyle X_{3}=T_{1}Y_{2}X_{1}X_{1}Z_{2}+Z_{1}X_{2}Y_{1}T_{2}}$

${\displaystyle Y_{3}=T_{1}Y_{2}Y_{1}T_{2}-Z_{1}X_{2}X_{1}X_{1}Z_{2}}$

${\displaystyle Z_{3}=T_{1}Z_{1}T_{2}Z_{2}-kX_{1}Y_{1}X_{2}Y_{2}}:$

${\displaystyle T_{3}=(T_{1}Y_{2})^{2}+(Z_{1}X_{2})^{2}}$

이러한 공식은 두 배로 하는 데도 유효하다: P₁ = P를₂ 갖는 것은 충분하다. 따라서 S1에서 점의 추가 또는 배점은 16 곱하기 1 곱하기 1을 상수(k)로 해야 하는 작업이다.

점 P를₁ 두 배로 늘리고 P₃ = [2]P를₁ 찾기 위해 다음과 같은 공식을 사용할 수도 있다.

${\displaystyle X_{3}=2Y_{1}T_{1}Z_{1}X_{1}:{1}:{1}:{1}X_{1}:{1}}$

${\displaystyle Y_{3}=(T_{1}Y_{1}{1}^{2}-(T_{1}Z_{1}1}^{1}^{2}+(Z_{1}Y_{1}}}^{1}:{2}}:$

${\displaystyle Z_{3}=(T_{1}Z_{1}{1}^{2}-(T_{1}Y_{1}:{1}^{2}+(Z_{1}Y_{1}}^{1}:{2}}:$

${\displaystyle T_{3}=(T_{1}Z_{1}{1}^{2}+(T_{1}Y_{1}{1}^{1}-(Z_{1}Y_{1}}^{1}:{2}}:$

이 공식을 사용하면 한 점을 두 배로 늘리기 위해 8개의 승수가 필요하다.그러나, 7배만 더하면 되는 2배의 효율적인 "전략"이 있다.^[2]이렇게 하면 23배수로 한 점을 3배로 늘릴 수 있다. 실제로 [3]P는₁ [2]P의₁ 경우 7배, P₁ + [2₁^[2]]P의 경우 16배의 비용으로 P를₁ 더하면₁ 얻을 수 있다.

추가 및 두 배의 예

K = R 또는 C로 두고 다음과 같은 경우를 고려하십시오.

${\displaystyle \mathbf {S} 1:{\begin{case}X^{2}+Y^{2}-T^{2}=0\\\4X^{2}+Z^{2}-T^{2}=0\case}}}}$

Consider the points ${\displaystyle P_{1}=(1,{\sqrt {3}},0,2)}$ and ${\displaystyle P_{2}=(1,2,1,{\sqrt {5}})}$: it is easy to verify that P₁ and P₂ belong to S1 (it is sufficient to see that these points satisfy both equations of the system S1).

두 점을 추가하기 위해 위에 주어진 공식을 사용하여 P에₃ 대한 좌표(P₃₁ = P + P₂)는 다음과 같다.

${\displaystyle X_{3}=T_{1}Y_{2}X_{1}X_{1}Z_{2}+Z_{1}X_{2}Y_{1}T_{2}=4}$

${\displaystyle Y_{3}=T_{1}Y_{2}Y_{1}T_{2}-Z_{1}X_{1}X_{1}X_{1}Z_{2}=4{\sqrt{15}}}$

${\displaystyle Z_{3}=T_{1}Z_{1}T_{2}Z_{2}-kX_{1}Y_{1}X_{2}Y_{2}=-8{\sqrt{3}}$

${\displaystyle T_{3}=(T_{1}Y_{2})^{2}+(Z_{1}X_{2}^{2}=16}$

결과점은 P ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 4}$,${\displaystyle }$4 ${\displaystyle \sqrt{15},}$- ${\displaystyle 8\sqrt{\mathrm{}}}$ 3${\displaystyle }$, $){\displaystyle P_{3}=(4,4{\sqrt{15},-8{\sqrt{3},16)}$ 입니다$.$

위에 제시된 두 배의 공식으로 P₃ = [2]P₁:

${\displaystyle X_{3}=2Y_{1}T_{1}Z_{1}X_{1}=0}$

${\displaystyle Y_{3}=(T_{1}Y_{1}{1}^{2}-(T_{1}Z_{1}1}^{1}^{2}+(Z_{1}Y_{1}}^{2}=12})$

${\displaystyle Z_{3}=(T_{1}Z_{1}{1})^{2}-(T_{1}Y_{1}}^{2}+(Z_{1}Y_{1}}^{2}=-12}$

${\displaystyle T_{3}=(T_{1}Z_{1}}^{2}+(T_{1}Y_{1}{1}^{1}-(Z_{1}Y_{1}}^{2}=12})$

따라서 이 경우 P₃ = [2]P₁ = (0, 12, –12, 12)

부정

점₁ P = (X₁, Y, Z₁, T)를₁₁ S1에서 볼 때 부정은 -P₁ = (-X₁, Y, Z₁, T₁₁)

부속 좌표 추가 및 2배 증가

두₁ 개의 부속점₁ P = (x₁₁, y, z₂)와₂ P = (x₂₂, y, z)가 주어진 경우, 이들의 합은 다음과 같은 좌표를 갖는 P 지점이다₃.

${\displaystyle x_{3}={\frac {y_{2}x_{1}z_{1}+z_{1}x_{2}y_{1}{1}{{1}:{1}:{1}:{1}:{1}{{2}^{{2}}}}}{{}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle y_{3}={\frac {y_{2}y_{1}-z_{1}x_{1}x_{1}x_{1}z_{2}}:{(y_{2}^{2}^{2}^{2}+(z_{1}x_{2}}}^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle z_{3}={\frac {z_{1}z_{2}-ax_{1}y_{1}y_{1}:{1}x_{1}y_{1}:{2}}:{(y_{2}^{2}^{2}+(z_{1}x_{2})^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

이러한 공식은 조건 P₁ = P와₂ 함께 두 배로 증가하는데도 유효하다.

확장좌표

자코비 교차로에서 한 점을 나타낼 수 있는 다른 종류의 좌표계가 있다.자코비 교차로 양식에서 다음과 같은 타원형 곡선이 주어진다.

${\displaystyle \mathbf {S} 1:{\begin}x^{2}+y^{2}=1\kx^{2}+z^{2}=1\end{case}}}}}$

확장 좌표는 X, Y, Z, T, XY, ZT 변수와 함께 P = (x, y, z)를 설명하고 여기서 다음을 설명한다.

$[\displaystyle x=X/T}$

$[\displaystyle y=Y/T}$

$[\displaystyle z=Z/T}$

$[\displaystyle XY=X\cdot Y}$

$ZT=Z\cdot T}$

어떤 특정한 상황에서는 (시간비용 측면에서) 더 편리하기 때문에 때때로 이러한 좌표를 사용한다.이러한 좌표 사용에 따른 작업에 대한 자세한 내용은 http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/auto-jintersect-extended.html을 참조하십시오.

정의: 자코비 4중주

자코비 쿼티크 형태의 타원곡선은 적어도 하나의 순서 2의 지점이 있는 위어스트라스 형태의 E 곡선에서_a,b 얻을 수 있다.다음 변환 f는 (X: Y: Z) = (sX: sY²: sZ)의 자코비 좌표의 점으로 E의_a,b 각 점을 보낸다.

f: E_a,b → J

${\displaystyle (p,0)\mapsto (0:-1:1)}$

${\displaystyle (x,y)\neq (p,0)\mapsto (2)(x-p):(2x+p)(x-p)^{2}-y^{2}:y)}$

${\displaystyle O\mapsto(0:1:1)}$^[3]

F를_a,b E에 적용하면 다음 형태의 J로 곡선을 얻는다.

${\displaystyle C:\ Y^{2}=eX^{4}-2dX^{2}Z^{2}+Z^{4}}}$^[3]

여기서:

${\displaystyle e}$= -${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{3}{}}$ ${\displaystyle \frac{{p\mathrm{}}^{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{4}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{}}$) ${\displaystyle \frac{16}{},}$ ${\displaystyle d}$= ${\displaystyle 3\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{p}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$ e$={\frac {-(3p^{2}+4a)}{16},\ d={\frac {3p}{4$

K. C의 원소는 자코비 정사각형 형태의 타원곡선을 나타내며, 자코비 좌표로 표시된다.

아핀 좌표상의 자코비 4중주

아핀 좌표에서 자코비 정사각형 곡선의 일반적인 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle y^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle e}$ x ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle y^{2}=ex^{4}+2ax^{2}+1$

여기서 e = 1을 가정한다.

집단법

C집단법의 중립적 요소는 투영점(0:1:1)이다.

부속 좌표 추가 및 2배 증가

Given two affine points ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1})}$ and ${\displaystyle P_{2}=(x_{2},y_{2})}$, their sum is a point ${\displaystyle P_{3}=(x_{3},y_{3})}$, such that:

${\displaystyle x_{3}={\frac {x_{1}y_{2}+y_{1}x_{1}:{1}:{1-(x_{1}x_{2})^{2}}:{2}}:00$

${\displaystyle y_{3}={\frac {(1+(x_{1}x_{2})^{2}(y_{1}y_{2}+2ax_{1}x_{2})^{1}+2x_{1}x_{1}({x_{1}^{1}+{x_{2}){2}2}}^{2}}}}{1-(x_{1}x_{2}}^{2}}^{2}}:$

자코비 교차로에서와 마찬가지로, 이 경우에도 이 공식을 사용하여 두 배로 증가시키는 것이 가능하다.

투영 좌표 추가 및 2배 증가

C′에서 P₁ = (X₁₁: Y: Z₁)와₂ P = (X₂₂: Y: Z₂)의 두 점을 볼 때 P₃₃ = (X₃₃: Y: Z₃) 지점의 좌표는 다음과 같은 공식에 의해₁ P와₂ P의₁ 측면에서₂ 주어진다.

${\displaystyle X_{3}=X_{1}Z_{1}Y_{2}+Y_{1}X_{2}Z_{2}}:$

${\displaystyle Y_{3}=\left(Z_{1}^{2}Z_{2}^{2}+eX_{1}^{2}X_{2}^{2}\right)\left(Y_{1}Y_{2}-2dX_{1}X_{2}Z_{1}Z_{2}\right)\ +\ 2eX_{1}X_{2}Z_{1}Z_{2}\left(X_{1}^{2}Z_{2}^{2}+Z_{1}^{2}X_{2}^{2}\right)}$

${\displaystyle Z_{3}=Z_{1}^{2}Z_{2}^{2}-eX_{1}^{1}^{2}X_{2}^{2}X_{2}^{2}}:$

P₂ = P₁₁: 이 상태에서 P₃ = P: 점₁ P = P + P = [2]P를₁ 구한다는 조건과 함께 이 공식을 두 배로 사용할 수도 있다.

두 점을 추가하는 데 필요한 승수는 13+3 상수별 승수: 특히 상수 e에 의한 승수와 상수 d에 의한 승수가 각각 2개씩 있다.

가산점과 복점화에 필요한 연산을 줄이기 위한 "전략"이 있다: 승수의 수를 상수별 11+3 배수로 줄일 수 있다(자세한 내용은 섹션 3 참조).

상수 e와 d: 자코비 형태의 타원형 곡선을 수정하여 증분 및 배분을 위한 연산 횟수를 줄일 수 있다.따라서 예를 들어, C의 상수 d가 유의하게 작으면 d에 의한 곱셈을 취소할 수 있다. 그러나 가장 좋은 옵션은 e: 작으면 1개뿐 아니라 2개의 곱셈을 무시하는 것이다.

추가 및 두 배의 예

타원 곡선 E를_4,0 고려하십시오. 이 곡선에는 2: P = (p, 0) = (0, 0)의 점이 있다.따라서 a = 4, b = p = 0이므로 e = 1과 d = 1을 가지며 관련 자코비 쿼트릭 형식은 다음과 같다.

${\displaystyle C:\ Y^{2}=X^{4}+Z^{4}}}$

Choosing two points ${\displaystyle P_{1}=(1:{\sqrt {2}}:1)}$ and ${\displaystyle P_{2}=(2:{\sqrt {17}}:1)}$, it is possible to find their sum P₃ = P₁ + P₂ using the formulae for adding given above:

${\displaystyle X_{3}=1\cdot 1\cdot {\sqrt{17}+{\sqrt {2}}:\cdot 2={\sqrt{17}+2}}:}$

${\displaystyle Y_{3}=\left(1^{2}\cdot 1^{2}+1\cdot 1^{2}\cdot 2^{2}\right)\left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {17}}-2\cdot 0\cdot 1\cdot 2\cdot 1\cdot 1\right)+2\cdot 1\cdot 1\cdot 2\cdot 1\cdot 1\left(1^{2}\cdot 1^{2}+1^{2}\cdot 2^{2}\right)=5{\sqrt {34}}+20}$

${\displaystyle Z_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}1}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= - ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle Z_{3}=1^{$2}=$1^{$2}-$1\cdot 1^{2}\cdot$ 2$^{2}=-3}$.

그렇게

${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \sqrt{17}}$+ ${\displaystyle 2}$: 5 ${\displaystyle \sqrt{34}}$+ ${\displaystyle 20}$:${\displaystyle }$- ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle P_{3}=({\sqrt{17}}}+{\sqrt{2}}:5}{\sqrt{34}+20:-3$ .

동일한 공식을 사용하여 P₄ = [2]P₁ 점을 구한다.

${\displaystyle X_{3}=1\cdot 1\cdot 1\cdot {2}}+{\sqrt{2}}\cdot 1=2{\sqrt{2}}}$

${\displaystyle Y_{3}=\left(1+1\cdot 1\right)\left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}-2\cdot 0\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\right)+2\cdot 1\left(1^{2}\cdot 1^{2}+1^{2}\cdot 1^{2}\right)=8}$

${\displaystyle Z_{3}=1^{2}\cdot 1^{2}-1\cdot 1^{2}\cdot 1^{2}=0}$

그렇게

${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$: ${\displaystyle 8}$: 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle P_{4}=(2{\sqrt{2}}:8:0)}$.

부정

점 P₁ = (X₁₁: Y: Z₁)의 부정은 다음과 같다: -P₁ = (-X₁₁: Y₁: Z)

자코비 정사각형의 대체 좌표

자코비 정사각형의 한 점을 나타내기 위해 사용될 수 있는 다른 좌표계들이 있다: 그것들은 특정한 경우에 빠른 계산을 얻기 위해 사용된다.이러한 좌표를 사용하는 작업에 필요한 시간 비용에 대한 자세한 내용은 http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/auto-jquartic.html을 참조하십시오.

아핀 자코비 4중주술을 받았어

${\displaystyle y^{2}=x^{4}+2ax^{2}+1}$

더블링 지향 XXYZZ 좌표는 + c² = 1을² 만족하는 추가 곡선 매개변수 c를 도입하며 다음과 같이 점(x, y)을 (X, XX, Y, Z, ZZ, R)으로 나타낸다.

$[\displaystyle x=X/Z}$

$[\displaystyle y=Y/ZZ}$

${\displaystyle XX=X^{2}}$

${\displaystyle ZZ=Z^{2}}$

${\displaystyle R=2\cdot X\cdot Z}$

더블링 지향 XYZ 좌표는 동일한 추가 가정(a² + c² = 1)을 갖는 점(x, y)을 나타내며 (X, Y, Z)은 다음 방정식을 만족한다.

$[\displaystyle x=X/Z}$

${\displaystyle y=Y/Z^{2}}$

XXYZZ 좌표를 사용하면 추가적인 가정은 없으며 다음과 같은 점(x, y)을 (X, XX, Y, Z, ZZ)으로 나타낸다.

$[\displaystyle x=X/Z}$

$[\displaystyle y=Y/ZZ}$

${\displaystyle XX=X^{2}}$

${\displaystyle ZZ=Z^{2}}$

XXYZR 좌표는 (x, y)를 (X, XX, Y, Z, ZZ, R)로 나타내지만, 다음과 같다.

$[\displaystyle x=X/Z}$

$[\displaystyle y=Y/ZZ}$

${\displaystyle XX=X^{2}}$

${\displaystyle ZZ=Z^{2}}$

${\displaystyle R=2\cdot X\cdot Z}$

XYZ 좌표로 점(x, y)은 (X, Y, Z)에 의해 다음과 같이 주어진다.

$[\displaystyle x=X/Z}$

${\displaystyle y}$= ${\displaystyle Y}$/ ${\displaystyle Z{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$

참고 항목

특정 경우에 필요한 실행 시간에 대한 자세한 내용은 타원 곡선 운영 비용 표를 참조하십시오.

메모들

참조

• Olivier Billet, Marc Joye (2003). "The Jacobi Model of an Elliptic Curve and Side-Channel Analysis". The Jacobi Model of an Elliptic Curve and the Side-Channel Analysis. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2643. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003. pp. 34–42. doi:10.1007/3-540-44828-4_5. ISBN 978-3-540-40111-7.
• P.Y. Liardet, N.P. Smart (2001). "Preventing SPA/DPA in ECC Systems Using the Jacobi Form". Cryptographic Hardware and Embedded Systems — CHES 2001. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2162. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001. pp. 391–401. doi:10.1007/3-540-44709-1_32. ISBN 978-3-540-42521-2.
• http://hyperelliptic.org/EFD/index.html

외부 링크

• http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/index.html