안정 벡터 번들

수학에서 안정 벡터다발은 기하불변성 이론의 의미에서 안정성이 있는 (홀모형 또는 대수형) 벡터다발이다.모든 홀로모픽 벡터 번들은 하더-나라시만 여과법을 사용하여 안정적인 것으로 제작할 수 있다.안정된 다발은 뭄포드(1963년)에 있는 데이비드 뭄포드에 의해 정의되었고, 후에 데이비드 기세커, 페도르 보고몰로프, 토마스 브릿지랜드 그리고 많은 다른 사람들에 의해 만들어졌다.null

동기

안정적인 벡터 번들을 분석하기 위한 동기 중 하나는 가족에서의 그들의 좋은 행동이다.실제로 안정된 벡터 번들의 모둘리 공간은 많은 경우에 인용구도를 사용하여 구성할 수 있는 반면, 벡터 번들 $\mathbf {B} GL_{n}$ 은 B G $\mathbf {B} GL_{n}$ n ${\$ 이 기본 세트가 단일 점인 Artin 스택이다 $\mathbf {B} GL_{n}$ .null

여기 변질되지 않는 벡터 묶음 가족의 예가 있다. $\mathbb {P} ^{1}$ $\mathbb {P} ^{1}$ ${\$ } by $\mathbb {P} ^{1}$ ${\mathcal {O}}(1)$ ( $){\displaystyle {\mathcal{O}(1)$ 의 오일러 시퀀스를 텐서하면 정확한 시퀀스가 있다 ${\mathcal {O}}(1)$ .

$0\to {\mathcal {O}(-1)\to {\mathcal {O}\plus {\mathcal {O}\to 0$ ^[1]

$v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k$ $v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k$ $v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k$ $v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k$ ( $v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k$ ( 1 $v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k$ ) $v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k$ , $v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k$ ( $v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k$ - $v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k$ ) $v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k$ $v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k$ ${\displaystyle v\in {\text{$ $Ext}^{1}({\mathcal {O}(1$ )), $v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k$ $0$ $0$ 벡터를 $0$ 나타내는 사소한 정확한 시퀀스는 다음과 같으므로 $v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k$ ^[2] {\ $mathcal {O}(1)\cong$ k $}$

$0\to {\mathcal {O}(-1)\to {\mathcal {O}(1)\plus {\mathcal {O}\1}to 0$

$t\in \mathbb {A} ^{1}$ $t\in \mathbb {A} ^{1}$ $t\cdot v$ $t\in \mathbb {A} ^{1}$ ${\$ $cdot v}$ 의 $t\cdot v$ $t\cdot v$ 에서 벡터 번들 E $t {\$ $displaystyle t$ $\cdot$ v $}$ 의 $제품군을$ 고려한다면 $t\in \mathbb {A} ^{1}$ 정확한 $E_{t}$ 시퀀스가 $.$

$0\to {\mathcal {O}(-1)\to E_{t}\to {\mathcal {O}(1)to 0$

체르노어 클래스 $c_{1}=0,c_{2}=0$ $c_{1}=0,c_{2}=0$ = $c_{1}=0,c_{2}=0$ $c_{1}=0,c_{2}=0$ $c_{1}=0,c_{2}=0$ = $c_{1}=0,c_{2}=0$ $c_{1}=0,c_{2}=0$ 일반적으로 $c_{1}=0,c_{2}=0$ $c_{1}=0,c_{2}=-1$ $c_{1}=0,c_{2}=-1$ = $c_{1}=0,c_{2}=-1$ $c_{1}=0,c_{2}=-1$ $c_{1}=0,c_{2}=-1$ = $c_{1}=0,c_{2}=-1$ - $c_{1}=0,c_{2}=-1$ $c_{1}=0,c_{2}=-1$ 을(를) 원점에 가지고 $c_{1}=0,c_{2}=-1$ 있다.이런 종류의 숫자 불변성의 점프는 안정된 벡터 번들의 모듈리 공간에서는 일어나지 않는다.^[3]null

곡선에 걸쳐 안정된 벡터 번들

비정형 대수 곡선(또는 리만 표면 위) 위의 홀로모르픽 벡터 번들 W의 경사는 합리적인 수 μ(W) = deg(W)/rank(W)이다.W다발은 만약의 경우에 한해서만 안정된다.

\displaystyle \mu(V)<\mu(W)}

모든 적절한 0이 아닌 W의 하위 번들 V에 대해 그리고 다음과 같은 경우 반증 가능하다.

\displaystyle \mu(V)\leq \mu(W)}

모든 적절한 비 영 서브 번들 V. 비공식적으로 이것은 한 묶음이 어떤 적절한 서브 번들보다 "충분하다"면 안정적이고, "충분하다" 서브 번들을 포함하면 불안정하다고 말한다.null

W와 V가 반증가능한 벡터다발과 μ(W) > μ(V)이면 nonzero map W → V가 없다.

Mumford는 비정규적 곡선 위에 주어진 등급과 정도의 안정된 묶음의 모듈리 공간이 퀘이프로젝트적 대수적 다양성이라는 것을 증명했다.곡선 위에 놓인 안정 벡터 번들의 모듈리 공간의 코호몰리학은 하더드&나라시맨(1975)이 유한장에 대한 대수기하를 이용한 것과 아티야&보트(1983)가 나라시맨-세샤드리 접근법을 이용한 것으로 설명하였다.null

안정적 벡터 번들(높은 차원)

X가 부드러운 투사성 m이고 H가 하이퍼플레인 섹션이라면 벡터 번들(또는 비틀림 없는 톱니바퀴) W는 안정(또는 때로는 기세커 안정)이라고 한다.

{\frac {\chi(V(nH))}{{\hbox{rank}(V)}}}{\hbox{lack}(W)}}{{n{\text{ large}}}}}}}}

모든 적절한 W의 0이 아닌 하위 분절(또는 하위 분절) V에 대하여, 여기서 χ은 대수 벡터 번들의 오일러 특성을 나타내며, 벡터 번들 V(nH)는 H. W에 의한 V의 n번째 반전을 의미하며, 위와 같은 것이 replaced으로 대체된 <로 유지되는 경우, 반음반이라고 한다.

경사 안정성

곡선의 번들의 경우 기울기와 힐버트 다항식의 성장에 의해 정의된 안정성이 일치한다.더 높은 차원에서는 이 두 가지 개념이 다르고 장점도 다르다.기세커 안정성은 기하불변성 이론이라는 측면에서 해석이 가능한 반면, μ-안정성은 텐서 제품, 풀백 등에 대한 특성이 더 우수하다.null

X는 부드러운 투영적인 다양한 차원 n, H 하이퍼플레인 섹션이 되도록 하자.H에 관하여 벡터 번들(또는 보다 일반적으로 비틀림 없는 일관성 있는 피복) E의 경사는 다음과 같이 정의되는 합리적인 수이다.

[\displaystyle \mu(E):={\frac {c_{1}(E)\cdot H^{n-1}{\operatorname {rk}(E)}}}}}

여기서₁ c는 첫번째 체르누스 수업이다.H에 대한 의존은 표기법에서 누락되는 경우가 많다.null

비틀림 없는 일관성 있는 피복 E는 0이 아닌 하위 피복 F ⊆ E의 경우 기울기가 불평등 μ(F) μ μ(E)를 만족하면 μ-sisterable이다.또한 0이 아닌 하위 표층 F ⊆ E의 등급이 엄격한 불평등 μ(F) < μ(E)가 유지된다면 μ-안정성이 있다.이러한 안정성의 개념은 슬로프 안정성, μ 안정성, 때로는 뭄포드 안정성 또는 타케모토 안정성이라고 할 수 있다.null

벡터 번들 E의 경우, 다음과 같은 함축적 의미는 다음과 같다: E는 μ-안정적 e E는 반-증분적 ⇒ E는 μ-semistable이다.null

하드-나라심한 여과

E를 매끄러운 투영 곡선 X 위에 벡터 번들이 되게 하라.그리고 서브 번들에 의한 독특한 여과가 존재한다.

0=E_{0}\subset E_{1}\subset \ldots \subset E_{r+1}=E

관련 등급 구성 요소 F_i := E_i+1/E가_i 반증 가능한 벡터 번들이고 슬로프가 감소하는 경우 μ(F_i) > μ(F_i+1)가 감소한다.이 여과물은 하더&나라시맨(1975)에 도입되었으며 하더-나라시맨 여과라고 불린다.이형성 관련 그라데이션이 있는 두 개의 벡터 번들을 S등분이라고 한다.null

고차원 다양성에서는 여과도 항상 존재하며 고유하지만 관련 등급 구성요소는 더 이상 묶음이 아닐 수 있다.기세커의 안정을 위해 경사지 사이의 불평등은 힐버트 다항식들 사이의 불평등으로 대체되어야 한다.null

코바야시-히친 통신

나라심한-세샤드리 정리는 돌출형 비경상곡선의 안정적 묶음은 돌출적으로 평평한 단일하수성 비경상 연결부가 있는 것과 동일하다고 말한다.0도 다발의 경우, 계획적으로 평평한 연결부가 평평하며 따라서 0도 다발의 안정적 다발은 기본 집단의 회복 불가능한 단일적 표현에 해당한다.null

고바야시와 히친은 이것에 대한 아날로그를 더 높은 차원으로 추측했다.도날드슨(1985)은 이 경우 벡터 번들이 회복 불가능한 에르미타인과 아인슈타인 연결이 있는 경우에만 안정적이라는 것을 보여줌으로써 투영 비언어 표면에서 증명되었다.null

일반화

힐버트 다항식을 사용하여 부드러운 투사 체계와 더 일반적인 일관성이 있는 피복에 대한 (μ-)안정성을 일반화할 수 있다.X를 투영적인 체계로 하자, d 자연수, E X 위에 딤 Supp(E) = d. E의 Hilbert 다항식을 P_E(m) = σ^d
_i=0_i α(E)/(i!) m로ⁱ 쓰시오.감소된 Hilbert 다항식_E p := P_E/α_d(E)를 정의한다.null

다음과 같은 두 가지 조건이 유지된다면 일관성 있는 피복 E는 반증할 수 있다.^[4]

E는 차원 d로 순수하다. 즉, E의 모든 관련 소수에는 차원 d가 있다.
적절한 0이 아닌 하위 표 F ⊆ E에 대해 감소된 Hilbert 다항식은 큰 표에 대해_F p(m) ≤ p_E(m)를 만족한다.

엄정한 불평등 p_F(m) < p_E(m)이 큰 m을 지탱한다면 sheaf를 안정이라고 한다.null

Coh_d(X)를 치수 ≤ d의 지지로 X에 있는 일관성 있는 피복의 전체 하위 범주가 되게 한다.The slope of an object F in Coh_d may be defined using the coefficients of the Hilbert polynomial as ${\hat {\mu }}_{d}(F)=\alpha _{d-1}(F)/\alpha _{d}(F)$ if α_d(F) ≠ 0 and 0 otherwise.d에 대한 ${\hat {\mu }}_{d}$ ${\hat {\mu }}_{d}$ ${\hat {\mu }}_{d}$ ${\$ 의존도는 보통 표기법에서 생략한다.null

$\operatorname {dim} \,\operatorname {Supp} (E)=d$ 과 $\operatorname {dim} \,\operatorname {Supp} (E)=d$ 두 가지 조건이 지속되는 경우 $\operatorname {dim} \,\operatorname {Supp} (E)=d$ Supp called $\operatorname {dim} \,\operatorname {Supp} (E)=d$ ) $\operatorname {dim} \,\operatorname {Supp} (E)=d$ = d ${\displaystyle \operatorname$ {dim} $\,\operatorname {Supple$ }( $E)=d}$ 을(를) 가진 일관성 있는 sheaf E를 μ-semistable이라고 한다 $\operatorname {dim} \,\operatorname {Supp} (E)=d$ .^[5]

E의 비틀림은 치수 ≤ d-2에 있다.
지수 범주 Coh_d(X)/Coh_d-1(X)의 비제로 하위 객체 F ⊆ E에 대해, ${\hat {\mu }}(F)\leq {\hat {\mu }}(E)$ ( $F$ ) ${\hat {\mu }}(F)\leq {\hat {\mu }}(E)$ ( ${\hat {\mu }}(F)\leq {\hat {\mu }}(E)$ ) ${\hat {\mu }}(F)\leq {\hat {\mu }}(E)$ {\ $displaystyle {\mu }}}}\leq {\mu$ {\mu ${\hat {\mu }}(F)\leq {\hat {\mu }}(E)$

E는 엄격한 불평등이 E의 모든 적절한 비영점 하위 객체에 대해 유지된다면 μ-안정적이다.

Coh는_d 모든 d에 대한 Serre 하위 범주이므로 지수 범주가 존재한다는 점에 유의하십시오.일반적으로 지수 범주의 하위 개체는 하위 항목에서 나오지 않지만, 비틀림 없는 경우 원래 정의와 d = n에 대한 일반 개체는 동등하다.null

일반화를 위한 다른 방향, 예를 들어 브리지랜드의 안정성 조건도 있다.null

안정적 벡터 번들과 유사하게 안정적인 기본 번들을 정의할 수 있다.null

참고 항목

참조

^ 참고 $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ O $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ ( $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ - 2 $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ ) $\Oomega _{\mathb {P}^{1}^{1}\cong{\mathcal {O}(-2)$ 을(를) 표준 피복의 애드junction 공식에서 확인하십시오 $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ .
^ 이형성 ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ( ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ( ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ) ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ , O ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ( ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ - ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ) ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ 1 ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ( ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ( ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ - 2 ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ) ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ( P ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ , ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ) ${\$ text} $Ext}^{1}({\$ $Ext}^{1}({\mathcal {O},{\mathcal {O}(2)}\\&\cong H^{1}(\mathb {P}^{1},\mathb _{P}}}}\end{igned}}}}}}}}}}}}$
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Narasimhan, M. S.; Seshadri, C. S. (1965), "Stable and unitary vector bundles on a compact Riemann surface", Annals of Mathematics, Second Series, The Annals of Mathematics, Vol. 82, No. 3, 82 (3): 540–567, doi:10.2307/1970710, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970710, MR 0184252

[1] 참고 $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ O $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ ( $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ - 2 $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ ) $\Oomega _{\mathb {P}^{1}^{1}\cong{\mathcal {O}(-2)$ 을(를) 표준 피복의 애드junction 공식에서 확인하십시오 $\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)$ .

[2] 이형성 ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ( ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ( ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ) ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ , O ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ( ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ - ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ) ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ 1 ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ( ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ( ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ - 2 ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ) ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ( P ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ , ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}$ ) ${\$ text} $Ext}^{1}({\$ $Ext}^{1}({\mathcal {O},{\mathcal {O}(2)}\\&\cong H^{1}(\mathb {P}^{1},\mathb _{P}}}}\end{igned}}}}}}}}}}}}$

[3] Faltings, Gerd. "Vector bundles on curves" (PDF). Archived (PDF) from the original on 4 March 2020.

[4] Huybrechts, Daniel; Lehn, Manfred (1997). The Geometry of Moduli Spaces of Sheaves (PDF)., 정의 1.2.4

[5] Huybrechts, Daniel; Lehn, Manfred (1997). The Geometry of Moduli Spaces of Sheaves (PDF)., 정의 1.6.9

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