리만 구

Riemann sphere
리만 구는 구를 둘러싼 복소수 평면으로 시각화될 수 있습니다(자세한 내용은 아래에 나와 있습니다).

수학에서, 베른하르트 리만의 이름을 딴 리만 구는 무한대에서 복소 평면과 한 을 더한 확장 복소 평면모델입니다.[1]이 확장 평면은 확장된 복소수, 즉 복소수무한대에 대한 값 ∞ 를 더한 값을 나타냅니다.리만 모형에서 점 ∞ 는 점 이(가) 매우 작은 수에 가까운 것처럼 매우 큰 수에 가깝습니다.

확장된 복소수는 1 = ∞ =\와 같은 표현을 잘 behaved으로 만드는 경우가 있으므로 복소수 분석에서 유용합니다.예를 들어, 복소 평면 위의 임의의 유리함수는 리만 구 위의 동형 함수로 확장될 수 있으며, 유리함수의 극들은 무한대로 매핑됩니다.보다 일반적으로, 임의의 형함수는 리만 구를 공변역으로 하는 정칙 함수로 간주될 수 있습니다.

기하학에서 리만 구는 리만 표면의 원형적인 예이며, 가장 단순한 복소 다양체 중 하나입니다.사영 기하학에서, 구는 복소수 사영선 P ^{의 모든 복소수 사영선의 사영 공간으로 간주될 수 있습니다 여느 콤팩트한 리만 표면과 마찬가지로, 구 역시 사영 대수 곡선으로 볼 수 있습니다.그것을 대수기하학의 기본적인 예로 만드는 것.그것은 또한 양자역학블로흐 구와 물리학의 다른 분야와 같이 분석과 기하학에 의존하는 다른 학문에서도 유용성을 발견합니다.

확장 복소 평면은 또한 닫힌 복소 평면이라고 불립니다.

확장복소수

확장 복소수∞ {\ \}와 함께 복소수C로 구성됩니다 확장 복소수의 집합은 { ∞ } 같이 문자에 장식을 추가하여 표시하는 경우가 많습니다

표기도 사용되었지만 펑처링된 평면 에도 사용되므로 모호성이 발생할 수 있습니다

기하학적으로, 확장 복소수의 집합을 리만 구(또는 확장 복소수 평면)라고 합니다.

연산

에 대해 정의함으로써 복소수의 덧셈을 확장할 수 있습니다

임의의 복소수 에 대하여 곱셈은 다음과 같이 정의될 수 있습니다.

0이 아닌 모든 복소수 에 대해∞ ×∞ = =\∞ - -× ∞{\ 0은(는) 정의되지 않은 상태로 유지됩니다.}에는덧셈이나 곱셈 역수없기 때문에 복소수와 달리 확장 복소수는 필드를 형성하지 않습니다.그럼에도 , C∞ { ∪ {\ \} \\{\infty 에서 분할을 정의하는 것이 관례입니다.

이 아닌 모든 복소수 에 대해 ∞/ 0 = ∞ 0=\ 및 0 /∞ = = 0입니다/ 및 ∞ /은(는) 정의되지 않은 상태로 남아 있습니다.

유리함수

유리 함수 f( )= ( z)/ ( ) f z) = g z / (즉, ( f 는 복소수 를 가진 z 함수 g( ( h 의 비율입니다. 공통 인자가 없음)를 리만 구의 연속 함수로 확장할 수 있습니다.구체적으로, 이(가) 분모 0 이고 분자 이(가) 0이 아닌 복소수인 경우, 는 ∞ 로 정의할 수 있습니다 또한 는 th로 정의할 수 있습니다. f (z) → ∞ 제한하며 이는 유한하거나 무한할 수 있습니다.

수학 기호가 인 복소 유리 함수 집합은 값를 모든 곳에서 취하는 상수 함수를 제외하고 리만 표면으로 볼 때 리만 구에서 자신으로 모든 가능한 동형 함수를 형성합니다. 의 함수는 구의 유리 함수장으로 알려진 대수장을 형성합니다.

예를 들어, 함수가 주어지면

± {\ \ 에서0이므로 f ( ±5)= ∞ 5) =\로 정의할 수 있으며 ( z이므로 ) = 3 {\) → → ∞ {\ \infty로 정의할 수 있습니다 이러한 정의를 사용하면 는 리만 구에서 자신으로 이어지는 연속 함수가 됩니다.

복합 다양체로서

1차원 복소수 다양체로서, 리만 구는 복소수 C 의 정의역과 같은 두 개의 차트로 설명될 수 있습니다 ζ 의 한 사본에 있는 복소수라고 하고,ξ }의 다른 사본에 있는 복소수라고 하자. {C \ {C각 0이 아닌 복소수 \}을를) 0이 아닌 복소수 1 / 번째 \ {C{\ 1}로 식별합니다 그런 다음 맵을

의 두 복사본 이른바 차트 간의 전이 맵이라고 합니다.전이 지도는 동형이기 때문에 리만 구라 불리는 복잡한 다양체를 정의합니다.1개의 복소 차원(즉, 2개의 실수 차원)의 복소 다양체로서, 이것은 리만 표면이라고도 불립니다.

직관적으로, 전이 지도는 리만 구를 형성하기 위해 두 평면을 접착하는 방법을 나타냅니다.비행기는 "인사이드 아웃" 방식으로 접착되어 있어 거의 모든 곳에서 겹치게 되며, 각 비행기는 다른 비행기에서 한 점(기원)만 누락됩니다.즉, (거의) 리만 구의 모든 점은 ζ 값과 ξ 값을 모두 가지며, 두 값은 ζ = / ξ{\ = 로 연관됩니다그러면 ξ = = 0이(가) ζ - 값 " / 0 이어야 합니다. 이러한 의미에서 ξ - 차트의 원점은 - 차트의 ∞ 역할을 합니다.으로 ζ의 원점 - chart는 ξ - chart에서 ∞ 역할을 합니다.

위상학적으로, 결과 공간은 구면으로 평면을 1점 압축하는 것입니다.그러나 리만 구는 단순히 위상적인 구가 아닙니다.그것은 잘 정의된 복잡한 구조를 가진 구이므로 구의 모든 점 주위에는 과(와) 동형으로 식별될 수 있는 이웃이 있습니다

반면에, 리만 표면 분류의 중심 결과인 균일화 정리는 단순히 연결된 모든 리만 표면이 복소 평면, 쌍곡 평면 또는 리만 구와 동형이라는 것을 말합니다.이 중 리만 구는 유일하게 닫힌 표면(경계가 없는 컴팩트한 표면)입니다.따라서 2차원 구는 그것을 1차원 복소 다양체로 바꾸는 독특한 복소 구조를 받아들입니다.

복잡한 사선으로서

리만 구는 복소 투영 선으로 정의될 수도 있습니다.복소 사영선의 점은 복소 벡터 공간 :두 개의 null 벡터( ( 가 만약 f = λ )=(\lambda ulambda v일 경우 동치입니다.일부 0이 아닌 계수 λ ∈

이 경우 등가 클래스는 투영 좌표를 사용하여[ 로 작성됩니다.복잡한 투영 선에 있는 점 이(가) 지정되어 있는 경우 w{\} z{\} 중 하나는 이 아니어야 합니다( w ≠ 0 그런 다음 동등성 개념에 의해 리만 구 다양체에 대한 차트에 있는[ ]=[ / ] =\

이러한 리만 구의 처리는 투영 기하학과 가장 쉽게 연결됩니다.예를 들어, 복소 투영 평면에 있는 임의의 선(또는 매끄러운 원뿔)은 복소 투영 선과 동형입니다.또한 이 글의 후반부에 있는 구의 오토모피즘을 연구하는 데도 편리합니다.

구로서

리만 구의 점 α에 대한 복소수 A의 입체 사영

리만 구는 실수 공간 3 \ {R}에서 단위 구 x 2 + y 2 + z 2= 1 } + y} + =로 시각화할 수 있습니다 이를 위해 단위 구에서 점 을 뺀 입체 사영 = , + y {\ \=x + 로 복소 평면으로 식별하는 ,}.구면의 직각좌표 (구면좌표 θ,φ 에서 투영은 다음과 같습니다(정점θ {\displaystyle \이고 방위는 φ 입니다).

마찬가지로 ( - 에서 = z = 평면에 대한 입체 은 ξ = {\ = 에 의해 복소 평면의 다른 복사본으로 식별됩니다.

이 두 입체 사영의 역은 복소 평면에서 구면까지의 지도입니다.첫 번째 반전은 점 0 을 제외한 구를 덮고 두 번째 반전은 점( , 0 - - 1을 제외한 구를 덮습니다구에서 일관된 방향을 유지하려면 방향 reversal가 필요하기 때문에이 지도의 도메인인 두 개의 복잡한 평면은 평면 = 0 z = 과(와) 다르게 식별됩니다.

ζ {\ \ - ξ \} 좌표 사이의 전이 맵은 한 투영을 다른 투영의 역으로 구성하여 얻습니다.위에서 설명한 대로ζ = 1 /ξ = 및 ξ = /ζ = 입니다.따라서 단위 구는 리만 구와 미분 동형입니다.

이 미분 형식 하에서, ζ - chart의 단위 원, ξ - chart의 단위 원, 단위 구의 적도는 모두 식별됩니다.단위 디스크 ζ< 은(는) 남반구 < z과(는) 식별되고 단위 디스크 ξ< 1 <은(는) 북반구 z> 과(는) 식별됩니다

미터법

리만 표면에는 특정 리만 메트릭이 장착되지 않습니다.그러나 리만 표면의 등각 구조는 하위 등각 구조가 주어진 것인 모든 메트릭 클래스를 결정합니다.자세한 내용:리만 표면의 복잡한 구조는 등각 동치까지의 메트릭을 고유하게 결정합니다.(양의 매끄러운 함수를 곱하여 서로 다른 두 개의 메트릭은 등호적으로 동일하다고 합니다.)반대로, 배향된 표면의 모든 메트릭은 고유하게 복잡한 구조를 결정하며, 이는 적합성 등가까지만 메트릭에 의존합니다.따라서 배향된 표면의 복잡한 구조는 해당 표면의 적합한 메트릭 클래스와 일대일 대응 관계에 있습니다.

주어진 등각 클래스 내에서 등각 대칭을 사용하여 편리한 특성을 가진 대표 메트릭을 찾을 수 있습니다.특히, 주어진 등각 클래스에는 항상 일정한 곡률을 갖는 완전한 메트릭이 있습니다.

리만 구의 경우, 가우스-보넷 정리는 일정한 곡률 메트릭이 양의 곡률 K를 가져야 함을 암시합니다 그 메트릭은 입체 사영을 통해 에서 1/ 의 구와 등각이어야 합니다.리만 구의 ζ - 차트에서 = 1 K=인 메트릭은 다음과 같이 제공됩니다.

실제 좌표 ζ = + = u + 에서공식은

상수 인자까지 이 메트릭은 복잡한 투영 공간에 대한 표준 푸비니-스터디 메트릭과 일치합니다(리만 구의 예).

축척에 이르기까지, 이는 구에서 방향 보존 등각성의 그룹이 3차원(3차원 이상은 없음)인 유일한 메트릭입니다. 이 그룹을 이라고 합니다 이 의미에서 이는 구에서 단연코 가장 대칭적인 메트릭입니다. ((로 알려진 모든 등각성의 그룹 displayst.{\O}}(도 3차원이지만 달리 {\{\}}(은(는) 연결된 공간이 아닙니다.

반대로, 가 구(추상 매끄러운 다양체 또는 위상 다양체)를 나타내도록 합니다.균일화 정리에 의해 에는 등각 동치까지의 독특한 복잡한 구조가 존재합니다. 의 모든 메트릭은 라운드 메트릭과 일치합니다.이러한 모든 메트릭은 동일한 등각 지오메트리를 결정합니다.따라서 "원형"은 등각 기하학의 불변성이 아니기 때문에 라운드 메트릭은 리만 구에 고유하지 않습니다.리만 구는 등각 다양체일 뿐, 리만 다양체는 아닙니다.그러나 리만 구에 대해 리만 기하학을 수행해야 하는 경우 라운드 메트릭은 자연스러운 선택입니다(비록 반지름 가장 단순하고 일반적인 선택이지만).그것은 리만 구의 둥근 미터법만이 그 등각 군을 3차원 군으로 하기 때문입니다. (즉, ( 위상학적으로 3차원 투영 공간 인 연속 거짓말") 군으로 알려진 군.)

오토모피즘

입체사영에 의한 구면과 평면에 작용하는 뫼비우스 변환

어떤 수학적 대상에 대한 연구는 그 대상에서 그 대상의 본질적인 구조를 보존하는 그 자체로의 지도를 의미하는 그것의 오토모피즘 그룹에 대한 이해에 의해 도움을 받습니다.리만 구의 경우, 자기 변형은 리만 구에서 자신으로의 가역적 등각 지도(즉, 쌍동형 지도)입니다.그러한 지도는 뫼비우스 변환뿐인 것으로 밝혀졌습니다.이것들은 형태의 기능들입니다.

a b d - 인 복소수입니다 뫼비우스 변환의 예로는 확장, 회전, 변환, 복소 반전 등이 있습니다.사실, 어떠한 뫼비우스 변환도 이것들의 구성으로 쓰여질 수 있습니다.

뫼비우스 변환은 복잡한 투영 선에 대한 호모그래피입니다.투영좌표에서는 변환 f를 쓸 수 있습니다.

따라서 뫼비우스 변환은 0이 아닌 행렬식을 갖는 2x2 복소수 행렬로 설명될 수 있습니다.투영 좌표에 작용하기 때문에 0이 아닌 인자만큼 다른 경우에만 두 행렬이 동일한 뫼비우스 변환을 생성합니다.뫼비우스 변환 그룹은 투영 선형 그룹 PGL ( 2 {입니다

리만 구에 푸비니-스터디 메트릭을 부여하면 모든 뫼비우스 변환이 등각이 되는 것은 아닙니다. 예를 들어 확장과 변환은 그렇지 않습니다.등분계는 ( 의 적절한 하위 그룹, 이 부분군은 회전군 와 동형이며 이는 {\ \구로 제한된 경우 구의 등각이 됨) 단위구의 대칭군입니다.

적용들

복소해석학에서 복소평면(또는 이 문제에 관해서는 임의의 리만 표면) 위의 형함수는 두 개의 동형함수 f 비율 /g 입니다 복소수에 대한 지도로서, g 0인 곳에서는 정의되지 않습니다.그러나, = g=인 경우에도 잘 정의된 복소 투영 선에 동형 맵( ) 을 유도합니다이 구성은 동형함수와 형형함수의 연구에 도움이 됩니다.예를 들어, 콤팩트한 리만 표면에는 복소수에 대한 일정하지 않은 동형 지도가 없지만 복소수 사영선에 대한 동형 지도는 풍부합니다.

리만 구는 물리학에서 많은 용도를 가지고 있습니다.양자역학에서 복잡한 투영 선 위의 광자 편광 상태, 1 거대입자스핀 상태 및 일반적으로 2-상태 입자에 대한 자연 값입니다(양자 비트 및 블로흐 구 참조).리만 구는 천구의 상대론적 모델로 제시되어 왔습니다.[4]끈 이론에서, 끈의 세계 시트는 리만 표면이며, 가장 단순한 리만 표면인 리만 구는 중요한 역할을 합니다.이것은 또한 트위스터 이론에서 중요합니다.

참고 항목

참고문헌

  1. ^ B. 리만:이론가 아벨체 펑크티오넨, J. Math. (Crele) 1857; Werke 88-144이름의 유래는 노이만 C: Vorlesungen über Riemns Theory der Abelsche Integale, 라이프치히 1865 (Teubner)에서 따온 것입니다.
  2. ^ "C^*". Archived from the original on October 8, 2021. Retrieved December 12, 2021.
  3. ^ William Mark Goldman (1999) 복합 쌍곡 기하학, 1페이지, Clarendon Press ISBN 0-19-853793-X
  4. ^ R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. pp. 428–430 (§18.5). ISBN 978-0-679-77631-4.

외부 링크