모듈 곡선

수 이론과 대수 기하학에서 모듈형 곡선 Y(Yγ)는 리만 표면 또는 해당 대수 곡선로서, 적분 2×2 매트릭스 SL(2, Z)의 모듈형 그룹의 일치 부분군 γ의 작용에 의해 복합 상부 반평면 H의 몫으로 구성된다.모듈형 곡선이라는 용어는 이 지수(확장된 복합 상부 반면에 대한 작용으로 quot의 cusps라고 함)에 미세하게 많은 점( (called의 cusps라고 함)을 추가하여 얻은 압축된 모듈형 곡선 X(γ)를 가리키는 데 사용될 수도 있다.모듈식 곡선 파라메트리제 타원곡선의 이형성 등급과 그룹 Ⅱ에 따른 일부 추가 구조물의 점.이 해석은 복잡한 숫자에 대한 참조 없이 모듈형 곡선의 순수하게 대수적 정의를 제공할 수 있게 하며, 더욱이 모듈형 곡선이 합리적인 숫자 Q 또는 사이클로토믹 필드 Q(cyclotomic_n field Q)에 걸쳐 정의된다는 것을 증명한다.후자의 사실과 그 일반화는 수 이론에서 근본적인 중요성을 갖는다.null

분석적 정의

모듈형 그룹 SL(2, Z)은 부분적인 선형 변환에 의해 상부 하프 평면에 작용한다.모듈형 곡선의 분석적 정의는 일부 양의 정수 N에 대해 SL(2, Z)의 응집 부분군 γ, 즉 수준 N의 주요 응집 부분군을 포함하는 부분군의 선택을 포함한다.

${\displaystyle \Gamma(N)=\{\\begin{pmatrix}a&b\c&d\\\end{pmatrix}:\\\equiv d\equiv 1\equiv N{\text} 및 }b,c\equiv 0\mod N\right\}.}$

그러한 최소의 N을 γ의 수준이라고 한다.복합 구조물은 일반적으로 Y(γ)로 표시된 비 컴팩트 리만 표면을 얻기 위해 γ\H에 표시할 수 있다.null

압축 모듈형 곡선

Y(Y)의 공통적인 압축은 of의 cusps라고 불리는 점들을 미세하게 더함으로써 얻어진다.구체적으로는 확장형 복합상반면 H* = H ∪ Q ∪ {∞}에 대한 γ의 작용을 고려하여 수행된다.H*의 토폴로지를 기본으로 하여 소개한다.

• H의 열린 부분 집합,
• 모든 r > 0에 대해 세트 { { h h im im 임 (() > $}$ {\$displaystyle \{\inf{\\$inf {H$}$\\\$tau \in \mathbf$ {h} $\mid {\text{im}(\tau )})(\$tau )}}}}}r\r\r$\$r\r\}}}}}}}}}}}}}}.
• 모든 coprime 정수 a$,$ c 및$모든$ r > 0에 대해, 의 작용 하에 {{} { { $h im$ 임 ($($ )$> r$ r r rr r rr\ \ \ > }} { { { { { { { { \ { {\ \ \ \ \ { { { { \ \ \ \ \ \ \ \ \\ { { { \ \ \ $\$

${\displaystyle {\pmatrix}a&-m\c&n\end{pmatrix}}$

여기서 m, n은 + cm = 1과 같은 정수다.

이것은 H*를 리만 구체 P¹(C)의 부분집합인 위상학적 공간으로 만든다.그룹 γ은 부분 집합 Q ∪ {∞}에 작용하여 그것을 of의 cusps라고 불리는 미세하게 많은 궤도로 나눈다.γ이 Q ∪ {∞}에 대해 전이적으로 작용하면 γ\H* 공간은 γ\H의 알렉산드로프 압축이 된다.다시 한번, 복잡한 구조물은 그것을 리만 표면으로 바꾸는 γ\H* 지수에 놓일 수 있다. 그것은 이제 콤팩트해진 X(γ)로 표시된다.이 공간은 Y(γ)를 압축한 것이다.^[1]null

예

가장 일반적인 예는 부분군 γ(N), γ₀₀(N), γ(N), γ₁(N)과 관련된 X(N)와 X₁(N)의 곡선이다.null

모듈형 곡선 X(5)에는 0의 속성이 있다: 그것은 정규 이코사면체의 정점에 12개의 쿠스프를 가진 리만 구이다.커버링 X(5) → X(1)는 리만 구에 대한 이코사헤드랄 집단의 작용에 의해 실현된다.이 그룹은 A와₅ PSL(2, 5)에 대해 60개의 이형질 순서를 가진 단순한 그룹이다.null

모듈형 곡선 X(7)는 24 쿠스프를 가진 속 3의 클라인 사분위수다.그것은 세 개의 손잡이를 24개의 헵타곤으로 타일 처리한 표면으로, 각 면의 중심에 쐐기가 있는 것으로 해석할 수 있다.이러한 기울기는 데신 덴팬츠와 벨리 기능을 통해 이해할 수 있다 – 쿠스프는 ∞(빨간 점) 위에 놓여 있는 점이며, 가장자리의 정점과 중심(검은 점 및 흰 점)은 0과 1에 걸쳐 놓여 있는 점이다.커버링 X(7) → X(1)의 갈루아 그룹은 PSL(2, 7)에 168개의 이형질 순서를 가진 단순한 그룹이다.null

고전적인 모듈형 곡선인 X₀(N)에 대한 명시적인 고전적 모델이 있다. 이것을 모듈형 곡선이라고도 한다.γ(N)의 정의는 다음과 같이 재작성할 수 있다: 감량모듈로 N의 커널인 모듈 그룹의 서브그룹이다.그 다음 γ₀(N)은 상위 삼각형 모듈로 N인 행렬의 큰 부분군이다.

${\displaystyle \left\{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}:\c\equiv 0\mod N\right\}}}$

γ₁(N)은 다음에 의해 정의되는 중간 그룹이다.

${\displaystyle \left\{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}:\equiv d\equiv 1\mod N,c\equiv 0\mod N\right\}.}$

이러한 곡선은 수평 구조를 가진 타원곡선의 모듈리 공간으로서 직접적인 해석을 가지며, 이러한 이유로 산술 기하학에서 중요한 역할을 한다.레벨 N 모듈형 곡선 X(N)는 N-토션의 기초가 있는 타원형 곡선의 모듈리 공간이다.X₀(N)와 X₁(N)의 경우 수준 구조는 각각 N 순서의 주기적 부분군과 N 순서의 점이 된다.이러한 곡선은 매우 상세하게 연구되어 왔으며₀, 특히 X(N)를 Q에 걸쳐 정의할 수 있는 것으로 알려져 있다.

모듈형 곡선을 정의하는 방정식은 모듈형 방정식의 가장 잘 알려진 예다."최상의 모델"은 타원 함수 이론에서 직접 취해진 모델과는 매우 다를 수 있다.Heck 연산자는 모듈형 곡선 쌍을 연결하는 것과 상응하여 기하학적으로 연구될 수 있다.null

비고: H의 콤팩트한 인수는 모듈 그룹의 하위그룹을 제외한 푸치안 그룹 γ에 발생한다. 그 중 일부는 쿼터니온 알헤브라로 구성된다.null

속

커버링 X(N) → X(1)는 갈루아이며, 갈루아 그룹 SL(2, N)/{1, -1}, N이 prime이면 PSL(2, N)과 같다.리만 적용-허위츠 공식과 가우스-보넷 정리, X(N)의 속주를 계산할 수 있다.프라임 레벨 p ≥ 5의 경우,

$[\displaystyle -\pi \chi(X(p)]=G \cdot D,}$

여기서 χ = 2 - 2g은 오일러 특성이고, G = (p+1)p(p-1)/2는 그룹 PSL(2, p), D = - - //2 - //3 - //p는 구형(2,3,p) 삼각형의 각도 결함이다.이것은 하나의 공식을 낳는다.

${\displaystyle g={\tfrac {1}{24}}(p+2)(p-3)(p-5).}$

따라서 X(5)는 0, X(7)는 3, X(11)는 26이다.p = 2 또는 3의 경우, PSL(2, Z)의 순서 p 요소의 존재와 PSL(2, 2)이 3이 아닌 순서 6을 갖는다는 사실을 추가로 고려해야 한다.N의 구분자를 포함하는 모든 레벨 N의 모듈형 곡선 X(N)의 속에는 더 복잡한 공식이 있다.

0속

일반적으로 모듈형 함수 필드는 모듈형 곡선(또는 때때로, 되돌릴 수 없는 품종으로 판명되는 일부 다른 모듈리 공간의 함수 필드)이다.속 0은 그러한 함수장이 생성기로서 단일 초월 함수를 갖는 것을 의미한다. 예를 들어, j-함수는 X(1) = PSL(2, Z)\H*의 함수 필드를 생성한다.뫼비우스 변환까지 고유하고 적절히 정상화될 수 있는 그러한 발전기의 전통적인 명칭은 하우프트모듈(주 또는 주 모듈식 기능)이다.null

공간₁ X(n)에는 n = 1, ..., 10 및 n = 12에 대한 0의 속성이 있다.이러한 곡선은 각각 Q에 걸쳐 정의되고 Q-합리적인 점을 가지므로, 그러한 곡선마다 무한히 많은 합리적 점이 존재하며, 따라서 이러한 n의 값에 대해 n-토션으로 Q에 걸쳐 정의되는 타원형 곡선이 무한히 많다는 것을 따른다.n의 이러한 값들만이 일어날 수 있다는 역성명은 마주르의 비틀림 정리다.null

몬스터 그룹과의 관계

매우 드문 0속 모듈형 곡선은 괴물 같은 밀주 추측과 관련하여 중요한 것으로 밝혀졌다.처음에 그들의 하우프트모듈른의 q 확장 계수는 이미 19세기에 계산되었지만, 동일한 큰 정수가 가장 큰 산발적인 단순 그룹 몬스터의 표현 차원으로 나타난다는 것은 충격으로 다가왔다.null

또 다른 연결은 SL(2, R)에서 γ₀(p)의 노멀라이저 γ₀(p)⁺에 해당하는 모듈형 곡선은 p가 2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 또는 71인 경우에만 0의 속성이 있으며, 이것들은 정확하게 몬스터군 질서의 주요 요소들이다.γ₀(p)⁺에 대한 결과는 장피에르 세레, 앤드류 오그, 존 G 때문이다. 1970년대 톰프슨, 그리고 그 이후에 몬스터 그룹과 관련된 관찰은 이 사실을 설명할 수 있는 누구에게나 잭 다니엘의 위스키 한 병을 증정하는 논문을 쓴 오그 덕분인데, 이것이 괴물 밀주 이론의 출발점이었다.^[2]null

그 관계는 매우 깊으며 리처드 보처즈(Richard Borcherds)에 의해 증명되었듯이 일반화된 Kac-Moody Algebras도 포함한다.이 영역의 연구는 모듈형 형태와는 달리, 모듈형 형태와 반대로, 큐스에 극을 둘 수 있는 모듈형 기능의 중요성을 강조했고, 큐스를 포함한 모든 곳에 홀로모형이며, 20세기 전반에는 연구의 주요 대상이 되어왔다.null

참고 항목

• 마닌-드린펠트 정리
• 타원곡선의 모듈리 스택
• 모듈성 정리
• 시무라 품종, 모듈식 곡선을 보다 높은 차원으로 일반화

참조

• 스티븐 D.Galbraith - 모듈형 곡선 방정식