타원곡선에 관한 하세 정리

하세 바운드라고도 하는 타원 곡선에 대한 하세의 정리는 유한한 필드 위에 있는 타원 곡선의 점 수를 추정하여 위와 아래 값을 모두 묶습니다.

N이 q 원소가 있는 유한한 장 위에 있는 타원 곡선 E의 점들의 개수라면, 하세의 결과는 다음과 같습니다.

${\displaystyle N-(q+1) \leq 2{\sqrt {q}}.$

그 이유는 N이 동일한 필드에 대한 투영 선의 점 수인 q + 1과 절대값 $.{\displaystyle {\sqrt {q}}$의 두 복소수의 합인 '오차항'에 의해 다르기 때문입니다.

이 결과는 원래 에밀 아르틴이 그의 논문에서 추측한 것이었습니다.^[1] 그것은 1933년 Hasse에 의해 증명되었고, 그 증명은 1936년 일련의 논문에 발표되었습니다.^[2]

하세의 정리는 E의 국소 제타 함수의 근의 절대값을 결정하는 것과 같습니다. 이 형태에서 타원 곡선과 관련된 함수장에 대한 리만 가설의 유사체로 볼 수 있습니다.

하세-웨일 바운드

더 높은 속 대수 곡선에 속박된 하세의 일반화는 하세-와일 속박입니다. 이것은 유한 필드 위의 곡선의 점 수에 대한 경계를 제공합니다. 차수 q의 유한장 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ _${q}$ 위의 속 g의 곡선 C의 점 수가${\displaystyle \mathrm{}}$# C${\displaystyle }$(${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \#C(\mathbb {F}$ _${q}}}$이면$,$

${\displaystyle \#C(\mathbb {F} _{q})-(q+1) \leq 2g{\sqrt {q}}.$

이 결과는 다시 C의 국소 제타 함수의 근의 절대값을 결정하는 것과 동일하며 곡선과 관련된 함수장에 대한 리만 가설의 아날로그입니다.

하세-와일 바운드는 g=1 속을 갖는 타원 곡선에 적용될 때 일반적인 하세 바운드로 감소합니다.

하세-바일 경계는 1949년 안드레 바일이 처음 제안하고 곡선의 경우 안드레 바일이 증명한 바일 추측의 결과입니다.^[3]

참고 항목

• 사토-테이트 추측
• 슈프의 알고리즘
• 웨일 바운드

메모들

참고문헌

• Hurt, Norman E. (2003), Many Rational Points. Coding Theory and Algebraic Geometry, Mathematics and its Applications, vol. 564, Dordrecht: Kluwer/Springer-Verlag, ISBN 1-4020-1766-9, MR 2042828
• Niederreiter, Harald; Xing, Chaoping (2009), Algebraic Geometry in Coding Theory and Cryptography, Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-6911-0288-7, MR 2573098
• 의 제5장
• Washington, Lawrence C. (2008), Elliptic Curves. Number Theory and Cryptography, 2nd Ed, Discrete Mathematics and its Applications, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 978-1-4200-7146-7, MR 2404461