AF+BG 정리
AF+BG theorem |
대수기하학에서 AF+BG 정리(Max Nother's fundamental theorem)는 복소 사영 평면에서 대수 곡선의 방정식이 국소적으로 (각 교점에서) 다른 두 대수 곡선의 방정식에 의해 생성된 이상에 속한다면, 그러면 전 세계적으로 이 이상에 속합니다.
진술
F, G, H가 F와 G보다 높은 차수를 갖는 세 변수의 동차 다항식이라 하고, a = deg H - deg F와 b = deg H - deg G (둘 다 양의 정수)를 다항식의 차수 차이라고 합니다. F와 G의 최대 공약수를 상수라고 가정하자. 즉, 사영 평면 에서 정의된 사영 곡선은 유한 개의 점으로 구성된 교집합을 갖는다. 이 교차점의 각 점 P에 대해 다항식 F와 G는 P에서 의 로컬 링의 아이디얼 (F, G)을 생성합니다(이 로컬 링은 n {\{\의 링이며, 여기서 n과 d는 세 변수의 다항식이고 d(P) ≠ 0). 이 정리는 만약 H가 모든 교점 P에 대하여 (F, G)에 있다면, H는 이상 (F, G)에 있다고 주장합니다. 즉, 각각 H = AF + BG와 같은 a와 b의 동차 다항식 A와 B가 존재합니다. 또한 A의 두 선택은 G의 배수만큼 다르며, 마찬가지로 B의 두 선택은 F의 배수만큼 다릅니다.
관련결과
이 정리는 베조우트의 항등식을 일반화한 것으로 볼 수 있습니다. 이는 정수 또는 일변량 다항식 h가 두 개의 다른 정수 또는 일변량 다항식 f 및 g에 의해 생성된 이상의 원소로 표현될 수 있는 조건을 제공합니다. 이러한 표현은 h가 f 및 g의 최대 공약수의 배수일 때 정확히 존재합니다. AF+BG 조건은 세 변수의 동차 다항식 H가 두 개의 다른 다항식 F와 G에 의해 생성된 이상의 원소로 쓰일 수 있는 유사한 조건을 나눗셈으로 표현합니다.
이 정리는 또한 이 특별한 경우에 대해 힐베르트의 널스텔렌사츠의 개선된 것으로, (어떤 변수에서도) 다항식 h의 일부 거듭제곱이 유한한 다항식 집합에 의해 생성된 이상에 속함을 표현하는 조건을 제공합니다.
참고문헌
- Fulton, William (2008), "5.5 Max Noether's Fundamental Theorem and 5.6 Applications of Noether's Theorem", Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry (PDF), pp. 60–65.
- Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978), Principles of Algebraic Geometry, John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9.
