하세-윗 행렬

Hasse–Witt matrix

수학에서, 유한장 F에 대한 비특이 대수 곡선 C의 하세-윗 행렬 H는 첫 번째 종류의 미분에 대한 기초에 대한 프로베니우스 매핑(F가 q 원소, 소수 p의 q 거듭제곱을 갖는 p번째 거듭제곱 매핑)의 행렬입니다. 이것은 C가 g 속을 갖는 g×g 행렬입니다. 하세-윗 행렬의 순위는 하세 또는 하세-윗 불변량입니다.

정의에 대한 접근 방식

이 정의는 서론에서 제시한 바와 같이 고전적인 용어로 보면 당연한 것이며, Helmut Hasse와 Ernst Witt(1936)에 의한 것입니다. 이것은 C의 야코비안 품종 J의 p-랭크 문제에 대한 해결책을 제공합니다. p-랭크는 H의 랭크에 의해 경계지어지며, 구체적으로 자신이 g번 구성된 프로베니우스 매핑의 랭크입니다. 그것은 또한 원칙적으로 알고리즘적인 정의입니다. 최근 Ca hyperreliptic curve의 경우 암호학에 실질적인 적용에 대한 실질적인 관심이 있었습니다. H = 0인 경우 곡선 C는 초특이적입니다.

그 정의에는 최소한 몇 가지 주의 사항이 필요합니다. 첫째, 프로베니우스 매핑에 대한 관습이 있으며, H에 필요한 것을 현대적으로 이해하는 것은 프로베니우스의 전치이다(자세한 논의는 산술 및 기하학적 프로베니우스 참조). 둘째, Frobenius 매핑은 F-선형이 아닙니다. F의 프라임 필드 Z/pZ에 걸쳐 선형입니다. 따라서 행렬을 적을 수 있지만 단순한 의미에서 선형 매핑을 나타내는 것은 아닙니다.

코호몰로지

sheafcohomology에 대한 해석은 다음과 같습니다. p-제곱 지도는 다음과 같습니다.

H1(C,OC),

다른 말로 C의 첫 번째 코호몰로지와 그 구조 면에 계수가 있습니다. 이것은 현재 피에르 카르티에와 유리 마닌의 이름으로 카르티에-마닌 연산자(때로는 카르티에 연산자)라고 불립니다. Hasse-Witt 정의와의 연결은 곡선에 대하여 그 군을 다음과 같이 연관시키는 Serreduality에 의하여 이루어집니다.

H(C, ω)

여기서 ω = ω는 C의 켈러 미분의 면입니다.

아벨리안 품종과 그 p-순위

특성 p의 필드 K에 대한 아벨 품종 A의 p-랭크는 p에 의한 곱셈의 커널 A[p]가 p 포인트를k 가지는 정수 k입니다. A의 차원인 0에서 d 사이의 임의의 값을 취할 수 있습니다. 대조적으로 다른 소수 l에 대해서는 A[l]에 l개의2d 점이 있습니다. p-랭크가 더 낮은 이유는 p-A의 곱셈이 불가분의 동형이기 때문입니다: 미분은 K에서 0인 p입니다. 커널을 그룹 방식으로 보면 더 완전한 구조를 얻을 수 있습니다(David Mumford Abelian Variats pp. 146-7 참조). 그러나 예를 들어 나눗셈 방정식의 축소 모드 p를 보면 해의 수가 떨어져야 합니다.

따라서 카르티에-마닌 연산자 또는 하세-윗 행렬의 순위는 p-순위에 대한 상한을 제공합니다. p-랭크는 자신을 g배로 구성한 Frobenius 연산자의 랭크입니다. Hasse와 Witt의 원래 논문에서 문제는 J에 의존하는 것이 아니라 C에 내재하는 용어로 표현됩니다. 함수장 F(C)의 가능한 Artin-Schreier 확장을 분류하는 문제가 있습니다(이 경우 Kummer 이론의 아날로그).

1속의 경우

타원 곡선의 경우는 1934년에 Hasse에 의해 해결되었습니다. 속은 1이므로 행렬 H에 대한 유일한 가능성은 H는 0이고, Hasse 불변량 0, p-rank 0, 초단수인 경우; 또는 H가 0이 아닌 경우, Hasse 불변량 1, p-rank 1, 일반적인 경우입니다.[1] 여기서 적어도 q = p일 때 H가 F 위의 점 N에 대한 합동 모듈롭이라는 합동 공식이 있습니다. 타원 곡선에 대한 하세의 정리 때문에 N 모듈롭을 알면 p ≥ 5에 대한 N이 결정됩니다. 지역 제타 기능과의 이러한 연관성은 심도 있게 조사되었습니다.

입방 f(X,Y,Z) = 0으로 정의되는 평면 곡선의 경우 f의 (XYZ) 계수가 0인 경우에만 하세 불변량이 0입니다.

메모들

  1. ^ a b Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 52. Springer-Verlag. p. 332. ISBN 0-387-90244-9. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

참고문헌