안정곡선

대수기하학에서 안정곡선은 기하불변성 이론의 의미에서 점증적으로 안정되어 있는 대수곡선이다.null

이는 특이점만 일반 이중점이고 자동형 집단이 유한한 완전한 연결 곡선이라는 조건에 해당한다.자동형 집단이 유한하다는 조건은 산술 속 1이 아니며 모든 비성별적 이성적 성분이 최소 3점 이상에서 다른 성분들을 충족한다는 조건으로 대체할 수 있다(Deligne & Mumford 1969).null

반안정성 곡선은 자동형 집단이 유한성이 아닌 환원성이 허용된다는 점을 제외하고(또는 동등하게 연결된 구성요소가 토러스일 수 있음) 유사한 조건을 만족하는 곡선이다.또는 최소 3 포인트에서 비성격적 이성적 구성 요소가 다른 구성 요소를 만족하는 조건은 최소 2 포인트에서 충족되는 조건으로 대체된다.null

마찬가지로 표시점 수가 유한한 곡선은 완전하고 연결되며, 특이점으로서 보통의 이중점만 가지고 있고, 유한한 자동형성군을 가지고 있으면 안정성이라 한다.예를 들어 타원곡선(점 1이 표시된 비성어속 1곡선)은 안정적이다.null

복잡한 숫자에 걸쳐, 연결된 곡선은 모든 단수점과 표시점을 제거한 후에 모든 구성요소의 범용 커버가 장치 디스크에 이형성인 경우에만 안정적이다.null

정의

임의 체계 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$과 $설정{\displaystyle }$ g ${\displaystyle \ge }$ 2 ${\displaystyle g\$$g$\$geq$ 2$}$을(를) 지정했을 때, $S$$${\$displaysty S$$}$에 대한 안정적인 속 g 곡선은 적절한 평면 형태론${\displaystyle }\pi {\displaystyle }$ :${\displaystyle C}$ → ${\displaystyle S}$ ${\$$$$C{\displaystyle {}_{}}$$}$로 정의되어$$ 기하학적 섬유가 감소되고 ${\displaystyle {있다}_{}}$.${{s}}$ 그런$$ 것.

1. ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$에는 일반적인 이중 점 특이점만 있음$$
2. 모든 합리적인 구성 요소 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$이(가) $2개{\displaystyle \mathrm{}}$ 이상의 ${\displaystyle 2}$개 이상의 지점에서$$ 다른 구성 요소 충족$$
3. ${\dim H^{1}({\mathcal {O}_{C_{s}}})=g}$

(1) 기술적 복잡성을 감소시키기 때문에(또한 여기서 피카르-렙체츠 이론을 사용할 수 있다), (2) 나중에 시공된 모듈리 스택의 극소 자동화 현상이 없도록 곡선을 경화하며, (3) 모든 섬유질의 산술 속은 동일하다는 것을 보증하기 때문에 이러한 기술적 조건이 필요하다.(1)의 경우 타원 표면에서 발견되는 특이점 유형은 완전히 분류될 수 있다.null

예

안정적인 곡선 계열의 고전적인 예로는 웨이어스트라스 곡선 계열이 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \좌측({\frac {\\\mathb {Q}[t][x,y,z]}{(y^{2}z)(x-tz)}}\우측)\\\downarrow \\operatorname {Spec}(\mathb {Q} [t])\end{{11}}}$

여기서 모든 점${\displaystyle 0}$ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \neq$0.1$}$에 걸친 섬유는 매끄러우며$$, 퇴보된 점에는 하나의 이중 점 특이점만 있다.이 예는 부드러운 과대망상 곡선의 1-모수 계열의 경우 미세하게 많은 점에서 퇴보하는 경우에 일반화할 수 있다.null

비예시

일반적으로 두 개 이상의 모수가 있는 경우 이중 점 특이점보다 나쁜 곡선을 제거하기 위해 주의를 기울여야 한다.예를 들어 ${\displaystyle {}_{}^{}}$으로 구성된 A$$ $s{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$, ${\displaystyle t_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$의 패밀리를 고려하십시오.

${\displaystyle y^{2}=x(x-s)(x-t)(x-1)(x-2)}$

대각선 $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle t}$ ${\displaysty s=t}$을(를) 따라 이중 점이 아닌 특이치가 있기$$ 때문이다.또 다른 비예는 다항식이 $부여$한 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ t 1 ${\$이상의 패밀리다.

${\displaystyle x^{3}-y^{2}+t}$

타원형 곡선의 가족으로서, 이 곡선은 이성적인 곡선으로 변하며, 이 곡선은 끝이 있다.null

특성.

안정곡선의 가장 중요한 특성 중 하나는 국소적인 완전 교차점이라는 사실이다.이는 표준 세레-이중성 이론을 사용할 수 있음을 시사한다.In particular, it can be shown that for every stable curve ${\displaystyle \omega _{C/S}^{\otimes 3}}$ is a relatively very-ample sheaf; it can be used to embed the curve into ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{5g-6}}$. Using the standard Hilbert Scheme theory we can construct a moduli scheme of c$일부{\displaystyle }$ 투영 공간에 내장된$$ g ${\displaystyle g}$ 속주.Hilbert 다항식은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}$

힐버트 계획에는 안정된 곡선의 하위구조가 들어 있다.

${\displaystyle H_{g}\subset {\textbf {Hilb}_{\mathb {P} _{\mathb {Z}^{5g-6}^{P_{g}}}}}}}}$

이것은 functor를 나타낸다.

${\displaystyle {\mathcal{M}_{g}(S)\cong \왼쪽.\left\{{\begin{matrix}&{\text{stable curves }}\pi :C\to S\\&{\text{ with an iso }}\\&\mathbb {P} (\pi _{*}(\omega _{C/S}^{\otimes 3}))\cong \mathbb {P} ^{5g-6}\times S\end{matrix}}\right\}{\Bigg /}{\sim }\right.\cong \operatorname {Hom}(S,H_{g})}$

여기서${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \sim}$은(는) 안정적인 곡선의 이형성이다.이것을 임베딩(프로젝티브 공간의 이형성에 의해 인코딩됨)과 관계 없이 곡선의 모듈리 공간을 만들기 위해 ${\displaystyle \mathrm{우리}}$는 ${\displaystyle P\mathrm{G}}$ L${\displaystyle (5}$ ${\displaystyle \mathrm{g}}$ - 6$){\displaystyle PGL(5g-6)}$로 변조해야 한다$.$이것은 우리에게 모듈리 스택을 준다.

${\displaystyle {\mathcal{M}_{g}:=[{\underline{H}_{g}/{\underline {PGL}(5g-6)]}$

참고 항목

• 대수곡선의 모둘리
• 안정적 곡선 지도

참조

• 아르틴, M.; 윈터스, G. (1971-11-01)"섬유 분해 및 곡선의 안정적 감소"위상. 10 (4): 373–383. doi:10.1016/0040-9383(71)90028-0.ISSN 0040-9383.
• Deligne, Pierre; Mumford, David (1969), "The irreducibility of the space of curves of given genus", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 36 (36): 75–109, CiteSeerX 10.1.1.589.288, doi:10.1007/BF02684599, MR 0262240, S2CID 16482150
• Gieseker, D. (1982), Lectures on moduli of curves (PDF), Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics and Physics, vol. 69, Published for the Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, ISBN 978-3-540-11953-1, MR 0691308
• Harris, Joe; Morrison, Ian (1998), Moduli of curves, Graduate Texts in Mathematics, vol. 187, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98429-2, MR 1631825