나가타의 곡선에 대한 추측

수학에서, 나가타 마사요시의 이름을 딴 곡선에 대한 나가타 추측은 평면 대수 곡선이 규정된 다중도로 매우 일반적인 점들의 집합을 통과하는 데 필요한 최소 정도를 지배합니다.

역사

나가타는 어떤 필드 k에 대한 다항식 고리 k[x₁, ..., x_n]에 대한 선형 그룹 작용의 불변 고리가 유한하게 생성되는지 묻는 힐베르트의 14번째 문제에 대한 작업을 통해 추측에 도달했습니다. 나가타는 1959년 미국 수학 저널에 이 추측을 발표했는데, 그는 힐베르트의 14번째 문제에 대한 반례를 제시했습니다.

진술

나가타 추측. p₁, ..., p가_r P에서² 매우 일반적인 점이고 m₁, ..., m이_r 양의 정수로 주어졌다고 가정하자. 그렇다면 r > 9인 경우, 다중도_i m을 갖는 각 점_i p를 통과하는² P의 곡선 C는 다음을 만족해야 합니다.

${\displaystyle \deg C>{\frac {1}{\sqrt {r}}}\sum _{i=1}^{r}m_{i}.}$

컨디셔너 > 9가 필요합니다. 경우 r > 9 및 r ≤ 9는 r개의 점들의 집합에서 P의² 블로우업에 대한 항-정규 번들이 nef인지 여부에 따라 구별되는 것을 특징으로 하는 방법. r ≤ 9인 경우, 원뿔 정리는 기본적으로 평면의 블로우업의 곡선 원뿔에 대한 완전한 설명을 제공합니다.

현황

이것이 성립한다고 알려진 유일한 경우는 r이 완전 제곱일 때인데, 나가타에 의해 증명되었습니다. 많은 관심에도 불구하고, 다른 사례들은 여전히 열려 있습니다. 이 추측의 보다 현대적인 공식은 종종 세샤드리 상수의 관점에서 제공되며 나가타-비란 추측이라는 이름으로 다른 표면에 일반화되었습니다.

참고문헌

• Harbourne, Brian (2001), "On Nagata's conjecture", Journal of Algebra, 236 (2): 692–702, arXiv:math/9909093, doi:10.1006/jabr.2000.8515, MR 1813496.
• Nagata, Masayoshi (1959), "On the 14-th problem of Hilbert", American Journal of Mathematics, 81 (3): 766–772, doi:10.2307/2372927, JSTOR 2372927, MR 0105409.
• Strycharz-Szemberg, Beata; Szemberg, Tomasz (2004), "Remarks on the Nagata conjecture", Serdica Mathematical Journal, 30 (2–3): 405–430, hdl:10525/1746, MR 2098342.