이성함수

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수학에서 이성 함수는 이성 분수에 의해 정의될 수 있는 어떤 함수로서, 이것은 분자와 분모가 모두 다항식일 정도로 대수적인 분수다. 다항식의 계수는 합리적 숫자가 될 필요는 없으며, 어떤 필드 K에서도 측정할 수 있다. 이 경우 K에 대한 이성적 함수와 이성적 분수를 말한다. 변수 값은 K를 포함하는 모든 필드 L에서 취할 수 있다. 그러면 함수의 영역은 분모가 0이 아닌 변수의 값 집합이고, 코도메인은 L이다.

필드 K에 대한 합리적인 함수 집합은 필드, 즉 K에 대한 다항 함수의 링 분율 필드다.

정의들

$함수{\displaystyle }$f (${\displaystyle x}$ )$${\$displaystyle f(x)}$은 양식에 쓸 수 있는 경우에만 합리적인 함수라고 한다$$.

${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}}$

여기서 $P{\displaystyle }$ ${\$ $P$$\,}$ 및$$ $Q{\displaystyle }$ ${\$ $Q$$\,}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\$ x$\,}$의 다항식 함수이며, $Q$ ${\$은(는) 영 함수가 아니다$$. $f{\displaystyle }$ ${\$의 도메인은 x ${\$의 모든 값의 집합이며$$, 여기서$$ 분모 $Q{\displaystyle (x}$ ${\displaystyle )}$ ${\$ Q$(x)\,}$은 0이 아니다$$.

However, if ${\displaystyle \textstyle P}$ and ${\displaystyle \textstyle Q}$ have a non-constant polynomial greatest common divisor ${\displaystyle \textstyle R}$, then setting ${\displaystyle \textstyle P=P_{1}R}$ and ${\displaystyle \textstyle Q=Q_{1}R}$ produces a rationai 기능

${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}},}$

$f{\displaystyle }$${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x$보다 큰 도메인을 가질 수 있으며 f${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) .${\displaystyle f(x$)의 도메인에서$$ $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f$$($x$)}$과 같다$.$$}}$ $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$ 및 ${\displaystyle f_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f_{1}(x)}$을(를) 식별하는 것이$$ 일반적인 사용법이며$,$ 이는 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystystyle$ f$(x)}$의 도메인을 ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle }$) . ${\displaysty f_{1}(x$)로$$ 확장하는 것이다$.$$}$ Indeed, one can define a rational fraction as an equivalence class of fractions of polynomials, where two fractions ${\displaystyle {\frac {A(x)}{B(x)}}}$ and ${\displaystyle {\frac {C(x)}{D(x)}}}$ are considered equivalent if ${\displaystyle A(x)$$D(x)=B(x)C(x)}$. In this case ${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$ is equivalent to ${\displaystyle {\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}}$.

적절한 합리적인 함수는 $P{\displaystyle }$( x$){\displaystyle P($${\displaystyle x}$$)}$의 $정도$가 Q${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$${\displaystyle }$) ${\displaystyle Q(x)}$보다 적고$$ 둘$$ 다 $실제{\displaystyle \mathbb{}}$ 다항식인 것으로, Q$${\$displaystyle \mathb {Q$^[1]의 적절한 분수에 비유하여 명명된 것이다.

정도

합리적인 함수의 정도에는 몇 가지 등가하지 않은 정의가 있다.

가장 일반적으로 합리적인 함수의 정도는 구성되는 다항식 P와 Q의 각도의 최대치로, 분율이 가장 낮은 항으로 축소된다. f의 정도가 d라면 방정식은

${\displaystyle f(z)=w\,}$

두 개 이상의 해법이 일치하거나 무한대에서 일부 해법이 거부되는 w의 특정 값(분모를 제거한 후 방정식의 정도가 감소하는 경우)을 제외한 d 구별 해법이 z에 있다.

복잡한 계수의 경우 도 1을 갖는 합리적인 함수는 뫼비우스 변환이다.

합리적인 함수의 그래프의 정도는 위에서 정의한 정도가 아니다: 분자의 최대 정도와 1+분모의 정도를 더한 것이다.

점증적 분석과 같은 일부 맥락에서 합리적인 함수의 정도는 분자의 정도와 분모의 차이다.

네트워크 합성 및 네트워크 분석에서 도 2의 합리적 함수(즉, 기껏해야 2의 다항식 2의 비율)를 종종 이차함수라고 한다.^[2]

예

이성적 함수

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}}$

정의되지 않음

${\displaystyle x^{2}=5\왼쪽 화살표 x=\pm {\sqrt {5}.}$

$x{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$ $x{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle$ x$\to \ft.}$에 증상이 없다.

이성적 함수

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}}$

x가 -${\displaystyle 1}${\$displaystyle -1}$의 제곱근($$즉, 가상 단위 또는 음수)인 경우 공식 평가가 0으로 분할되기 때문에 모든 실제 숫자에 대해 정의되지만 모든 복잡한 숫자에 대해서는 정의되지 않는다.

${\displaystyle f(i)={\frac {i^{2}+2}+2}{i^{2}+1}={\frac {-1+2}}={-1+1}={\frac {1}{0},}$

정의되지 않은 것.

상수는 다항식이기 때문에 f(x) = π과 같은 상수함수는 합리적인 함수다. f(x)의 값이 모든 x에 대해 비합리적임에도 불구하고 함수 자체는 합리적이다.

Every polynomial function ${\displaystyle f(x)=P(x)}$ is a rational function with ${\displaystyle Q(x)=1.}$ A function that cannot be written in this form, such as ${\displaystyle f(x)=\sin(x),}$ is not a rational function. 그러나 형용사 "비합리적"은 일반적으로 함수에 사용되지 않는다.

${\displaystyle 합리적}$인 함수 $f{\displaystyle (}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\$은(는) 탈착 가능한 특이점이 있는 0을 제외한 모든 x에 대해 1과 같다$$. 두 개의 합리적인 함수의 합, 제품 또는 지수(다항식 0으로 나눈 것을 제외한다)는 것 자체가 이성적인 함수다. 그러나, 표준형식으로의 감소 과정은 주의를 기울이지 않는 한 부주의로 그러한 특이점을 제거하는 결과를 초래할 수 있다. x/x는 1/1과 같기 때문에 이성 함수의 정의를 동등성 클래스로 사용하는 것이 이에 해당한다.

테일러 시리즈

어떤 합리적인 함수의 테일러 계열의 계수는 선형 재발 관계를 만족시키는데, 이는 이성적 함수를 불확실한 계수를 가진 테일러 계열과 동일시하고 분모를 지운 후 유사 항을 취합하면 찾을 수 있다.

예를 들어,

${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\inflt }a_{k}x^{k}.}$

분모에 의한 곱하기와 분배,

${\displaystyle 1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infit }a_{k}x^{k}}}}}}}$

${\displaystyle 1=\sum _{k=0}^{}a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{k=0}{k+1}+1}\sum _{k=0}^{k=0}{k}^{k}}.}$

x의 같은 힘을 얻기 위해 합계의 지수를 조절한 후에 우리는

${\displaystyle 1=\sum _{k=2}^{}a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{k=1}{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{k=0}{k}^{k}}}}.}$

같은 항을 조합하면 얻을 수 있다.

${\displaystyle 1=2a_{0}+(2a_{1}-a_{0}x+\sum _{k=2}^{{k-2}-a_{k-1}+2a_{k}x^{k}.}$

이것은 오리지널 테일러 시리즈의 수렴 반경에 있는 모든 x에 해당하기 때문에, 우리는 다음과 같이 계산할 수 있다. 왼쪽의 상수 항은 오른쪽의 상수 항과 같아야 하므로 다음과 같다.

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}.}$

그러면 왼쪽에는 x의 힘이 없기 때문에 오른쪽의 계수는 모두 0이어야 하고, 그 다음부터는 0이 되어야 한다.

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{1}{1}:{2}}(a_{k-1}-a_{k-2}}:\text{for}}\k\geq 2.}$

반대로, 선형 재발을 만족하는 순서는 테일러 시리즈의 계수로 사용될 때 합리적인 함수를 결정한다. 부분분수분해법을 사용하면 적절한 합리적 함수를 형태 1 / (ax + b)의 요인의 합으로 작성할 수 있고 이를 기하학적 직렬로 확장하여 테일러 계수에 대한 명시적 공식을 제공할 수 있기 때문에 이러한 반복을 해결하는 데 유용하다.

추상 대수학 및 기하학적 개념

추상 대수학에서 다항식의 개념은 모든 분야에서 다항식의 계수를 취할 수 있는 공식 식을 포함하도록 확장된다. 필드 F와 일부 불확실한 X가 주어진 이 설정에서 합리적인 표현은 다항 링 F[X]의 분수 영역의 어떤 요소다. 어떤 합리적인 표현도 Q ≠ 0으로 두 다항식 P/Q의 인수로 쓸 수 있지만, 이 표현은 독특하지는 않다. P/Q는 다항식 P, Q, R, S의 경우 PS = QR일 때 R/S와 동등하다. 단, F[X]는 고유한 인자화 영역이기 때문에 P와 Q의 다항식 P/Q가 가장 낮은 정도와 단조로 선택되는 Q를 갖는 어떤 합리적인 표현 P/Q에 대해서도 독특한 표현이 있다. 이는 공통 요소를 취소하여 정수의 일부분을 항상 가장 낮은 용어로 고유하게 작성할 수 있는 방법과 유사하다.

이성적 표현 분야는 F(X)로 표시된다. F(X)는 F와 X 요소를 모두 포함하는 적절한 하위 필드를 포함하지 않기 때문에 이 필드는 (초월적 요소) X에 의해 F에 걸쳐 생성된다고 한다.

복합적 이성적 기능

• 줄리아는 이성적인 지도를 찾는다.
• 

  ${\displaystyle {\frac {1}{az^{5}+z^{3}+bz}}}}$

• 

  ${\displaystyle {\frac {1}{z^{3}+z(-3-3i)}}}}}$

• 

  ${\displaystyle {\frac {z^{2}-0.2+0.7i}{z^{2}+0.917}}}$

• 

  ${\displaystyle {\frac {z^{2}}{z^{9}-z+0.025}}}$

복잡한 분석에서 합리적인 함수는

${\displaystyle f(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}}}}$

복합 계수가 있는 두 다항식의 비율이다. 여기서 Q는 0 다항식이 아니며 P와 Q는 공통 요인이 없다(이는 불확정 값 0/0을 가져가지 않는다).

${\displaystyle f}$의 영역은 $Q{\displaystyle }$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ne }$ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ Q$(z)\neq$ 0$,}$과 같은 복잡한 숫자의 집합이며$$, 그 $범위$는${\displaystyle }$P (${\displaystyle z}$ ) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle W}$(${\displaystyle z}$) .$${\$displaystyle P(z)\neq wQ(z)}$과 같은 복잡한 숫자의 집합이다.

모든 이성적 함수는 자연스레 리만 구 전체(복잡한 투사선)인 영역과 범위가 있는 함수로 확장될 수 있다.

합리적인 함수는 용적함수의 대표적인 예다.

Riemann 구체에 대한 합리적인 기능(^[3]맵)의 반복은 이산 동적 시스템을 생성한다.

대수적 다양성에 대한 합리적인 함수의 개념

다항식처럼 F(X₁, ..., X_n)로 표기된 F[X₁, ..., X_n]의 분수 필드를 취함으로써 X₁, ..., X를_n 구분하지 않는 합리적인 표현도 일반화할 수 있다.

합리적 함수의 추상적 개념의 확장된 버전이 대수 기하학에서 사용된다. 거기서 대수적 품종 V의 함수 필드는 V의 좌표 링의 분수 필드(V에 설정된 자리스키-덴스 아핀의 보다 정확히 말하면)로 형성된다. 그것의 원소 f는 비어 있지 않은 오픈 세트 U에서 대수 기하학 기하학의 의미에서 정규 함수로 간주되며, 투영 선에 대한 형태론으로도 볼 수 있다.

적용들

합리적인 함수는 보간과 함수의 근사치를 위한 수치 해석에 사용되는데, 예를 들어 앙리 파데가 도입한 파데 근사치를 들 수 있다. 합리적인 기능의 측면에서 근사치는 컴퓨터 대수 시스템과 다른 수치 소프트웨어에 잘 적합하다. 다항식처럼 직설적으로 평가할 수 있는 동시에 다항식보다 더 다양한 행동을 표현한다.

합리적 함수는 물리학의 분야와 힘, 분석화학에서의 분광학, 생화학에서의 효소 운동학, 전자회로학, 공기역학, 생체내에서의 약농도, 원자와 분자를 위한 파동 함수, 광학 및 사진 등 과학과 공학에서 보다 복잡한 방정식을 대략적으로 또는 모형화하기 위해 사용된다.이미지 해상도, 음향 및 소리를^{[citation needed]} 입증한다.

신호 처리에서, 무한충동 응답을 가진 공통으로 사용되는 선형 시간 변이 시스템(필터)의 충동 응답의 라플라스 변환(연속 시스템의 경우) 또는 z 변환(이연속 시간 시스템의 경우)은 복잡한 숫자에 걸쳐 합리적인 기능이다.

참고 항목

• 분수장
• 부분분수분해
• 적분 부분분수
• 대수종류의 함수장
• 대수적 분수 – 정수 뿌리를 내릴 수 있는 합리적인 함수의 일반화

참조

• "Rational function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P. (2007), "Section 3.4. Rational Function Interpolation and Extrapolation", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

외부 링크

• JSXGraph를 이용한 합리적 기능의 동적 시각화