대수곡선의 모둘리

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대수 기하학에서 (알제브라틱) 곡선의 모듈리 공간은 기하학적 공간(일반적으로 도식 또는 대수적 스택)으로, 점들이 대수곡선의 이형성 등급을 나타낸다.이것은 모듈리 공간의 특별한 경우다.고려된 대수곡선의 등급에 적용되는 제한에 따라 해당 모듈리 문제와 모듈리 공간이 다르다.같은 모듈리 문제에 대해서도 미세한 모듈리 공간과 거친 모듈리 공간을 구분한다.null

가장 기본적인 문제는 고정된 속들의 매끄러운 완전한 곡선의 모듈리의 문제다.복합수 분야에 걸쳐 이것들은 주어진 속성의 컴팩트한 리만 표면과 정확하게 일치하며, 이 표면에 대해 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)은 모둘리 공간, 특히 그 치수("복잡한 구조가 의존하는 매개변수 수")에 대한 첫 번째 결과를 입증했다.null

안정적인 곡선의 모듈리 스택

$stack$ M g {\displaystyle${\mathcal{M}_{g$}}는 부드러운 투영 곡선 패밀리와 이형성을 분류한다$$.> ${\displaystyle g>1$일 때, 이 스택은 안정적인 결절 곡선에 해당하는 새로운 "경계" 점을 추가함으로써 압축될 수 있다(이형성과 함께).곡선은 완전하고, 연결되고, 이중 점 외에 특이점이 없으며, 유한한 자동모형 그룹만 있으면 안정적이다.결과 스택은 $M$의${\displaystyle {\stackrel{}{}g}_{}}$ ${\$로 표시되며$,$ 두 모듈리 스택 모두 곡선의 범용 패밀리를 운반한다.null

둘 다 서고 위에 있었고;따라서 안정된 절점 곡선 완전히 3g의 값을 선택하여 지정할 수 있치수 3g− 3{3g-3\displaystyle}이 있− 낮은 속에서는, 한 automorphisms의 원활한 가족의 존재를 위해,를 빼면 고려해야 한다 3{3g-3\displaystyle}매개 변수, g1{\displaystyle g> 1}.. 그들의숫자. 0 속, 리만 구체의 복잡한 곡선이 정확히 하나 있으며, 그 집단은 PGL(2)이다.따라서 $M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$의 치수는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle {\begin}\dim({\text{space of 0 curve})-\dim({\text{group of aomotifics})&=0-\dim(\mathrm {PGL} (2)\&=-3)\end{정렬}}}$

마찬가지로 제1속에서도 곡선의 1차원 공간이 존재하지만, 그러한 곡선마다 1차원 자동화 그룹이 있다.따라서 스택 $M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ ${\$1}의 치수는 0이다$$.

시공 및 재확보 불가능

모듈리 스택 $M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$이(가) 수정할 수 없다는 것을 피에르 들랭과 데이비드 뭄포드가 입증한 비견적 정리인데, 이는 두 개의 적절한 서브스크립션의 결합으로 표현할 수 없다는 뜻이다.^[1]Hilbert 체계에서 안정적인 곡선의 로커스$$ $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$를 분석하여 이를 증명한다.

${\displaystyle \mathrm {Hilb} _{\mathb {P}^{5g-5-1}^{P_{g}(n)}}}}}$

of tri-canonically embedded curves (from the embedding of the very ample ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$ for every curve) which have Hilbert polynomial ${\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}$ (note: this can be computed using the Riemann–Roch theorem).그럼, 그 스택

${\displaystyle [H_{g}/\mathrm {PGL}(5g-6)]}$

moduli ${\displaystyle {space}_{}}$M g {\$displaystyle$ {\$mathcal {M}$_$\{$$g}}$의 구성. 변형 이론을 사용하여^{section 1} Deligne와 Mumford는 이 스택이 매끄러우며 스택을 사용한다.

${\displaystyle \matrm {Isom} _{S}(C,C')}$

${\displaystyle M_{}}$ g ${\$이(가) 유한 안정제를 가지고$$ 있으므로 Deligne-Mumford 스택(그들의 논문 이름을 따서 명명됨)이다.또한 H ${\displaystyle g_{}}$ ${\$의 층화를 다음과 같이$$^{section 3} 발견한다.

${\displaystyle H_{}^{}}$ ${\displaystyle g_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$o ${\displaystyle o_{}}$ h g${\displaystyle {}_{}}$, 1${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle \coprod }$ ${\displaystyle H_{}}$ g${\displaystyle {}_{}}$, n ${\$ \$coprod$ H_${g,n$},n$}$.

, where

• ${\displaystyle H_{}^{}}$ ${\displaystyle g_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$은(는) 매끄러운 안정곡선의 하위체임,
• ${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$, ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$= H ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}{}_{}^{}}$ ${\$의 수정 불가능한 성분이다$.$

$M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle g_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= H ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 0${\displaystyle {}_{}^{}}$/ P ${\displaystyle \mathrm{G}}$ L (${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \mathrm{g}}$- ${\displaystyle 6}$ $){\displaystyle {\mathcal$ {$M}_{g}^{0}=$의 성분을 분석한다.$H_{g}^{0}/\mathrm {PGL}(5g-6)}($GIT 지수로).$만약{\displaystyle {}_{}^{}}$ H ${\displaystyle g_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 여러 구성 요소가 존재한다면, 그 중 어느 것도 완전하지 않을 것이다$.$$또한{\displaystyle {}_{}}$ H ${\displaystyle g_{}}$ ${\$의 모든 성분은 비성곡선을 포함해야 한다$$.따라서 단수 locus $∗{\$ S$^{*}}$이 연결되어$$ 있어 H ${\displaystyle g_{}}$ ${\$의 단일 성분에 포함되며$,$ 나아가 모든 성분은 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ S$^{*}}$과 교차하기 때문에 모든 성분은 단일 성분에 포함되어야 하므로 거친 공간 ${\displaystyle {HG}_{}}$가 된다.${\displaystyle H_{g}}$은(는) 수정할 수 없다.대수적 스택의 일반 이론에서 이는 스택 지수 ${\displaystyle M_{}}$ $g{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$은(는) 다시 계산할 수 없음을 의미한다$$.null

적정성

오비폴드에 대한 적정성, 즉 콤팩트성은 곡선의 안정적 감소에 대한 정리에서 따온 것이다.^[1]이는 아벨 품종의 안정적 감소에 관한 그로텐디크의 정리를 통해 확인할 수 있으며, 곡선의 안정적 감소에 대한 동등성을 보여준다.^{[1]section 5.2}null

거친 모듈리 공간

또한 부드럽고 안정적인 곡선의 이형성 계급을 나타내는 거친 모듈리 공간도 고려할 수 있다.이러한 거친 모듈리 공간은 모듈리 스택의 개념이 도입되기 전에 실제로 연구되었다.사실, 모듈리 스택에 대한 아이디어는 Deligne와 Mumford에 의해 거친 모듈리 공간의 투영성을 증명하기 위한 시도로 도입되었다.최근 몇 년 동안, 곡선의 스택이 실제로 더 근본적인 물체라는 것이 명백해졌다.null

모듈리 공간은 g> 1 ${\displaystyle g>1}$의 스택과 같은 치수를 가지지만 속 0에서는 거친 모듈리 공간이 치수 0을 가지며, 속 1에서는 치수 1을 가진다.null

하위 속 모듈리 공간의 예

속 0

변형 이론을 사용하여 0$$속 {\$displaystyle$ 0$$$}$ 곡선의 모듈리 공간의 지오메트리를 결정할 수 있다.속 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$ 곡선에$$ 대한 모듈리의 수(예: ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$는 코호몰로지 그룹에 의해 주어진다.

${\displaystyle H^{1}(C,T_{C})}$

세레의 이중성을 가진 이 코호몰로지 집단은 에 대해 이형성적이다.

${\displaystyle {\reasoned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,\omega _{C}\otimes T_{C}^{\vee }}\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes }}}}}}}}}}).$

for the dualizing sheaf ${\displaystyle \omega _{C}}$. But, using Riemann-Roch shows the degree of the canonical bundle is ${\displaystyle -2}$, so the degree of ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 2}}$ is ${\displaystyle -4}$, hence there are no global sections, meaning

${\displaystyle H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2)=0}$

$0{\displaystyle \mathrm{}}$ 속 ${\displaystyle 0}$ 곡선의$$ 변형이 없음을 나타낸다.이는 M ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$이(가) 하나의$$ 점일 뿐이며, 유일한 속 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$ 곡선은$$ P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}에 의해 주어진다$.$유일한 기술적 난이도는 P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 자동모형 그룹으로서$$ 대수적 그룹 ${\displaystyle \text{PGL}}$(${\displaystyle 2\mathbb{}}$, Z$){\displaystyle${\$text}$이다${\displaystyle .}$${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$$}}(2,\mathb {Z}$)은$$$P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 1 ${\$1}에$$한 번 세 점을^[2] 경화하므로 대부분의$$ 저자는 M ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$$mathcal${$M}_{$$0}}}$을 의미하는 $M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$을 취한다$.$

속1길

속 1의 경우는 타원곡선의 이형성 등급이 J-invariant에 의해 분류되기 때문에, 적어도 복잡한 숫자에 걸쳐 모듈리 공간의 첫 번째 잘 이해된 사례 중 하나이다.

${\displaystyle j:{\mathcal {M}_{1,1} _{\mathb {C}}\to \mathb {A} _{\mathb {C}}^{1}}}}}$

where ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1} _{\mathbb {C} }={\mathcal {M}}_{1,1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$. Topologically, ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1} _{\mathbb {C} }}$ is just the아핀 선(appine line) ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ 무한대에 안정된 곡선을 추가하여 기초$$ 위상학적 공간 P $C{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}^{}}$ ${\$}을 가진 스택으로 압축할 수 있다.이것은 하나의 첨단을 가진 타원곡선이다.${\displaystyle \text{스펙}(Z\mathbb{}}$ )${\displaystyle {\text{Spec}(\mathb {Z} )}$을(를) 통한 일반 케이스의 구축은 원래 Deligne와 Rapoport에 의해 완료되었다$$.^[3]null

대부분의 저자들은 가상의 모듈리 공간 M ${\$의 스태빌라이저 그룹이${\displaystyle }$[${\displaystyle C}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M_{\mathrm{}}}$ 1 ${\$}에 스태빌라이저 그룹이 있기$$$$ 때문에 한 점이 표시된 속 하나의 곡선의 경우를 그룹의 원점으로 간주한다.e 곡선, 타원형 곡선은 아벨 그룹 구조를 가지기 때문에.이것은 이 가상의 모듈리 공간에 불필요한 기술적 복잡성을 더한다.한편, $M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$,${\displaystyle 1_{}}$ ${\$은(는) 부드러운 딜린-맘포드 스택이다.null

속2길

아핀 매개변수 공간

제2속에서는 그러한 곡선이 모두 과대망상적이어서 리만-을 이용하여 곡선의 가지 위치로부터 모듈리 공간을 완전히 결정할 수 있다는 것이 고전적인 결과물이다.[4]^{pg 298}허위츠 공식.임의의 속 2 곡선은 형태의 다항식(다항식)에 의해 주어지기 때문에

${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-a)(x-b)(x-c)}$

일부 고유하게 정의된 $a{\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$의$$경우 해당 곡선에 대한 파라미터 공간은

${\displaystyle \mathb {A}^{3}\setminus (\Delta _{a,b}\컵 \Delta _{b,c}),}$

여기서 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 locus i${\displaystyle j}$ j ${\displaystyle i\neq$ j$}$에 해당한다$.$^[5]

가중 투영 공간

가중 투영 공간 및 리만-허위츠 공식, 과대망상곡선(hyperelliptic curve)은 형태의^[6] 다항식(다항식)이라고 표현할 수 있다.

${\displaystyle z^{2}=ax^{6}+bx^{5}+bx^{5}y^{2}+dx^{3}y^{3}+ex^{2}y^{4}+fxy^{5}+xy^{6}}}$

여기서 $a{\displaystyle }$,${\displaystyle }$,${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a,\ldots ,f}$은(는) $\gamma {\displaystyle \mathrm{}(P\mathbb{}}$( ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 1\mathcal{}}$)${\displaystyle }$, O${\displaystyle }$(${\displaystyle }$)${\displaystyle \Gamma (\mathb {P} (3,1$) $,{\mathcal {O}(g)}$의 섹션에 대한 매개 변수다$.$그런 다음, 3중근을 포함하지 않는 섹션의 위치에는 점${\displaystyle }$[${\displaystyle C}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$}}개의 점으로 표시되는$$ 모든 곡선 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$을(를) 포함한다$.$

속3길

이것은 초경량 중심과 비경량 중심부를 모두 가진 최초의 곡선 공간이다.^[7][8]비하이퍼렐립틱 곡선은 모두 4도(속성 공식 사용)의 평면 곡선에 의해 주어지며, 이 곡선은 하이퍼퍼페이스의 힐버트 구조에서 매끄러운 위치에 의해 파라미터로 지정된다.

${\displaystyle {\mathrm{H}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}^{}}$ l ${\displaystyle {\mathrm{b}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{\mathbb{}}^{}}_{}^{}}$ 2 ${\displaystyle {{\mathrm{}}^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle t_{}^{}}$ -${\displaystyle 4_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( 6 ${\displaystyle {\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{}}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ Hilb}$$_{\$mathb$ {$P} ^{2$}}^{$8t-4}\cong \mathb {P} ^{\binom {6}{4}:$1$\}\}.$

그런 다음, 모듈리 공간은 하위 랙에 의해 층화된다.

${\displaystyle {\mathcal{M}}_{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle \mathrm{P}}$ ${\displaystyle \mathrm{G}}$ ${\displaystyle \mathrm{L}}$( 3${\displaystyle }$)${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \coprod }$ M ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{h}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{p}}_{}^{}}$ ${\$ {\mathcal{$M}_{3}=[H_{2}/\mathrm {PGL} (3)]\coprod {\mathcal{M}}}}^{3$

혼성 기하학

통일성 추측

이전의 모든 경우에서 모듈리 공간은 일률적인 것으로 밝혀질 수 있는데, 이는 지배적인 이성적 형태주의가 존재한다는 것을 의미한다.

${\displaystyle \mathb{P} ^{n}--}{\mathcal{M}_{g}}}}$

그리고 이것이 모든 세대에게 사실일 것이라고 오랫동안 예상되었다.사실, 세베리는 이것이 최대 $10개의 제네릭$에 대한 사실임을 증명했다$.$^[9]그러나 속 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 23}$ ${\displaystyle g\geq$ 23$}$의 경우 그러한 모든$$^[10][11][12] 모듈리 공간은 일반적인 유형이며, 이는 단합성이 없다는 것을 의미한다.그들은 거친 모둘리 공간의 고다이라 치수를 연구함으로써 이것을 성취했다.

${\displaystyle \kappa _{g}=\mathrm {Kod}({\overline {\mathcal {M}_{g}),}$

$g{\displaystyle }$ ${\displaystyle 23}${\$displaystyle$ g$\$$geq$ $23}$에 대해$}$ g > 0 {\displaystyle $\$$cappa _$${g$}}을(를) $발견$했다$.$ 사실 > ${\displaystyle g>23}$에 대해서는

${\displaystyle \kappa _{g}=3g-3=\dim({\mathcal{M}_{g}),}$

따라서 $M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$ {M$}_{g$}}은(는) 일반 유형이다$$.null

기하학적 함축성

이는 지배되는 품종의 선형 시스템이 범용 곡선 $C{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$을(를) 포함할 수 없음을 의미하므로 기하학적으로 유의하다$.$^[13]

$M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$의 경계 층화

moduli $공간{\displaystyle {\stackrel{}{\mathcal{}}}_{}}$ m${\displaystyle {\stackrel{}{}g}_{}}$ ${\$은${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$는) ${\displaystyle {단일}_{}}$ 속 g ${\$\partial$$ ${\\mathcal {\m}_{g}}$ 경계에서 자연적 층화가 이루어지며$$$$, 단일한 속 $g{\displaystyle }$ ${\displaysty g}$ 곡선을 나타낸다.^[14]그것은 층으로 분해된다.

${\displaystyle \mathrm{\partial }}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathcal{}}g}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}\underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{0\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\le }}$ ${\displaystyle \underset{}{h}}$ ${\displaystyle \underset{}{\le }}$ ${\displaystyle \underset{}{(g\mathrm{}}}$/ 2${\displaystyle \underset{}{}}$) ${\displaystyle \underset{}{}{\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle h_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$,

, where

• ${\displaystyle \Delta _{h}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{h}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g-h}}$ for ${\displaystyle 1\leq h<g/2}$.
• ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ∗ ≅ M${\displaystyle {\stackrel{}{}g}_{}}$ g${\displaystyle {}_{}}$-${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}{2}_{}}$ /${\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\displaystyle /2\mathrm{}}$ ) $\displaystyle$$\Delta _{0}^{*}\cong {\overline {\mathcal{M}}}$_{$g-1,2}/(\mathb {Z}/2)}.$
• ${\displaystyle \Delta _{g/2}\cong ({\overline {\mathcal {M}}}_{g/2}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g/2})/(\mathbb {Z} /2)}$ whenever ${\displaystyle g}$ is even.

이 위치 위에 놓여 있는 곡선은 다음과 같다.

• $C{\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ 곡선 쌍이 더블 포인트에 연결됨$$.
• $단일{\displaystyle }$ 이중 점 특이점에서 속 g ${\displaystyle g}$ 곡선의$$ 정규화.
• 순열까지 이중 점으로 연결된 같은 속성의 곡선 쌍.

$M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$ ${\$}}층 층화

속 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 2}$의 경우 다음과 같은 계층화가 있다.

∂ M¯ 2)Δ 0∗∐ Δ 1∗)M¯ 1,2/(Z/2)∐(M¯ 1×M¯ 1)/(Z/2){\displaystyle{\begin{정렬}\partial{\overline{{M\mathcal}}}_{2}&,=\Delta _{0}^{*}\coprod \Delta _{1}^{*}\\&, ={\overline{{M\mathcal}}}_ᆴ(\mathbb{Z}/2)\coprod({\overline.${\mathcal {M}_{1}\time {\overline {\mathcal {}_{1}/(\mathb {Z} /2)\end{aigned$

이러한 지층의 추가 분석을 통해 Chow ring $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ($){\displaystyle A^{*}({\overline {\mathcal {M}_{2})$의 생성기를 제공할 수 있다.$$^{[14]proposition 9.1}

표시된 곡선의 모듈리

또한 n개의 표시된 점이 있고 쌍으로 구별되며 노드와 구별되는 g노달 곡선의 모듈리 스택을 고려함으로써 문제를 풍부하게 할 수 있다.이러한 표시 곡선은 표시점을 고정하는 곡선 자동화의 부분군이 유한하면 안정적이라고 한다.The resulting moduli stacks of smooth (or stable) genus g curves with n marked points are denoted ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$ (or ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$), and have dimension ${\displaystyle 3g-3+n}$.

특히 관심 있는 사례는 모듈리 스택 $M{\displaystyle {\stackrel{}{\mathcal{}}1}_{\mathrm{}}}$,${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ 1개의 표시점을 가진 1개 속 곡선의 모듈리$$ 스택이다.이것은 타원형 곡선의 스택이다.레벨 1 모듈형 형태는 이 스택에 있는 라인 번들의 섹션이며 레벨 N 모듈형 형태는 레벨 N 구조를 가진 타원 곡선 스택에 있는 라인 번들의 섹션이다(대개 순서 N의 지점 표시).null

경계 기하학

그compactified moduli 공간의 중요한 속성 M¯ g, n{\displaystyle{\overline{{M\mathcal}}}_{g,n}}은 그들의 경계moduli 공간의 측면에서 설명될 수 있다 M¯ g속 g({\displaystyle{\overline{{M\mathcal}}}_{g',n의}}′<>g{\displaystyle g'<, g}.. 표시Ed, 안정적이고, 노달 곡선은 그 이중 그래프를 연관시킬 수 있다. 그래프는 음이 아닌 정수로 표시되고, 루프, 다중 에지 및 반음수까지 가질 수 있다.여기서 그래프의 정점들은 결절곡선의 불가해한 구성요소에 대응하고, 정점 라벨링은 해당 구성요소의 산술적 속이며, 가장자리는 곡선의 노드에 대응하고, 절반 에지는 표시에 대응한다.The closure of the locus of curves with a given dual graph in ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ is isomorphic to the stack quotient of a product ${\displaystyle \prod _{v}{\overline {\mathcal {M}}}_{g_{v},n_{v}}}$ of compactified moduli spaces of curves by a f무리의제품에서 꼭지점 v에 해당하는 인자는 라벨링 및 $표시{\displaystyle {}_{}}$ n ${\$에서 나온 속 g을_v v에서 나가는 에지 수와 반 에지 수와 동일하다$$.총 속 g는 g와_v 그래프에서 닫힌 주기의 수를 합한 것이다.null

Stable curves whose dual graph contains a vertex labelled by ${\displaystyle g_{v}=g}$ (hence all other vertices have ${\displaystyle g_{v}=0}$ and the graph is a tree) are called "rational tail" and their moduli space is denoted ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {r.t.$$\}\}\}\}\}.$ 이중 그래프가 나무인 안정된 곡선을 "compact type"이라 하고(Jacobian이 콤팩트하기 때문에), 모듈리 공간은 ${\displaystyle M_{}^{}}$ ${\displaystyle g_{,}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ .${\${{$M}}_{g,n}^{\mathrmethrm{$c$.\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$^[2]

참고 항목

• 표시된 곡선의 모듈리
• 비튼 추측
• 튜토리얼 링
• 그로텐디크-리만-로흐 정리

참조

고전적 참조 자료

• Grothendieck, Alexander (1960–1961). "Techniques de construction en géométrie analytique. I. Description axiomatique de l'espace de Teichmüller et de ses variantes" (PDF). Séminaire Henri Cartan. Paris. 13 (1). Exposés No. 7 and 8.

• Mumford, David; Fogarty, John; Kirwan, Frances Clare (1994). Geometric invariant theory (3rd enl. ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-56963-4. MR 1304906. OCLC 29184987.
• Deligne, Pierre; Mumford, David (1969). "The irreducibility of the space of curves of given genus" (PDF). Publications Mathématiques de l'IHÉS. 36: 75–109. CiteSeerX 10.1.1.589.288. doi:10.1007/bf02684599. S2CID 16482150.

곡선모듈리에 관한 책

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• Katz, Nicholas M; Mazur, Barry (1985). Arithmetic Moduli of Elliptic Curves. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08352-0.
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코호몰로지 및 교차로 이론

• Zvonkine, Dimitri (2012). "An introduction to moduli spaces of curves and their intersection theory". In Papadopoulos, Athanase (ed.). Handbook of Teichmüller Theory, Volume III (PDF). Zürich, Switzerland: European Mathematical Society Publishing House. pp. 667–716. doi:10.4171/103-1/12. ISBN 978-3-03719-103-3. MR 2952773.
• Faber, Carel; Pandharipande, Rahul (2013). Farkas, Gavril; Morrison, Ian (eds.). Tautological and non-tautological cohomology of the moduli space of curves (PDF). Handbook of moduli. Vol. I. Advanced Lectures in Mathematics (ALM). Vol. 24. Somerville, MA: International Press. pp. 293–330. ISBN 9781571462572. MR 3184167.

외부 링크

• "곡선 모듈리 공간의 지형 및 기하학"
• "안정적 지도, 그로모프 위튼 불변, 양자 코호몰로지"