바이에스트라스 타원함수

수학에서 Weierstrass 타원함수는 특히 단순한 형태를 취하는 타원함수다.그들은 칼 위어스트라스의 이름을 따서 지어졌다.이 등급의 함수는 fun-기능이라고도 하며, 일반적으로 독특한 화려한 문자 p인 기호 ℘으로 표시된다.그들은 타원함수 이론에서 중요한 역할을 한다.℘함수와 그 파생상품은 타원곡선을 매개변수화하는 데 사용될 수 있으며, 주어진 주기 격자와 관련하여 타원함수의 필드를 생성한다.null

정의

Let ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$ be two complex numbers that are linearly independent over ${\displaystyle \mathbb {R} }$ and let ${\displaystyle \Lambda :=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2$$}=\{m\omega _{1}+n\omega _{2$}:$m, n\in \mathb {Z} \}}}$은(는) 이 숫자에 의해 생성되는 격자다.그러면${\displaystyle \mathrm{}}$℘ ${\displaystyle \wp }$ -기능은$$ 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \cHB(z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp(z,\Lambda ):={\frac {1}{z^{2}}}+\sum \\in \lambda \smallsminus \{0\}}}\{\frac {1}{{{{1}}-\lambda ^{2}}\}\rig}\}\rig}\}\rig}\}\}\rig}\rig}\rig}\rig}\right}}$

This series converges locally uniformly absolutely in ${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \Lambda }$. Oftentimes instead of ${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2})}$ only ${\displaystyle \wp (z)}$ is written.null

Weierstrass${\displaystyle \mathrm{}}$ass ${\displaystyle \wp }$ - 기능은$$ 정확히 각 격자 지점에 순서 2의 폴이 있는 방식으로 구성된다.null

${\mathrm{합계}}^{}\underset{sum}{}$ $\underset{}{\mathrm{sum}}$ ∈ ($z$- ${}^{}$ )${}^{}$- 2 ${\$만 합치더라도$$ -${\mathrm{\lambda }}^{}$- 2 ${\$ $^\{-$^[1]$2}}.$

상단 하프 평면 { C: 임 ( z)> } ${\displaystyle {H:}=\z\in \mathb {C} :\operatorname {Im} (z)0\}$에서 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystystyle \}$을 래티스 생성기로 사용하는 것이 일반적이다.Dividing by ${\textstyle \omega _{1}}$ maps the lattice ${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$ isomorphically onto the lattice ${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$ with ${\textstyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\ome$$ga _{1}}}}$. Because ${\displaystyle -\tau }$ can be substituted for ${\displaystyle \tau }$, without loss of generality we can assume ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$, and then define ${\displaystyle \wp (z,\tau ):$$=\backslash$$properties (z,1$,\$tau )}$

동기

A cubic of the form ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3$$\}\backslash \}\backslash \}\}$$g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$g ${\displaystyle 3\mathbb{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ C ${\$ {$C}}$은(^[2]는) g ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{\mathrm{}}^{}}$ - ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}^{}}$ 3 ≠ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 0}$ {\$displaystyle$g_${2$}^{3}-$27g_{$3}^{2}^{$2}\neq$ 0$\}$을(으)하는 복잡한 숫자로 합리적으로 매개 변수를 지정할 수 없다.그러나 사람들은 여전히 그것을 매개 변수화하는 방법을 찾고 싶어한다.null

For the quadric ${\displaystyle K=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$, the unit circle, there exists a (non-rational) parameterization using the sine function and its derivative the cosine function:

${\displaystyle \psi \mathbb{}}$: R${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$→ K${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mapsto }$(${\displaystyle 죄}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \psi :\mathb {R} /2\pi \mathb {Z} \to K,\quad t\mapsto (\sin$ t$,\cos$ t$)}$.

사인 및 코사인 $R{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle Z}$의 주기성 때문에$\displaystyle \mathb {R}$ /$2\pi$\mathb {$Z}}$이(가) 도메인으로 선택되므로$$ 함수는 비주사적이다.null

유사한${\displaystyle {}_{}^{}}$ 방법으로${\displaystyle \mathrm{}}$C ${\displaystyle {g{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{\mathbb{}}^{{}_{}}}$, g ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{C\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ ${\$3}{}}{3}^{\$mathb$${C}}}}}}}}$의 파라미터화를 얻을 수 있다$("$장 $참조$).이 매개 변수화에는 토러스(torus)와 동일한 $도메인{\displaystyle \mathbb{}}$ C${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \lambda \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathb {$C} $/\Lambda }$이$($가) 있다.^[3]null

삼각함수에는 또 다른 유사점이 있다.통합 기능을 고려하십시오.

${\displaystyle a}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ d ${\displaystyle {}_{}^{}\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{}}}$- y ${\displaystyle \frac{\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}{}}$ ${\$0}{$x}{\frac$ {$dy}{\sqrt{1-y^{$2$\}\}\}\}\}.$

$y{\displaystyle }$= ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ t ${\displaystyle$ y$=\sin t}$ 및$$ $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle \arcsin }$ ⁡ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle }$ ⁡ { { { { { { { { $\displaysty s=\arcsin$ x$}$을 $대체$하면 단순화할 수 있다$.$

${\displaystyle a}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle t}$= s${\displaystyle }$= ${\displaystyle \arcsin }$ ${\displaystyle \mathrm{in}}$ ${\displaystyle x}${\$displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s$=s$=\arcsin x$ .

$즉{\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sin }$sin ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a^{-1}(x)=\sin$ x$\}.$ 따라서 사인함수는 적분함수의 역함수인 것이다.^[4]null

타원함수 또한 타원함수의 역함수, 즉 타원함수의 역함수다.특히$$way {\$displaystyle \wp }$ -기능은$$ 다음과 같은 방법으로 얻는다.

내버려두다

${\displaystyle u(}$ ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= -${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle z_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}\frac{\sqrt{\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{{3\mathrm{}}^{}}}{}}$ -${\displaystyle \frac{\sqrt{{}^{}{}_{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{{3\mathrm{}}_{}}}{}}$ - g 2 ${\displaystyle \frac{\sqrt{{s\mathrm{}}_{}}}{}}$ - g ${\displaystyle \frac{\sqrt{{}_{}}}{}}$- g 3 ${\$z}^{\$nt}{\sqrt{4s^{3}-g_{2}s-g_{$3$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$

그런 다음${\displaystyle {}^{\mathrm{u}}}$ - 1 ${\$을(를) 복합 평면까지 확장할 수 있으며$$ 이 확장은 $\wp {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \wp \}$ -기능과$$ 동일하다.^[5]null

특성.

• ℘은 짝수함수다.즉${\displaystyle ,}$ 모든 ${\displaystyle z}$에${\displaystyle }$대해${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{\setminus }}$ ( z ) =$$${\displaystyle =}$ ( - ${\displaystyle \mathrm{z}}$ ) ${\displaystyle$ $\wp (z)=\wp (-z)}$을$($를) 의미하며$,$$다음$과 같은 방법으로 볼 수 $있다.$

${\displaystyle{\begin{정렬}\wp(-z)&, ={\frac{1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda\smallsetminus\와 같이{0\}}\left({\frac{1}{())^{2}}}-{\frac{1}{\lambda ^{2}}}\right)\\[4pt]&, ={\frac{1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda\smallsetminus\와 같이{0\}}\left({\frac{1}{())^{2}}}-{\frac{1}{\lambda ^{2}}}\right)\\[4pt]&^{\fra.c{1}{z^{2}}}}+\sum _{\lambda \in \lambda \smallsminus \{0\}}\왼쪽({\frac {1}{{\lambda )^{2}}-{\frac {1}{\lambda ^}}\rig)=\cHB(z).\end{정렬}}}$

두 번째 마지막 평등은${\displaystyle }${ -${\displaystyle \lambda }$: ${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$ ${\displaystyle \in }$ } }${\displaystyle }$} ${\displaystyle \}}$ = ${\displaystyle \mathrm{\lambda }}${ { \$displaystyle \{-\lambda$:\$lambda \in \Lambda$ 합이 절대적으로 수렴되기 때문에 이 재배열 한계는 변경되지 않는다.null

• ℘은 meromypeic이고 그 파생상품이다^[6].

${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \lambda }{\frac {1}{{(z-\lambda )^{3}}}.}$

• $℘{\displaystyle \wp }$과(와) $℘$ {\$displaystyle \wp '}$은(는) ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}1{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle$\omega$$$_{1$} ${\displaystyle {및\mathrm{}}_{}}$Ω 2 {\$displaystystyle$\omega $_{2$}}의$$기간으로 2배 주기적이다$.$^[6] 이는 다음을 의미한다.

${\displaystyle {\regated}\company(z+\omega _{1}=\bea=\bea=\bea(z+\omega _{2})\\\\\\textrm{and}\[3mu]\bea '(z+\omega _{1})=\2}\end{정렬}}}$

It follows that ${\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)}$ and ${\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)}$ for all ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$. Functions which are meromorphic and doubly periodic are also called elliptic functions.null

로랑 팽창

$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle min}$ {${\displaystyle }$≠ : 0${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$$$} } } } } } ${\displaystyle \}}$ } { $\displaystyle$ r$:\min\{ \lambda$} :$0\neq \lambda$\in$\lambda$ $\backslash \}\}.$ 그러면 0$$<$z$< ${\$displaystytime $sty$}{\$displaystytimestytimestytimestytime$ styp$$\\\\\\\daystytime styone> r>

${\displaystyle \cHB(z)={\frac {1}{z^{2}}+\sum _{n=1}^{n1}{n+1)G_{2n+2}z^{2n}}}$

어디에

${\displaystyle {Gn}_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\ne }}$ ${\displaystyle \underset{}{0\mathrm{}}}$ ≠ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ∈ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\lambda }}{\lambda }^{}}$ - n ${\$$n$} n ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaysteq 3}$의 경우 에이젠슈타인 시리즈로 불린다$$.^[6]

미분방정식

$g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 60}$ ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ 4 ${\$ ${\displaystyle g_{}}$ $3{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 140}$ ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 설정하면 $\wp {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \wp }$ -함수가$$ 미분 방정식을^[6] 만족한다.

${\displaystyle {\mathrm{\wp }}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle {(}^{}}$ 2${\displaystyle }$(${\displaystyle }$z ) =${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$4 ${\displaystyle 3{}^{}}$3${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ) - ${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}\mathrm{}}$2${\displaystyle z}$(${\displaystyle }$z ) - ${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}}$3 {\$displaystyle \wp$\^{$2}(z)=4\wp ^{3}-g_{3$}\\ $(z)-g_{3$

${\displaystyle \mathrm{이러한}}$ 관계는${\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle$ $\wp }$과(와$)$ ${\displaystyle {\wp }^{}}$ {\$displaystyle \wp$ $'}$의 파워의 선형 조합을 형성하여$$ 확인할 수 있다$.$이것은 리우빌의 정리에 의해 일정해야 하는 전체 타원함수를 산출한다.^[6]

불변제

위의 미분방정식 g와₂ g의₃ 계수를 불변제라고 한다.격자 ${\displaystyle \Lambda }}$에 의존하기$$ 때문에 ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$및$$ ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}의 함수로 볼 수 있다$.$

시리즈 팽창은 g와₂ g가₃ 도 -4와 -6의 동질적인 함수임을 시사한다.즉^[7]

${\displaystyle g_{2}(\data \omega _{1},\data \omega _{2}=\data ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$

${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$ for ${\displaystyle \lambda \neq 0}$.

만약ω 1{\displaystyle \omega_{1}}와ω 2{\displaystyle \omega_{2}} 이러한 방법은 나는(ω 2ω 1)을 ⁡에 0{\displaystyle \operatorname{ 난}\left({\tfrac{\omega_{2}}{_{1}}\omega}\right)> 선택된다 0}일 경우 g2과 g3의 위쪽 단면 H에 기능:={z∈ 예:C:해석될 수 있다. 나는 ⁡(z> ${\displaystyle \mathb {H} :=\{z\in \mathb {C} :\operatorname {Im} (z)$ >$0\}$.

$\tau {\displaystyle }$ =${\displaystyle \frac{{\Omega \mathrm{}}_{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\$ _{1}:{\omega _${1$ 다음과 같은 것이 있다.^[8]

${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \tau }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ 4 ${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}}$ 2 (${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{\Omega \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1$}^{1$}g_{2}(\omega _{1},\omega _{1$

${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \tau }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}}$ 3 (${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2$})$$.

즉 g와₂ g는₃ 이것을 함으로써만 스케일링된다는 뜻이다.세트

${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\tau }$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle g_{2}(\tau$ $)\}=$$g_{2}(\$tau ), g 3 (${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\mathrm{\tau }}$ )${\displaystyle }$:=${\displaystyle {}_{}}$ 3 ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \tau }$ )${\displaystyle g_{3}(\tau$ )=$g_{3}(1,\tau$ $)\}.$

$\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H\mathbb{}}$ ${\$${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}}$ $2$${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle g_{2},g_{3}$의 함수는 모듈형이라고 한다$$.null

$g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대한 푸리에 시리즈는 다음과 같이 제공된다$$.^[9]

${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}\pi^{4}\왼쪽[1+240\sum _{k=1}^{k=1}\inflty }\{3}(k)q^{2k}\right]}}}}}}$

${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}\pi^{6}\좌측[1-504\sum _{k=1}^{\inflty }}\{5}(k)q^{2k}\오른쪽]}}}}}$

어디에

${\displaystyle \sigma _{a}(k):=\sum _{d\mid{k}d^{\message }}}$

divisor 함수인 $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ i ${\displaystyle {\tau }^{}}$ ${\$은 nome이다.null

모듈식 판별

모듈식 판별 Δ는 위의 미분방정식의 우측에서 다항식의 판별으로 정의된다.

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.\,}$

판별은 12중량의 모듈형이다.즉, 모듈 그룹의 작용에 의해서, 로써 변모한다.

${\displaystyle \Delta \왼쪽({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}\오른쪽)=\왼쪽(c\tau +d\오른쪽)^{12}\Delta (\tau )}$

여기서 $a{\displaystyle }$, b${\displaystyle }$, ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$ ad - bc = 1.^[10]

$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi {}^{}}$) ${\displaystyle {12}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {24}^{}}$ ${\$ = $(2\pi )^{12}\eta ^{24}}}$ 여기서$$ $\eta {\displaystyle }${\$displaystyle \eta}$은 데데킨드 eta 함수라는 점에 유의하십시오.^[11]null

$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$의 푸리에 계수는 Ramanujan tau 함수를 참조하십시오$.$null

상수₁ e, e 및₂₃ e

${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}$$및$$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ $3{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) 보통 반감기 $℘{\displaystystyle \wp}$ - 함수의$$ 값을 나타내는 데 사용된다$$.null

${\displaystyle e_{1}\equiv \requiv \left\frac {\omega _{1}:{1}{2}}\오른쪽)}$

${\displaystyle e_{2}\equiv \requiv \left\frac {\omega _{2}}:\오른쪽)}$

${\displaystyle e_{3}\equiv \equiv \left\frac {\omega_{1}+\omega_{2}}:\오른쪽)}$

이들은 쌍으로 구별되며, 격자 ${\displaystyle \Lambda }$에만 의존하며$$, 발전기에는 의존하지 않는다.^[12]null

${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}} 및 $e$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 입방체 다항식 $4{\displaystyle \mathrm{}\wp (z}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$-${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}\wp (z}$) - g 3 ${\$에 의해 다음과 같은 방정식에 의해 관련된다$.$

${\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3$$}=0}$.

그 뿌리는 구별되기 때문에 차별적 ${\displaystyle \Delta }$는 위쪽 반면에서 사라지지 않는다$$.^[13]이제 우리는 다음과 같은 미분 방정식을 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\mathrm{\wp }}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 4}$( ${\displaystyle \mathrm{\wp }}$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{\wp }}$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}_{}}$) (${\displaystyle \mathrm{}(}$ (${\displaystyle }$) - e ${\displaystyle {}_{}}$) (\)$$\$displaystyle \wp '^{2}(z)=4(z)-e_{1})(\$ ($(z)-e_{3$

이것은 반주기들이 ℘${\displaystyle {}^{}}${ ${\$의 0이라는 것을 의미한다$.$

불변성 g ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$및 ${\displaystyle g_{}}$ 3 ${\$은 다음과 같은 방법으로 이러한 상수의 관점에서 표현할 수 있다$$.^[14]

${\displaystyle g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3}}}}}}$

${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}}}$

${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}$$및$$ $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 모듈형 람다 기능과 관련이 있다$$.

${\displaystyle \lambda(\tau )={\frac {e_{3}-e_{2}}:{1}{1}-e_{2}}:\cape \pau ={\frac {\omega_{2}}:{1}.}$

자코비의 타원함수와 관계

수치 작업의 경우, 자코비의 타원함수 측면에서 위어스트라스 타원함수를 계산하는 것이 편리한 경우가 많다.null

기본 관계는 다음과 같다.^[15]

${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}}$

여기서 $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}$$및$$ e ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 위에서 설명한 세 가지 루트이며$$, 여기서 자코비 함수의 계량 k는 동일하다.

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}$

그리고 그들의 주장은 동등하다.

${\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}.}$

자코비의 세타 함수와의 관계

함수 ${\displaystyle \wp (z}$ ,${\displaystyle \tau }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \wp (z}$, ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 1 )${\displaystyle \wp (z,\tau )=\wp(z,1,\omega _{2}/\omega _{1}})$는 자코비의 세타 함수로 나타낼 수 있다$$.

${\displaystyle \wp (z,\tau )=\left(\pi \theta _{2}(0,q)\theta _{3}(0,q){\frac {\theta _{4}(\pi z,q)}{\theta _{1}(\pi z,q)}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\left(\theta _{2}^{4}(0,q)+\theta _{3}^{4}(0,q)\right)}$

여기서 $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ i ${\displaystyle {\tau }^{}}$ ${\$$$$}}$은(는) nome이고 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \{\backslash displaystyle\mathbb{}}$ ${\displaystyle \backslash }$$tau$$\in \mathb$ {$H}}}}$은(는) 기간 비율이다$.$^[16]이것은 또한 $\wp {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle z}$ ,$){\displaystyle \wp (z,\tau )}$를 계산하기 위한 매우 빠른 알고리즘을 제공한다$.$

타원곡선에 대한 관계

투영 입방 곡선 고려

${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3$$}\}\cupt \{\inful \}\subset \mathb {P} _{\mathb {C}^{2$

위어스트라스 입방체라고도 하는 이 입방체의 경우 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$0 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \Delta \neq$ 0$}$이면 합리적인 파라미터화가 존재하지 않는다$.$^[2] 이 경우 타원 곡선이라고도 한다.그럼에도 불구하고 $\wp {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \wp }$ -function과$$ 그 파생상품 ${\displaystyle {\wp }^{}}$ ${\$을(를) 사용하는 매개 변수가 있다$.$^[17]

${\displaystyle \varphi :\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },\quad {\bar {z}}\mapsto {\begin{cases}(\wp (z),\wp '(z),1)&{\bar {z}}\neq 0\\\infty \quad &{\bar {z}}=0\end{cases}}}$

이제 지도 ${\displaystyle \varphi }$은(는) 비주사적이며 타원 $곡선{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {C_{}}_{}^{}}$의${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$g${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$2 , ${\displaystyle {{g\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ 3 ${\displaystyle {{}_{}}_{\mathbb{}}^{}}$ ${\${\$c}_{g_{2},g_{3}^{$3}}^{\$mathb{C$

${\displaystyle \mathbb{C}}$/ ${\displaystyle \lambda \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathb {C} /\Lambda }$은(는) 아벨 그룹이자 위상학적 공간이며, 지수 위상이 갖추어져 있다.null

모든 위어스트라스 큐빅이 그런 식으로 주어지는 것을 알 수 있다.That is to say that for every pair ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$ with ${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$ there exists a lattice ${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$, such that

${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}}$ 2 (${\displaystyle {}_{}{\Omega \mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})$ 및$$ $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}}$ 3 (${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle g_{3}=g}(\omega _{1},\omega$^[18] {2}).

$Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$}$에 대한 타원형 $곡선$을 Q$${\$displaystyle \mathb {Q$에 걸쳐 파라미터화할$$ 수 있다는 문구를 모듈성 정리라고 한다.이것은 수 이론에서 중요한 정리다.그것은 페르마의 마지막 정리에 대한 앤드류 와일스의 증거(1995)의 일부였다.null

덧셈 정리

$z{\displaystyle }$${\displaystyle }$, ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \in }$ C ${\$을$($를) z${\displaystyle }$, ${\displaystyle w}$, z${\displaystyle }$+ ${\displaystyle w}$, ${\displaystyle z}$- ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \notin }$ ∉$$∉ {\$displaystyle$ z$,w,z+w, z-w\notin \Lambda }}$에 두십시오$.$ 그러면 다음이 있다.^[19]

${\displaystyle \wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w)}$.

복제 수식뿐만 아니라:^[19]

${\displaystyle \mathrm{\wp }}$( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\frac{z}{}}^{}}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \frac{4}{}{}^{}}$[ ${\displaystyle {\wp \frac{{\mathrm{}}^{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{{″}^{}}{}}^{}}$( z${\displaystyle {\frac{}{}}^{}}$)${\displaystyle {\frac{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{\wp }}$( ${\displaystyle {\frac{z}{}}^{}}$) ] ( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \$( ($2z)={\frac$ {1$}{4}\proc{\frac {\\\cHB"}{\precompan '(z)}{\primit'{2-2\ba$

These formulas also have a geometric interpretation, if one looks at the elliptic curve ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ together with the mapping ${\displaystyle {\varphi }:\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{$$3}}^{\mathb{C}}}}}}$ 앞 절과 같다$$.null

$({\displaystyle C\mathbb{}}$/ ${\displaystyle \lambda \mathrm{}}$,${\displaystyle }$+$){\displaystyle (\mathb {C} /\lambda ,+)$의 그룹 $구조$는 C g${\displaystyle {\stackrel{}{\text{'}}}_{{g\mathrm{}}_{}}^{}}$ 2${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{g\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{\mathbb{}}^{}}$ C$${\$displaystyle {\c}{g_{2},g_{3}}^{\mathb {C}}}}}}}$의 곡선으로 해석되며$$$$, 기하학적으로 해석할 수 있다.

The sum of three pairwise different points ${\displaystyle a,b,c\in {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$is zero if and only if they lie on the same line in ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$.^[20]

이는 다음과 같다.

${\displaystyle \det \left({\begin{array}{rrr}1&\wp (u+v)&-\wp '(u+v)\\1&\wp (v)&\wp '(v)\\1&\wp (u)&\wp '(u)\\\end{array}}\right)=0}$,

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $\wp {\displaystyle \mathrm{}}$ ($u$ )${\displaystyle }$= $\displaystyle \wp$ ($u)=$${\displaystyle a}$$},$$,{\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle v}$ ${\displaystyle )}$= b ${\displaystyle \wp (v)=b$$}$ 및 $u{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \notin }$ ∉ \ ${\displaystystyle u,v\notin \lambda$ $\}.$^[21]

타이포그래피

위어스트라스의 타원함수는 보통 다소 특별한 소문자 대본 문자 ℘으로 쓰여진다.^{[footnote 1]}

컴퓨팅에서 문자 ℘은 다음과 같이 사용할 수 있다.\wp TeX로유니코드에서 코드 포인트는 U+2118 ℘SCRIPT CAPANTER P(HTML)이다.℘ · ℘, ℘), 보다 정확한 별칭 포함Weierstrass 타원 함수.^{[footnote 2]}HTML에서, 그것은 다음과 같이 탈출할 수 있다.℘.

캐릭터 정보

미리보기	℘
유니코드명	스크립트 대문자 P / WEIERstrass 타원 함수
인코딩	십진법의	육각의
유니코드	8472	U+2118
UTF-8	226 132 152	E2 84 98
숫자 문자 참조	℘	℘
명명된 문자 참조	℘, "

참고 항목

• 바이에스트라스 함수
• 자코비 타원 함수
• 림니스케이트 타원 함수

각주

참조

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 18". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• N. I. Akhiezer, 타원함수 이론의 요소들, (1970) 모스크바, AMS Translations of Mathematical Monographicss Volume 79 (1990) AMS, 로드아일랜드 ISBN 0-8218-4532-2로 영어로 번역됨
• Tom M. Afortol, 모듈식 기능 및 숫자 이론의 Dirichlet 시리즈, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (1장 참조)
• K. 찬드라세카란, 타원함수(1980), 스프링거-베를라크 ISBN 0-387-15295-4
• 콘래드 노프, 펑키톤테오토리 II(1947), 도버 출판물, 기능 이론(1996), 도버 출판물 ISBN 0-486-69219-1
• 세르게 랭, 타원 함수(1973년), 애디슨 웨슬리, ISBN 0-201-04162-6
• E. T. 휘태커와 G. N. 왓슨, A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, 1952, 20장과 21장

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 위어스트라스의 타원함수와 관련된 미디어가 있다.

• "Weierstrass elliptic functions", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weierstrass의 타원 함수 Mathworld.
• 제23장 W. P. 라인하르트 및 P. L. 워커의 DLMF(디지털 수학 라이브러리)에서 Weierstrass Ellightic 및 Modular functions in DLMF(Digital Library of Materical Functions)
• Weierstrass P 함수 및 David Dumas에 의해 C에서 구현된 파생 모델