입방면 곡선

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수학에서 입방 평면 곡선은 입방 방정식으로 정의된 평면 대수 곡선 C이다.

F(x, y, z) = 0

투영 평면의 경우 균일한 좌표 x:y:z에 적용하거나, 그러한 방정식에서 z = 1을 설정하여 결정된 아핀 공간의 비균형 버전에 적용한다. 여기서 F는 3도 단수들의 0이 아닌 선형 결합이다.

x³, y³, z³, xy², xz², yx², yz², zx², zy², xy, xyz.

이것들은 숫자로 10이다. 따라서 입방 곡선은 주어진 필드 K에 걸쳐 차원 9의 투영 공간을 형성한다. 각 점 P는 C가 P를 통과하도록 요구하면 F에 단일 선형 조건을 부과한다. 따라서, 우리는 9개의 주어진 점을 통해 약간의 입방 곡선을 찾을 수 있는데, 이것은 퇴보될 수 있고, 독특하지는 않을 수 있지만, 만약 그 점들이 일반적인 위치에 있다면, 독특하고 퇴보되지 않을 것이다; 한 선을 결정하는 두 점과 5개의 점이 원뿔을 결정하는 방법에 비교된다. 만약 두 큐빅이 주어진 9 포인트 세트를 통과한다면, 실제로 큐빅 연필이 통과하고, 포인트는 추가 특성을 만족시킨다; Cayley-Bacharach 정리를 참조한다.

단수 세제곱 y² = x² ⋅ (x + 1) 파라메트리제이션은 t ↦ (t² - 1, t ⋅ (t² - 1)에 의해 주어진다.

입방 곡선은 단일한 점을 가질 수 있으며, 이 경우 투영 선 측면에서 파라메트리제이션이 있다. 그렇지 않으면, 비성형 입방 곡선은 복잡한 숫자와 같이 대수적으로 닫힌 장에 걸쳐 9개의 변곡점을 갖는 것으로 알려져 있다. 이는 입방체를 다시 정의하는 헤시안 행렬의 동질적 버전을 취하여 그것을 C와 교차시키면 알 수 있다. 그리고 나서 교차점은 베주트의 정리에 의해 계수된다. 그러나 이 중 3점만이 실제일 수 있으므로 다른 점들은 곡선을 그려 실제 투영면에서 볼 수 없다. 비음속 입방체의 9개 변곡점은 그 중 2개를 통과하는 모든 선에 정확히 3개의 변곡점이 포함되어 있는 특성을 가지고 있다.

입방 곡선의 실제 점들은 아이작 뉴턴에 의해 연구되었다. 비음향 투영 큐빅의 실제 포인트는 하나 또는 두 개의 '난방'으로 떨어진다. 이들 난자 중 하나는 모든 실제 투영선을 교차하며, 따라서 유클리드 평면에서 입방체가 그려질 때 결코 경계가 되지 않는다; 그것은 세 개의 실제 변곡점을 포함하는 하나 또는 세 개의 무한가지로 나타난다. 다른 타원형(존재하는 경우)은 실제 변곡점을 포함하지 않으며 타원형 또는 두 개의 무한가지로 나타난다. 원뿔형 단면처럼 선은 기껏해야 이 타원형을 두 점으로 자른다.

비음향 평면 입방체는 점이 정의된 필드 K에 걸쳐 타원 곡선을 정의한다. 타원곡선은 현재 일반적으로 바이에스트라스의 타원함수의 일부 변종에서 연구되고 있으며, 입방근의 제곱근을 추출하여 만든 합리적함수 영역의 2차 확장을 정의하고 있다. 이것은 위어스트라스 형태에서 무한대의 점 역할을 하는 K-합리적인 점을 갖는 것에 달려 있다. 예를 들어 K가 합리적인 숫자 필드일 때 그러한 점이 없는 입방 곡선이 많다.

되돌릴 수 없는 평면 입방 곡선의 단일한 점은 상당히 제한적이다. 이중 점 하나 또는 정점 하나. 환원 가능한 평면 입방 곡선은 원뿔과 선 또는 선 3개 중 하나이며, 따라서 2개의 이중 점 또는 타코노드(원뿔과 선인 경우), 3개의 선인 경우 최대 3개의 이중 점 또는 단일 3중 점(동전선)이 있다.

삼각형 평면의 입방 곡선

ABC가 부차적인 길이 a = BC, b = CA, c = AB를 가진 삼각형이라고 가정하자. ABC에 비해서, 많은 이름이 붙은 입체파들이 잘 알려진 지점을 통과한다. 아래에 제시된 예로는 삼림 좌표와 이심 좌표라는 두 종류의 동질 좌표를 사용한다.

입방정식에서 3행에서 2행성으로 변환하려면 다음과 같이 대체한다.

x ↦ bcx, y ↦ cay, z ↦ abz;

이변에서 삼변으로 변환하기 위해, 다음을 사용한다.

x ↦ 도끼, y ↦ by, z ↦ cz.

큐빅에 대한 많은 방정식들은 그 형태를 가지고 있다.

f(a, b, c, x, y, z) + f(b, c, a, y, z, x) + f(c, a, b, z, x, y) = 0.

아래의 예에서, 그러한 방정식은 다음과 같이 "순환 합계 표기법"에 보다 간결하게 쓰여 있다.

[순환 합계 f(x, y, z, a, b, c)] = 0.

아래에 열거된 입체파는 ABC 측선이 아닌 점 X의 X를 X*로 나타내는 등각 결합의 관점에서 정의할 수 있다. X*의 구문이 뒤따른다. L을_A 각도 A의 내부 각도 이등분선에 대한 선 XA의 반영으로 하고 L과_B L을_C 유사하게 정의한다. 그런 다음 세 개의 반사선이 X*에 일치한다. 3행 좌표에서 X = x:y:z이면 X* = 1/x:1/y:1/z.

뉴버그 큐빅

Neuberg 세제곱(ABC 삼각형): The locus of X such that if

X_{A},X_{B},X_{C}

are the reflections of A, B, C in the sidelines BC, CA, AB then the lines

AX_{A},BX_{B},CX_{C}

are concurrent.

삼행 방정식: [순환합(cos A - 2 cos B cos C)x(y²² - z)] = 0

이차 방정식: [순환합(a²(b² + c²) + (b² - c²)² - 2a⁴)x(cy²² - bz²²)] = 0

뉴버그 큐빅(Joseph Jean Jean Bastriete Neuberg의 이름을 따서 명명)은 X 점의 중심점으로서 X*가 선 EX에 있고, E는 삼각 센터 백과사전에서 오일러 무한 점(X(30)이다. 또한 이 입방체는 X의 중심점으로서, XXX는_A_B_C ABC를 원근법으로 하고, XXX는_A_B_C 각각 BC, CA, AB 라인에 X를 반영한다.

Neuberg 입방체는 다음과 같은 지점을 통과한다: 인센티브, 할로우센터, 직교점, 양쪽 Fermat 지점, 둘 다 역학 포인트, 오일러 무한 포인트, 다른 삼각 중심, 외향가, ABC와 별도로 A, B, C의 반사, ABC의 측면에 세워진 6개의 등각 삼각형의 정점.

Neuberg 입방체의 그래픽 표현과 광범위한 특성 목록은 Triangle Plane에 있는 Berhard Gibert's Cubics에서 K001을 참조하십시오.

톰슨 큐빅

Thomson 입방체(검은색 곡선)의 예 X는 입방체 위에 있으며, X(X)의 등각결합이 X(2) – X 선에 위치한다.

삼행 방정식: [순환합 bcx(y²² - z)] = 0

이차 방정식: [순환합 x(cy²² - bz²²)] = 0

톰슨 큐빅은 X선이 GX 선에 있고 G가 중심인 점 X의 중심점이다.

톰슨 큐빅은 인센티브, 중심점, 중심점, 곡면점, 직교점, 시메디안점, 기타 삼각점, 정점 A, B, C, 외향점, 측면 BC, CA, AB, ABC 고도의 중간점 등을 통과한다. 입방체의 각 점 P에 대해, 입방체의 한 쪽 선은 아니지만 P의 등각 결합도 입방체 위에 있다.

그래프 및 속성은 삼각형 평면의 큐빅에서 K002를 참조하십시오.

다르부스 큐빅

삼각형 ABC의 Darboux 입방체: 만약 D, E, F가 X에서 BC, CA, AB까지 수직의 발이라면 AD, BE,CF 라인은 동시에 나타난다.

삼행 방정식: [순환합(cos A - cos B cos C)x(y²² - z)] = 0

이차 방정식: [순환합(2a²(b² + c²) + (b² - c²)² - 3a⁴(cy²² - bz²²)] = 0

Darboux 입방체는 점 X의 중심점이며, X*가 선 LX에 있고, 여기서 L은 de Longchamps 지점이다. 또한 이 큐빅은 X의 페달 삼각형이 어느 지점(루카스 큐빅에 놓여 있는)의 세비아 삼각형이 될 정도로 X의 중심점이다. 또한 이 큐빅은 X의 페달 삼각형과 X의 반빙 삼각형이 원근일 정도로 X점의 중심이다; 관점은 Thomson 큐빅에 있다.

Darboux 입방체는 원주에 있는 A, B, C, 엑센터 및 A, B, C의 대척점, 할로우센터, 디 롱샹 포인트, 다른 삼각형 중심, 정점 A, B, C를 통과한다. 입방체의 각 점 P에 대해, 입방체의 한 쪽 선은 아니지만 P의 등각 결합도 입방체 위에 있다.

그래픽 및 속성은 삼각형 평면의 큐빅에서 K004를 참조하십시오.

나폴레옹-푸에르바흐 큐빅

삼행 방정식: [순환합 cos(B - C)x(y²² - z)] = 0

이차 방정식: [순환합(a²(b² + c²) - (b² - c²)²x(cy²² - bz²²)] = 0

나폴레옹-Feuerbach cubic은 점 X*가 점 NX에 위치하며, 여기서 N은 9점 중심이다(Triangle Centers 백과사전에서는 N = X(5).

나폴레옹-Feuerbach 세제곱은 인센티브자, 할례자, 직교자, 제1차 및 제2차 나폴레옹 포인트, 기타 삼각형 중심, 정점 A, B, C, 외향자, 고도에 대한 중심 투영, ABC 측면에 세워진 6개의 등각 삼각형의 중심을 통과한다.

그래픽 및 속성은 삼각형 평면의 큐빅에서 K005를 참조하십시오.

루카스 큐빅

ABC 삼각형의 루카스 큐빅: X의 세비아 삼각형이 어떤 점 X의 페달 삼각형인 점 X의 중심점; 점 X'는 Darboux 입방체에 있다.

삼행 방정식: [순환합(cos A)x(by²² - cz²²))] = 0

이차 방정식: [순환합(b² + c² - a²)x(y²² - z)] = 0

루카스 큐빅은 포인트 X의 중심이며, 그래서 포인트 X의 세비아 삼각형은 어떤 포인트의 페달 삼각형이다. 포인트는 다부스 큐빅스 큐빅에 있다.

루카스 큐빅은 중심점, 직교점, 게르곤점, 나겔점, 데 롱샹점, 기타 삼각형 중심, 반완성 삼각형의 정점, 슈타이너 할리프스의 초점을 통과한다.

그래픽 및 속성은 삼각형 평면의 큐빅에서 K007을 참조하십시오.

1회 브로카드 큐빅

첫 번째 브로카드 큐빅: A'B'C'는 삼각형 ABC의 첫 번째 브로카드 삼각형인 BC, CA, CB와의 XA', XB', XC'의 교차점이 일직선인 X의 중심점이다. 그림에서 Ω과 Ω′은 첫 번째와 두 번째 브록카드 포인트다.

삼행 방정식: [순환 합계 BC(a⁴ - bc²²)x(y²² + z] = 0

이차 방정식: [순환합(a⁴ - bc²²)x(cy²² + bz²²] = 0

A′B′C′을 첫번째 브로카드 삼각형이 되게 하라. 임의 점 X의 경우 X_A, X, X_B, X를_C 각각 BC, CA, AB와 선 XA의 교차점이 되게 한다. 첫 번째 브로카드 세제곱은 X_A, X_B, X 점들이_C 일직선으로 되어 있는 X의 중심점이다.

제1브라카드 입방체는 중심점, symmedian 점, Steiner 점, 기타 삼각형 중심, 제1브라카드 삼각형의 정점을 통과한다.

그래픽 및 속성은 삼각형 평면의 큐빅에서 K017을 참조하십시오.

2차 브로카드 큐빅

삼행 방정식: [순환 합계 BC(b² - c²)x(y²² + z] = 0

이차 방정식: [순환합(b² - c²)x(cy²² + bz²²] = 0

두 번째 브로카드 입방체는 X와 X*를 통과하는 원곡선의 XX* 선 극이 원곡선과 시메디안 점(즉, 브로카드 축)의 선에 놓여 있는 점 X의 중심점이다. 입방체는 중심점, symmedian 점, 양쪽 Fermat 점, 둘 다 등역학적 점, Parry 점, 다른 삼각형 중심, 그리고 제2차 및 제4차 Brocard 삼각형의 정점을 통과한다.

그래픽 및 속성은 삼각형 평면의 큐빅스에서 K018을 참조하십시오.

1차 동일 면적 입방체

삼각형 ABC의 첫 번째 등면적 입방형: X의 세비아 삼각형의 그러한 영역과 같은 X 점의 중심은 X*의 세비아 삼각형의 영역과 동일하다.

삼행 방정식: [순환 합계 a(b² - c²)x(y² - z²] = 0

이차 방정식: [순환합 a²(b² - c²)x(cy²² - bz²²) = 0

첫 번째 등면적 입방체는 점 X의 위치로서, X의 세비아 삼각형의 면적이 X*의 세비아 삼각형의 면적에 해당된다. 또한 이 입방체는 X의 중심점이며, X*는 S*X 선에 있고, S는 Steiner 지점이다. (S = Triangle Centers 백과사전 X(99)).

첫 번째 동일 영역 큐빅은 인센티브자, Steiner 포인트, 다른 삼각형 중심, 첫 번째 및 두 번째 브록카드 포인트, 그리고 엑센터를 통과한다.

그래픽 및 속성은 삼각형 평면의 큐빅스에서 K021을 참조하십시오.

2차 등면적 세제곱

트리린어 방정식: (bz + cx)(cx + ay)(ay + bz) = (bx + cy)(cy + ax)(아즈 + bx)

이차 방정식: [순환 합계 a(a² - bc)x(cy³² - bz³²)] = 0

임의의 점 X = x:y:z(트리니어)에 대해 X_Y = y:z:x 및 X_Z = z:x:y로 두십시오. 두 번째 등면적 입방형은 X의_Y 중심점으로서 X의 세비아 삼각형의 면적이_Z X의 세비아 삼각형의 면적에 해당된다.

두 번째 동일 영역 큐빅은 X(31), X(105), X(238), X(292), X(365), X(365), X(1453), X(1453), X(1453), X(1931), X(2053) 등으로 지수화된 Triangle Centers 백과사전의 포인트, 중심, 시메디언 포인트를 통과한다.

그래픽 및 속성은 삼각형 평면의 큐빅에서 K155를 참조하십시오.

참고 항목

두 입방 평면 곡선의 교차점에 있는 Cayley-Bacharach 정리
트위스트 큐빅, 큐빅 공간 곡선
타원곡선
아그네시의 마녀
삼각형 큐빅 목록

참조

Bix, Robert (1998), Conics and Cubics: A Concrete Introduction to Algebraic Curves, New York: Springer, ISBN 0-387-98401-1.
Cerin, Zvonko (1998), "Locus properties of the Neuberg cubic", Journal of Geometry, 63 (1–2): 39–56, doi:10.1007/BF01221237.
Cerin, Zvonko (1999), "On the cubic of Napoleon", Journal of Geometry, 66 (1–2): 55–71, doi:10.1007/BF01225672.
Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1995), "Some cubic curves associated with a triangle", Journal of Geometry, 53 (1–2): 41–66, doi:10.1007/BF01224039.
Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1999), "Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 1)", Journal of Geometry, 66 (1–2): 72–103, doi:10.1007/BF01225673.
Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (2000), "Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 2)", Journal of Geometry, 68 (1–2): 58–75, doi:10.1007/BF01221061.
Ehrmann, Jean-Pierre & Gibert, Bernard (2001), "A Morley configuration", Forum Geometricorum, 1: 51–58.
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큐빅은 8장을 참조하십시오Kimberling, Clark (1998), "Triangle Centers and Central Triangles", Congressus Numerantium, 129: 1–295.
Kimberling, Clark (2001), "Cubics associated with triangles of equal areas", Forum Geometricorum, 1: 161–171.
Lang, Fred (2002), "Geometry and group structures of some cubics", Forum Geometricorum, 2: 135–146.
Pinkernell, Guido M. (1996), "Cubic curves in the triangle plane", Journal of Geometry, 55 (1–2): 142–161, doi:10.1007/BF01223040.
Salmon, George (1879), Higher Plane Curves (3rd ed.), New York: Chelea.

외부 링크

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