이중 곡선

투영기하학에서 소정의 평면곡선 C의 이중곡선은 C에 접하는 선들의 집합으로 이루어진 이중투영평면에서의 곡선이다.원곡선에서 듀얼로 가는 지도가 있으며, 각 점을 접선선에 대해 듀얼인 점으로 보냅니다.만약 C가 대수적이라면, 그 쌍체도 마찬가지고, 쌍체의 정도는 원래 곡선의 등급으로 알려져 있다.직선 좌표로 주어진 C의 쌍대 방정식은 C의 접선 방정식으로 알려져 있습니다.이중성은 혁신입니다. C의 이중성은 원래 곡선 C입니다.

이중 곡선의 구성은 해밀턴 ^[1]역학의 맥락에서 Legendre 변환을 위한 기하학적 기초이다.

방정식

f(x, y, z) = 0을 투영 평면 상의 균질 좌표 곡선의 방정식이라고 하자.Xx + Yy + Zz = 0을 직선의 방정식이라고 가정하고, 이중 투영 평면에서 직선의 좌표를 X, Y, Z로 지정한다.선이 곡선에 접하는 조건은 곡선의 접선 방정식인 F(X, Y, Z) = 0 형식으로 표현될 수 있습니다.

곡선의 a(p, q, r)에서 탄젠트는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle xcfrac {\displayfrac x}(p,q,r)+ycfrac {\displayfrac y}(p,q,r)+zcfrac {\displayfrac z}(p,q,r)=0)$

따라서 Xx + Yy + Zz = 0은 곡선에 대한 접선이다.

$(\displaystyle\begin{aligned}X&=\lambda(p,q,r),\Y&=\lambda(p,q,r),\lambda(p,q,r),\lambda(prac,r)\end { aligned}}$

이 방정식에서 Xp + Yq + Zr = 0과 함께 p, q, r 및 θ를 제거하면 이중 곡선의 X, Y 및 Z로 방정식이 제공됩니다.

예를 들어 C를 원뿔형² 축 + by² + cz² = 0으로 합니다.방정식에서 p, q, r 및 θ를 제거하면 쌍수를 구할 수 있습니다.

${\displaystyle {begin{c}X=2\lambda ap,\Y=2\lambda bq,\Z=2\lambda cr,\Xp+Yq+Zr=0.\end {array}}$

p, q, r에 대한 첫 번째 세 개의 방정식은 쉽게 풀 수 있으며, 마지막 방정식의 치환은 다음과 같다.

${\displaystyle {X^{2}}{2\lambda a}+{\frac {Y^{2}}{2\lambda b}+{\frac {Z^{2}}{2\lambda c}=0.}$

분모에서 2µ를 지우면, 이중의 방정식은

${\displaystyle {X^{2}}{a}+{\frac {Y^{2}}{b}+{\frac {Z^{c}}=0.}$

투영 좌표$({\displaystyle x}$${\displaystyle }$,${\displaystyle y}$ )${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle t}$) ,${\displaystyle y}$ (${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$,$$\ $displaystyle ( x$, y ) ${\displaystyle =}$ ( x , ${\displaystyle y}$ ,${\displaystyle }$z )$$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle t}$ )${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{y}}$ ( t ) $、$ 1 ) \ $displaystyle ( x$ , y , z )$=$ ( x ( t )${\displaystyle }$（ t )${\displaystyle }$、 t )$$（ t$$ ${\displaystyle ）}$ 、 （ t$\}$ , t 、 、 ） 、 ） 。교차곱에 의해 주어진 방정식 계수:

$({displaystyle(X,Y,Z)=(x,y,1)\times(x',y',0)=sysy',xy'-yx',}$

여기서 아핀 ${\displaystyle \mathrm{좌표}}({\displaystyle X,}$ $,$ 1) {$displaystyle(X, Y,$ 1)}은$$ 다음과 같습니다.

${\displaystyle X=black {y'}{yx'-xy'},\display Y=black {x'}{xy'-yx'}}.}$

변곡점의 이중은 첨단을 제공하고 동일한 접선을 공유하는 두 점은 이중에서 자체 교차점을 제공합니다.

투영적 설명에서 다음 이중값 중 하나를 계산할 수 있습니다.

$(\displaystyle(x(x'y'-y'x'), y(x'y'-y'x'),$

이는 원래 곡선$({\displaystyle x}$ ${\displaystyle (t}$ )${\displaystyle }$,${\displaystyle }$y (${\displaystyle t}$) , ${\displaystyle 1}$)$${$displaystyle (x(t), y(t),$1)}과$($와) 동등합니다.

이중 곡선의 특성

원래 원곡선의 속성은 이중 곡선의 이중 특성에 해당합니다.소개 이미지에서 빨간색 곡선은 중앙에 노드가 있고 오른쪽 아래 및 왼쪽 아래에 두 개의 모서리가 있는 세 가지 특이점이 있습니다.검은색 곡선에는 특이점이 없지만 네 개의 구별되는 점이 있습니다. 두 개의 맨 위 점이 모두 같은 접선을 가지므로 이중 곡선의 동일한 점으로 매핑됩니다. 반면 두 변곡점은 먼저 한 방향으로 가고 다른 방향으로 가기 때문에(경사 증가) 두 개의 변곡점은 접점에 해당합니다.노래를 부르고, 그 다음에 감소합니다.

반면, 매끄러운 볼록 곡선에서는 탄젠트 선의 각도가 단조롭게 변화하며, 결과적으로 발생하는 이중 곡선도 매끄럽고 볼록하다.

또한 위의 두 곡선은 반사 대칭을 가집니다. 투영 이중성은 대칭을 투영 공간으로 유지하므로 이중 곡선은 동일한 대칭 그룹을 가집니다.이 경우 양쪽 대칭은 좌우 대칭으로 인식됩니다.이것은 공간과 이중 공간이 식별된 방법의 인공물입니다.일반적으로 이들은 서로 다른 공간의 대칭입니다.

도

X가 평면 대수 곡선인 경우, 이중의 정도는 이중 평면에 선이 있는 점의 교집합입니다.이중 평면의 선은 평면의 점에 해당하므로 이중의 정도는 지정된 점을 통해 그릴 수 있는 X에 대한 접선 수입니다.이러한 접선이 원곡선에 닿는 점이 지정된 점을 기준으로 원곡선과 극곡선 사이의 교차점입니다.곡선의 정도가 d이면 극성의 정도는 d - 1이므로 주어진 점을 통해 그릴 수 있는 접선의 수는 최대 d(d - 1)이다.

선의 쌍대(도 1의 곡선)는 예외이며 이중 공간(즉 원래 선)의 점으로 간주됩니다.단일 점의 쌍은 점을 통과하는 선의 집합으로 간주되며, 이는 원래 점에 해당하는 이중 공간에서 선을 형성합니다.

X가 매끄러운 경우(단수점 없음) X의 이중은 최대 도수 d(d - 1)를 가집니다.이것은 원뿔의 쌍대 또한 원뿔이라는 것을 의미한다.기하학적으로 원뿔에서 그 쌍체까지의 지도는 일대일이며(도 4를 필요로 하는 원뿔의 두 점에 접하는 선이 없기 때문에), 접선은 부드럽게 변화한다(곡선이 볼록하기 때문에, 따라서 접선의 기울기는 단조롭게 변화한다). 즉, 이중의 첨부는 원래의 곡선에서 변곡점을 필요로 한다.e 3)

단수점이 있는 곡선의 경우 이러한 점은 원곡선과 극성의 교차점에도 있으므로 가능한 접선 수가 줄어듭니다.플뤼커 공식은 d의 관점에서 이중의 정도와 X의 특이점의 수와 유형을 제공한다.

극역수

이중은 극 역수의 형태로 평면에서 궤적으로 시각화할 수 있습니다.이것은 고정 원뿔형 Q를 곡선 ^[2]C의 접선 극의 궤적으로 참조하여 정의된다.원뿔형 Q는 거의 항상 원으로 간주되므로 극 역수는 C 페달의 역수입니다.

일반화

고차원

마찬가지로, 하이퍼서페이스가 주어졌을 때, 더 높은 차원으로 일반화하면, 각 점의 접선 공간은 하이퍼플레인 패밀리를 제공하므로, 이중 공간에 이중 하이퍼서페이스가 정의됩니다.투영 공간의 닫힌 하위 변수 X에 대해, X의 어떤 점에 접하는 모든 초평면의 집합은 X의 이중 변종이라고 불리는 투영 공간의 이중의 닫힌 하위 변수입니다.

예

• 만약 X가 균질 다항식 F(x₀, ..., x_n)에 의해 정의된 초면이라면, X의 이중 품종은 구배 지도에 의한 X의 이미지이다.

$\displaystyle x=(x_{0},\ldots,x_{n})\mapsto\leftfrac\frac{\partial x_{0}}(x),\ldots,{\frac {\partial x_{n}(x)\right}$

이중 투사 공간에 착륙합니다.

• 점(a₀ : ... : a_n)의 2종류가 하이퍼플레인입니다.

$\displaystyle a_{0}x_{0}+\ldots +a_{n}x_{n}=0.}$

이중 폴리곤

이중 곡선 구성은 곡선이 부분 선형이거나 부분 미분 가능한 경우에도 작동하지만 결과 맵은 축퇴되거나(선형 구성요소가 있는 경우) 잘못 정의됩니다(단수 점이 있는 경우).

폴리곤의 경우 각 모서리의 모든 점이 동일한 접선을 공유하므로 이중의 동일한 정점에 매핑됩니다. 한편, 정점의 접선은 잘못 정의되어 있으며, 두 모서리 사이의 각도로 폴리곤을 통과하는 모든 선으로 해석할 수 있습니다.이는 투영 이중성(선은 점에 매핑되고 점은 선에 매핑됨)과 선형 구성요소가 없는 부드러운 곡선의 한계와 일치합니다. 곡선이 모서리에 평탄해지면 접선은 점점 더 가까운 점으로 매핑되고 곡선이 정점으로 날카로워지면 접선은 더 멀리 퍼집니다.

보다 일반적으로 볼록 다면체 또는 원뿔은 다면체 쌍체를 가지며, 경계 초면체 H를 갖는 볼록 집합 X는 경계가 이중 품종 H*인 볼록 공역 X*를 가진다.

「 」를 참조해 주세요.

• 하프 변환
• 가우스 지도

메모들

레퍼런스

• Arnold, Vladimir Igorevich (1988), Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations, Springer, ISBN 3-540-96649-8
• Hilton, Harold (1920), "Chapter IV: Tangential Equation and Polar Reciprocation", Plane Algebraic Curves, Oxford
• Fulton, William (1998), Intersection Theory, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4
• Walker, R. J. (1950), Algebraic Curves, Princeton
• Brieskorn, E.; Knorrer, H. (1986), Plane Algebraic Curves, Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-1769-0