데데킨드 에타 함수

수학에서 리처드 데데킨드의 이름을 딴 데데킨드 에타 함수는 무게의 모듈형이다. 1/2이며, 상상의 부분이 양수인 복잡한 숫자의 위쪽 반면에 정의된 함수다. 그것은 또한 보소닉 끈 이론에서도 발생한다.

정의

임(()이 0보다 큰 복잡한 숫자 τ에 대해, q = e로^2πiτ 하고, 다음에 eta 함수를 정의한다.

${\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {\pi i\tau }{12}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-e^{2n\pi i\tau }\right)=q^{\frac {1}{24}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right).}$

많은 오래된 책들이 nome e를^πiτ 위해 q를 사용하지만, 숫자 이론에서는 q^2πiτ notation e라는 표기법이 이제 표준이 되었다. eta 방정식을 24번째 전력으로 올리고 (2㎛)¹²를 곱하면 다음이 된다.

${\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )}$

여기서 Δ는 모듈형 판별이다. 24의 존재는 24차원 Leech 격자와 같은 다른 발생과의 연결을 통해 이해할 수 있다.

eta 함수는 상부 하프 평면에서 홀로모르픽이지만 그 너머에서 분석적으로 계속할 수 없다.

eta 함수는 함수 방정식을^[1] 만족한다.

${\displaystyle {\pregated}\eta(\tau +1)&=e^{\frac {\pi i}{12}\eta(\tau }),\\\\eta \frac{1}{\tau }}\right)&={\sqrt{-i\tau }}\,\eta(\tau }\,\end{aigned}}}}}$

두 번째 방정식에서 제곱근의 분기는 √-iτ = 1일 때 =-i when = i

보다 일반적으로 a, b, c, d가 ad - bc = 1의 정수라고 가정하면 다음과 같다.

${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}$

모듈 그룹에 속하는 변환이다. c > 0 또는 c = 0, d = 1로 가정할 수 있다. 그러면

${\displaystyle \eta \left\frac {a\tau +b}{c\tau +d}\오른쪽)=\\엡실론(a,b,c,d)\왼쪽(c\tau +d\오른쪽)^{\frac {1}{1}{2}}\eta(\tau ),}$

어디에

${\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)={\prac{base}e^{\frac {bi\pi }{12}=0,\,d=1,\e^{i\pi \leftpi \reftpi \refrc}-s(d,c)-{1}{1}}{4}}}}}}}}}}}}}}}}}{4}오른쪽)}}&c>0.\end{case}}$

여기 s(h,k)는 데데킨드 합이다.

${\displaystyle s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac{n1}{n}}}{k}-{hn}-\lfloor {\frac {hn}{k}}}\frac {1}{1}2}}\right\right.}$

이러한 기능 방정식 때문에 eta 함수는 모듈 그룹의 메타폴틱 이중커버의 특정 순서 24에 대한 무게 1/2과 수준 1의 모듈형이며, 다른 모듈형 형식을 정의하는 데 사용할 수 있다. 특히 Weierstrass의 모듈식 판별은 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}\,}$

그리고 무게 12의 모듈형이다. 일부 저자는 (2π)¹²의 인자를 생략하여 시리즈 확장에 적분 계수가 있다.

Jacobi 삼중 산물은 eta가 (요소에 따라) Jacobi 세타 함수라는 것을 암시한다.^[2]

${\displaystyle \eta (\tau )=\sum _{n=1}^{\inflit }\chi (n)\exp \left \frac {\pi in^{2}\tau }{12}\오른쪽),}$

여기서 χ(n)은 χ(±1) = 1 및 χ(±5) = -1인 "Dirichlet 문자 모듈로 12이다. 분명히,^{[citation needed]}

${\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {\pi i\tau }{12}\vartheta \left\frac{\1}{2}};3\tau \오른쪽).}$

오일러 함수

${\displaystyle {\justried}\phi (q)&=\prod _{n=1}^{n=1}{n=1}\flt(1-q^{n}\오른쪽)\\\\&=q^{-{\frac {1}{24}}\eta(\tau ),\end{arged}}}$

오일러 ID에 의한 파워 시리즈:

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\inflit }^{n(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}}.}$

eta 함수는 어느 전력 시리즈에서나 수치적으로 계산하기 쉽기 때문에, 가능한 경우 그 측면에서 다른 함수를 표현하는 것이 계산에 도움이 되는 경우가 많으며, eta quotes라고 하는 eta 함수의 제품 및 시세를 사용하여 매우 다양한 모듈형 형식을 표현할 수 있다.

이 페이지의 그림은 오일러 함수의 계수를 보여준다: 이것과 eta 사이의 q의^1/24 추가 인수는 거의 시각적인 차이를 만들지 않는다. 따라서 이 사진은 q의 함수로서 eta의 사진으로 찍을 수 있다.

결합 정체성

아핀 리 알헤브라의 대수적 문자 이론은 eta 함수에 대해 이전에 알려지지 않았던 많은 종류의 정체성을 낳는다. 이러한 정체성은 Weyl-Kac 캐릭터 공식에서 따온 것이며, 보다 구체적으로 말하자면 "혐오자 정체성"에서 따온 것이다. 캐릭터 자체는 모듈러 그룹 아래에서 변형되는 자코비 세타 함수의 일반화를 가능하게 한다. 이것이 정체성으로 이어지는 것이다. 그러한 새로운 정체성의^[3] 한 예는 다음과 같다.

${\displaystyle \eta (8\tau )\eta=\sum _{m,n\in \mathb {Z}\atop m\leq 3n }(-1)^{m+1)^{2}-32n^{2}}:}$

여기서 q = e는^2πiτ 모듈 최고 중량의 q-mit 또는 "mit"이다.

특수값

위와 같은 오일러 함수와 후자의 특수 값과의 연관성으로부터 쉽게 추론할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\eta(나는)&, ={\frac{\Gamma)}{2\pi ^{\frac{3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left({\tfrac{1}{2}}i\right)&, ={\frac{\Gamma)}{2^{\frac{7}{8}}\pi ^{\frac{3}{4}}}}\\[6pt]\eta(2i)&, ={\frac{\Gamma)}{2^{\frac{11}{8}}\pi ^{\frac{3}{4}}}}\\[6pt].\eta(3i)&^{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2{\sqrt[{3}]{3}}\left(3+2{\sqrt {3}}\right)^{\frac {1}{12}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (4i)&={\frac {{\sqrt[{4}]{-1+{\sqrt {2}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {29}{16}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)&=e^{-{-{\frac {\pi i}{24}}}{\frac {{\sqrt[{8}]{3}}\Gamma \left({\frac {1}{3}\오른쪽)^{\frac {3}{2}}{2\pi }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{정렬}}}}}}}}}}}}$

에타 인용구

Eta quotes는 폼의 quotes로 정의된다.

${\displaystyle \prod_{0<d\mid N}\eta (d\tau )^{r_{d}}}$

여기서 d는 음이 아닌 정수이고 r은_d 임의의 정수다. 상상의 이차적 인수에 대한 eta 인수의 선형 결합은 대수적일 수 있지만 eta 인수의 조합은 정수일 수도 있다. 예를 들어, 정의,

${\displaystyle {\displaysty}j(\tau )j(\tau )&=\왼쪽(\왼쪽)\frac {\eta(\tau )}{\eta (2\tau )}}\오른쪽)^{8}+2^{8}}}\left\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}}^{16}\right)^{3}\\[6pt]j_{2A}(\tau )&=\왼쪽({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}}{\eta (2\tau )}}\오른쪽)^{12}+2^{6}}\left\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}}^{12}\right)^{2}\[6pt]j_{3A}(\tau )&=\왼쪽({\frac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}}}^{6}+3^{3}}}\left\\frac {\eta (3\tau )}{\eta (\tau )}}\오른쪽)^{6}\오른쪽)^{2}\\[6pt]j_{4A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}\\&=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\end{aligned}}}$

베버 모듈러 함수 𝔣(τ)의 24번째 파워로. 그러면

${\displaystyle {\jpart}j\left\frac {1+{\sqrt{-sqrt}{-sqrt}{3},&e^{\pi{\sqrt}}&\약 640320^{3}+743.999999999999925\1998\\[6pt]j_{2A}\왼쪽({\frac {\sqrt {-58}{2}}\오른쪽)&=396^{4},&e^{\pi {\sqrt{58}}&\ 약 396^{4}-104.000017\dots\\[6pt]j_{3A}\왼쪽({\frac{1+{\sqrt{-{\frac{89}{3}}}}}{3}}}}}{{3}}}}=-300^{3}\pi {\sqrt{89}{3}}}}}}}\약 300^{3}+99971\j_{4}{4}A}\왼쪽({\frac {\sqrt {-7}{2}}\\오른쪽)&=2^{12},&e^{\pi {\sqrt{7}}&\약 2^{12}-24.06\dots{정렬}}}}}}}}$

라마누잔-사토 시리즈에 나타나는 가치들 등등.

Eta 인지도는 직접 계산하고 표현하기 어려운 것으로 악명 높은 모듈형 형태의 기초를 기술하는 데 유용한 도구가 될 수 있다. 1993년 바질 고든과 킴 휴즈는 위에 주어진 형태의 eta 지수를 만족한다면_g

${\displaystyle \sum _{0<dr_{d}\equiv 0{\pmod{24}\qad{\text{and}}\quad \sum_{0<d\mid N}{{d}}}{d}}\equad 0{\pmod {24},},}}}}$

η은_g 응집 부분군 γ₀(N)을 위한 중량 k 모듈형 형태로서, 다음과^[4] 같다.

${\displaystyle k={\frac {1}{1}2}}\sum _{0<d\mid N}r_{d}.}$

이 결과는 2019년에 N이 6으로 복사되는 경우의 반전이 유지되도록 확장되었고, N의 모든 정수에 대해 원래의 정리가 날카롭다는 것이 열린 채로 남아 있다.^[5] 이것은 또한 어떤 수준 n 일치 부분군에 대한 모듈형 eta 지수는 그룹 group(N)을 위한 모듈형 형식이어야 한다는 것을 명시한다. 이러한 이론들이 모듈형 eta 인용을 특징짓는 반면, 홀로모르퍼티 상태는 제라드 리고자트와^[6] 이브 마틴의 작업에서 나온 정리를 사용하여 별도로 확인해야 한다.^[7]

η이_g 정수 N에 대해 위의 조건을 만족하는 eta 지수인 경우, c와 d가 동시 시간 정수인 경우, γ₀(N)에 대한 cs/d에서 소멸되는 순서는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {N}{24}\sum _{0<\delta N}{\frac \\delta \rift(d,\delta \right)^{2}r_{\delta \delta }}}.}$

이러한 이론들은 홀로모르픽 모듈형 eta 인수를 만드는 효과적인 수단을 제공하지만, 이것은 모듈형 형태와 정점 형태의 벡터 공간에 대한 기초를 구성하기에 충분하지 않을 수 있다. 모듈형₀ eta 인수의 수를 제한하기 위한 유용한 정리로서, on(N)에 대한 홀로모픽 중량 k 모듈형 eta 인수를 만족시켜야 함을 명시한다.

${\displaystyle \sum _{0<d\mid N} r_{d} \leq \p\mid N}\왼쪽({\frac {p+1}{p-1}\오른쪽)^{\min {\bigl (}2,{\text{ord}}}}{p}(N){bigr ),},},},},},},},},},},},},},},}$

여기서 ord_p(N)는 p가^m N을 나누는 가장 큰 정수 m을 의미한다.^[8] 이러한 결과는 모듈형 eta 인수로 확장될 수 있는 모듈형 형태의 공간에 대한 몇 가지 특성화를 유도한다.^[8] 모듈형 형태의 링 위에 등급이 매겨진 링 구조를 사용하여 eta-quotients의 ℂ-선형 조합으로 구성된 모듈형 형태의 벡터 공간의 베이스를 계산할 수 있다. 예를 들어 N = pq가 반시효라고 가정할 경우 다음 프로세스를 사용하여 M_k(N₀)의 eta-quotient basis를 계산할 수 있다.^[5]

참고 항목

• 쵸우라-셀베르크 공식
• 라마누잔사토 시리즈
• q 시리즈
• 바이에스트라스의 타원 함수
• 파티션 함수
• 크로네커 한계식
• 아핀 리 대수

참조

추가 읽기

• Apostol, Tom M. (1990). Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 41 (2nd ed.). Springer-Verlag. ch. 3. ISBN 3-540-97127-0.
• Koblitz, Neal (1993). Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 97 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-97966-2.