클라인 4군

대수구조 → 군론 군론
기본 개념 서브그룹 정규 부분군 몫군 (반쪽-)다이렉트 프로덕트 군 동형사상 커널 이미지 직접 합계 화환 제품 간단하죠. 유한한 인피니트 계속되는 곱셈의 첨가물 순환의 아벨리안 이면체 무효 해결 가능한 액션. 군론 용어집 그룹 이론 토픽 목록
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개별 그룹 격자 ${\displaystyle \mathbb{}}$($$Z \$displaystyle \mathbb {Z$$$) 자유 그룹 모듈러 그룹 PSL(2,$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ \$style \mathbb {Z$ 표시$)$ SL(2,$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ \$displaystyle \mathbb {Z$ 산술군 격자 쌍곡선 군
토폴로지 그룹 및 Lie 그룹 솔레노이드 원형 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수 직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) 심플렉틱 Sp(n) G2 에프4 E6. E7. E8. 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 미분 동형 고리 무한 차원 리 군 O()) SU()) Sp())
대수군 선형 대수군 환원군 아벨 변종 타원 곡선
v t

수학에서 클라인 4군(Klein 4-group)은 4개의 원소가 있는 군으로, 각 원소가 자기 역행하며(그 원소와 함께 합성하면 동일성이 생성됨), 3개의 비동일성 원소 중 2개를 합성하면 3번째 원소가 생성된다.비사각형(비등식 요소 3개가 수평 및 수직 반사와 180도 회전)의 대칭 그룹으로 설명할 수 있으며, 비트 배타적 또는 2비트 이진 값에 대한 연산의 그룹으로, 더 추상적으로 2차 순환 그룹의 두 복사본의 직접 곱인 Z × Z로₂ 설명할₂ 수 있다.1884년 ^[1]펠릭스 클라인에 의해 비에르그루페라는 이름이 붙여졌다.클라인 그룹이라고도 하며 종종 V 또는 K로₄ 상징됩니다.

4개의 원소가 있는 클라인 4개 그룹은 순환 그룹이 아닌 가장 작은 그룹입니다.이형사상까지는 4차 순환군인 4차 그룹이 하나밖에 없다.둘 다 아벨 군이다.가장 작은 비벨 그룹은 차수가 6인 3차 대칭 그룹입니다.

프레젠테이션

Klein 그룹의 Cayley 표는 다음과 같습니다.

*	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

클라인 4개 그룹은 그룹 프레젠테이션으로도 정의됩니다.

$\displaystyle \mathrm {V} =\left\controlle a,b\mid a^{2}=(ab)^{2}=e\right\rangle .}$

클라인 그룹의 모든 비동일성 요소는 차수 2를 가지므로 위의 프레젠테이션에서 두 개의 비동일성 요소는 생성기로 사용할 수 있습니다.클라인 4개 그룹은 가장 작은 비순환 그룹입니다.그러나 이것은 아벨 군이며, 순서 (카디날리티) 4의 이면체 군과 동형이다. 즉₄, D (또는₂ 기하학적 규약을 사용하는 D); 순서 2의 군을 제외하고, 아벨리안인 유일한 이면체 군이다.

클라인 4군도 직합₂ Z z₂ Z와 동형상이어서 성분별 가산 모듈로 2(또는 동등하게 비트 XOR 아래의 비트 문자열 {00, 01, 10, 11})의 쌍 {(0,0,1), (1,1)}으로 나타낼 수 있다.따라서 클라인 4군은 부울 군이라고도 하는 기본 아벨 2군의 한 예이다.따라서 클라인 4 그룹은 대칭 차이에 의해 생성된 군이기도 하다. 즉, 4개의 요소가 있는 집합의 필드, 예를 들어 {${\displaystyle }$δ, {α ${\displaystyle \},}${${\displaystyle \beta \},}$ {$α, β$ $\{\$alpha}와 같은${\displaystyle }$두 $개$의 요소가 $있는$ 집합의 부분 집합에 대한 이진 연산이다.이 경우 e그룹의 ID 요소.

클라인 4군의 또 다른 수치구조는 집합 {1, 3, 5, 7}이며, 연산은 곱셈 모듈로 8이다.여기서 a는 3, b는 5, c = ab는 3 × 5 = 15 7 7 (mod 8)이다.

클라인의 4개 그룹은 2×2개의 실행렬로 표현되며, 행렬 곱셈 연산은 다음과 같습니다.

$(\displaystyle e=syslog{pmatrix}1&0\\end{pmatrix}),\syslog a=syslog{pmatrix}1&0\end{pmatrix},\syslog b=syslog{pmatrix}-1&0&0\end{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\end$

기하학.

기하학적으로, 2차원에서 클라인 4군은 정사각형이 아닌 마름모꼴과 직사각형의 대칭군이다. 네 가지 요소는 동일성, 수직 반사, 수평 반사, 180도 회전이다.

3차원에는 대수적으로 클라인 4군 V인 3개의 대칭 그룹이 있다.

• 세 개의 수직 2중 회전 축이 있는 것:D₂.
• 2중 회전축과 수직 반사면을 가진 것: C_2h = D_1d
• 2중 회전 축이 반사면(따라서 수직 반사면)에 있는 것:C_2v = D_1h.

치환 표현

클라인 4-그룹에서 순서 2의 세 가지 요소는 서로 교환할 수 있습니다. 즉, V의 자기동형성 그룹은 이 세 가지 요소의 순열 그룹입니다.

클라인 4개 그룹의 자체 요소 순열은 추상적으로 다음 4개 점에 대한 순열 표현으로 생각할 수 있습니다.

V = { , (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) }

이 표현에서 V는 네 글자의 교대 그룹₄ A(및 대칭 그룹₄ S)의 정규 부분군입니다.사실, 그것은 S에서₄ S로 가는₃ 주관적 군 동형사상의 핵심이다.

S 내의 다른₄ 표현은 다음과 같다.

{ (), (1,2), (3,4), (1,2)(3,4)}

{ (), (1,3), (2,4), (1,3)(2,4)}

{ (), (1,4), (2,3), (1,4)(2,3)}

S의 정규_4. 부분군이 아닙니다.

대수학

갈루아 이론에 따르면, 클라인 4원군(특별히 그것의 순열 표현)의 존재로 로도비코 페라리에 의해 설립된 급진 주의자들의 관점에서, 사차 방정식의 뿌리를 계산해 지도 S4→ S3는 용해하는 입방체에, 라그랑주 resolvents의 조건에 해당하는 공식의 존재를 설명한다...

유한환의 구성에서는 4개의 요소를 가진 11개의 고리 중 8개가 클라인의 4그룹을 부가 서브구조로 가지고 있다.

R이 0이 아닌 실수의 곱셈군, R이⁺ 양의 실수의 곱셈군인 경우^×, R^× × R은^× R × R의 단위군이며, R⁺ × R은⁺ R × R의^×× 부분군이다(실제로 R × R의^×× 항등성분이다).몫군^×+(R^× × R) / (R⁺ × R)은 클라인 4군과 동형이다.마찬가지로, 분할 복소수 고리의 단위군을 동일 성분으로 나누면 클라인 4군이 된다.

그래프 이론

클라인의 4개 그룹을 자기동형 그룹으로 인정하는 가장 간단한 연결 그래프는 아래 표시된 다이아몬드 그래프입니다.또한 엔티티가 적다는 점에서 더 단순한 일부 다른 그래프의 자기동형성 그룹입니다.여기에는 4개의 정점과 1개의 모서리가 있는 그래프(단순하게 유지되지만 연결이 끊긴 경우)와 2개의 정점이 서로 2개의 모서리로 연결된 그래프(단순하게 유지됨)가 포함됩니다.

음악

음악 작곡에서 네 그룹은 12음 기법의 배열의 기본 그룹이다.이 경우 케일리 표가 ^[2]작성된다.

S	나:	R:	리:
나:	S	리	R
R:	리	S	I
리:	R	I	S

「 」를 참조해 주세요.

• 사분위기
• 소규모 그룹 목록

레퍼런스

추가 정보

• M. A. 암스트롱(1988) 그룹과 대칭, 스프링거 버락, 53페이지.
• W. E. 반즈(1963) 추상대수 입문, D.C. 히스 & Co., 20페이지.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Vierergruppe". MathWorld.