사분면 곡선

사분면곡선은 4도의 평면 대수곡선이다. 그것은 이바리산 사분위 방정식으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}+Cx^{3}Y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3}++}+++Ax^{3}+Ax^{3}+Gy^{3}+}+}+}+}+}+}++}Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0,}$

하나 이상의 A, B, C, D, E가 0이 아닌 경우. 이 방정식은 15개의 상수를 가지고 있다. 그러나 곡선을 변경하지 않고 0이 아닌 어떤 상수로도 곱할 수 있으므로 적절한 곱셈 상수의 선택에 의해 계수 중 어느 하나라도 1로 설정하여 14개의 상수만 남겨둘 수 있다. 따라서 정사각형 곡선의 공간은 실제 투영 공간 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ P $(\$로 식별할 수 있다$.$ 또한 크레이머의 대수곡선에 대한 정리로부터 정사각형은 14도의 f를 가지기 때문에 일반 위치에서 14개의 구별되는 점 집합을 통과하는 정사각형 곡선이 정확히 1개라는 것을 알 수 있다.갈대질하다

4분위 곡선은 최대 다음 값을 가질 수 있다.

• 연결된 구성 요소 4개
• 바이탱트 28개
• 평범한 더블 포인트 3점.

또한 복잡한 숫자와 같은 다른 필드(또는 짝수 고리)에 대한 사분위수 곡선을 고려할 수 있다. 이렇게 하면 C보다는 1차원 물체지만 R보다는 2차원인 리만 표면을 갖게 된다. 그 예가 클라인 쿼트릭이다. 또한 동종 다항식이 제공하는 투영 평면의 곡선을 볼 수 있다.

예

위의 방정식에서 다양한 계수의 조합은 아래에 열거된 곡선의 다양한 중요한 패밀리를 발생시킨다.

앰퍼샌드 곡선

앰퍼샌드 곡선은 다음과 같은 방정식으로 주어진 사분면 곡선이다.

${\displaystyle \ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.}$

그것은 모두 실제 평면에 3개의 평범한 이중점을 가진 0속이다. ^[1]

콩곡선

콩 곡선은 다음과 같은 방정식을 가진 사분면 곡선이다.

${\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2})).\,}$

콩 곡선은 0속이다. 그것은 기원에 하나의 특이점, 보통의 3중점을 가지고 있다. ^[2][3]

바이쿠시드 곡선

이큐시드는 방정식이 있는 사분면 곡선이다.

${\displaystyle (x^{2}-a^{2})(x-a)^{2}+(y^{2}-a^{2}^{2}^{2}=0\,}$

여기서 a는 곡선의 크기를 결정한다. 이코우시드는 두 개의 큐스만을 특이점으로 가지고 있으며, 따라서 1개의 속이다. ^[4]

활 곡선

활 곡선은 다음과 같은 방정식을 갖는 사분면 곡선이다.

${\displaystyle x^{4}=x^{2}y-y^{3}\,}$

활곡선은 x=0, y=0으로 단일 3중점을 가지며, 결과적으로 속은 0인 합리적 곡선이다. ^[5]

십자형 곡선

십자형 곡선 또는 교차 곡선은 방정식에 의해 주어진 사분면 곡선이다.

${\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,}$

여기서 a와 b는 곡선의 형태를 결정하는 두 개의 모수다. 십자가형 곡선은 표준 2차 변환, x ↦ 1/x, y ↦ 1/y와 타원 도끼²² + by²² = 1에 의해 연관되며, 따라서 속 0의 합리적인 평면 대수 곡선이다. 십자가형 곡선은 실제 투영 평면에서 x=0과 y=0, x=0과 z=0, y=0과 z=0에서 3개의 이중 점을 가진다. ^[6]

곡선은 합리적이기 때문에 합리적인 함수에 의해 파라메트리될 수 있다. 예를 들어, a=1과 b=2일 경우

${\displaystyle x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3},\property y={\frac {t^{2}-2t+5}{2t-2}}}$

분모가 0인 예외적인 경우를 제외하고 곡선의 점을 파라메트리한다.

역피타고라스 정리는 위의 방정식에서 x를 AC로, y를 BC로, a와 b를 각각 CD로 대체하여 얻는데, 여기서 A, B는 직각 삼각형 ABC의 하이포텐션의 끝점이며, D는 우측 각도의 정점인 C에서 하이포텐션으로 떨어진 직각의 발이다.

${\displaystyle {\reasoned}AC^{2}BC^{2}-CD^{2}-CD^{2}-CD^{2}BC^{2}}&=0\\\AC^{2}BC^{2}&=CD^{2}BC^{2}+CD^{2}}\{2}AC^{2}\\\\\{{CD^{1}{1}{{CD^{2}}={\frac{BC^{2}}}}}{\frac{BC^{2}}}}}}}}{{{\frac}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{}}}}}AC^{2}\cdot BC^{2}}+{\frac{AC^{2}}}{{{}}}{{{}}}}{{{}}}}}}{{}}}}}}}AC^{2}\cdot BC^{2}}\\\그러므로 \;\\\frac {1}{CD^{1}}&={\frac {1}{\frac {1}{{{}}}}}{\frac}{1}{1}{\frac}{1}{}}}}{\frac}{1}{}}}}}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{정렬}}}}}}$

나선단면

나선형 단면은 x축과 y축에 대해 대칭인 2분자 정사각형 곡선으로 정의할 수 있다. 나선형 부분은 토릭 섹션 계열에 포함되며, 히포페이드 계열과 카시니 난자 계열이 포함된다. 이름은 고대 그리스어로 토루스를 뜻하는 σusιρα에서 유래했다.

데카르트 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,}$

극좌표 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,}$

세 잎 클로버(트리플륨)

세 잎 클로버 또는 삼겹살은^[7] 사분면 곡선이다.

${\displaystyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,}$

y에 대해 해결함으로써 곡선은 다음과 같은 함수로 설명할 수 있다.

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2}}}}}{2}}},}$

여기서 ±의 두 가지 외형은 서로 독립적이며, 각 x에 대해 최대 4개의 뚜렷한 y 값을 제공한다.

곡선의 모수 방정식은

$#\displaystyle x=\cos(3t)\cos t,\cos y=\cos(3t)\sin t.\,}$^[8]

극좌표(x = r cos φ, y = r sin φ)에서 방정식은 다음과 같다.

$#\displaystyle r=\cos(3\varphi )\,}$

k = 3인 장미 곡선의 특수한 경우다. 이 곡선은 원점(0, 0)에 삼중점이 있고 이중 접선이 3개 있다.

참고 항목

• 3차 사분위수
• 사분위의 이탄젠트

참조