수학에서 G-함수 는 코넬리스 사이먼 메이저 (1936년 )에 의해 알려진 특수함수 의 대부분을 특정 사례로 포함시키기 위한 매우 일반적인 함수 로 도입되었다. 일반화된 초지하학 기능과 맥로버트 E 기능 은 같은 목적을 가지고 있었지만, 메이저의 G-기능은 특정한 경우로서도 포함시킬 수 있었다. 첫 번째 정의는 Meijer에 의해 시리즈 를 사용하여 만들어졌다; 오늘날에는 받아들여지고 더 일반적인 정의는 1953년 Arthur Erdelyi 에 의해 그것의 전체 일반성에 소개된 복잡한 평면 에 통합된 선 을 통해 이루어진다.
현대적 정의로, 확립된 특수기능의 대다수를 메이저 G기능의 관점에서 나타낼 수 있다. 주목할 만한 특성은 차별화뿐만 아니라 무한 통합 상태에서도 모든 G 기능 세트를 폐쇄 하는 것이다. G-함수 G (z )의 주장 z 의 일정한 힘인 요인 z 로부터ρ 함수 방정식 과 결합하여, 폐쇄는 함수가 함수 인수의 일정한 힘, f(x ) = G (cx γ 암시 한다. 이 기능도 표현 가능하다.
특수 기능의 광범위한 적용은 또한 파생상품과 반물질의 표현과 조작 이외의 마이저의 G기능의 사용에 힘을 빌려준다. 예를 들어, 확실한 두 G-functions의 합리적인 γ/δ는 단지 또 다른 G-function를 가지고 있는 제품 G1(cxγ)·G2(dxδ)로 쓸 수 있는 어떤 함수 g())의 긍정적인 실축에 대한 푸리에 변환과 라플라스 변환과 그들의 inverses 같은 적분 변환의 일반화 발생할 때 적합한 G-function pa. 적분irs 변형 커널로 고용되었다.
마이어의 G기능에 추가 파라미터를 도입하는 보다 일반적인 기능은 폭스사의 H기능 이다.
메이저 G-함수의 정의 메이저 G 기능의 일반적 정의는 복합 평면 (Bateman & Erdelyi 1953 , § 5.3-1)에 통합 된 다음 라인 에 의해 제시된다.
G p , q m , n ( a 1 , … , a p b 1 , … , b q z ) = 1 2 π i ∫ L ∏ j = 1 m Γ ( b j − s ) ∏ j = 1 n Γ ( 1 − a j + s ) ∏ j = m + 1 q Γ ( 1 − b j + s ) ∏ j = n + 1 p Γ ( a j − s ) z s d s , {\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right \,z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}\,z^{s}\,ds,} 여기서 γ은 감마 함수 를 나타낸다. 이 적분은 소위 멜린-반스 유형 의 것으로, 역 멜린 변환 으로 볼 수 있다. 이 정의는 다음과 같은 가정을 전제로 한다.
0 ≤ m ≤ q 와 0 ≤ n ≤ p , 여기서 m , n, p , q 는 정수다. ak j n 및 j = 1, 2, ..., m 의 경우, b j b - s), j = 1, 2, ...m 의 어떤 극도 γ(1 - a k s ), k = 1, 2, ...n 의 극과 일치하지 않음을 의미한다.z ≠ 0역사적 이유로 첫 번째 하한 및 두 번째 상한 지수는 상단 매개변수 행을 참조하고, 두 번째 하한 및 첫 번째 상한 지수는 하단 매개변수 행을 참조한다. 벡터 를 사용한 다음과 같은 합성 표기법과 자주 마주친다.
G p , q m , n ( a 1 , … , a p b 1 , … , b q z ) = G p , q m , n ( a p b q z ) . {\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}a_{1},\reason, a_{p}\b_{1},\reason,b_{q}\end}\;\right \,z\right)= G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{b}\\오른쪽 \z\right). } 컴퓨터 대수 시스템 에서 G-함수의 구현은 일반적으로 4개의 (비었을 가능성이 있는) 매개변수 그룹 1 a ... a n a n +1a p b 1 ...bm m +1 q p , q , n , m의 순서 는 중복으로 생략할 수 있다.
적분 내 L 은 적분하는 동안 따라야 할 경로를 나타낸다. 이 경로에 대해 세 가지 선택이 가능하다.
1. L 은j b - s), j = 1, 2, ...m의 모든 극이 경로 오른쪽 에 있고, m (1 - a + s), k = 1, 2, ...n 의 모든 극은 왼쪽에 있도록 -ii에서 +i ∞까지k 그런 다음 적분은 arg z < Δπ 에 수렴한다. δ = m + n − 1 2 ( p + q ) ; {\displaystyle \cHB =m+n-{\tfrac {1}{2}}(p+q);} 이것에 대한 명백한 전제조건은 Δ > 0이다. (q - p ) (δ q ) + 1에 대한 2 arg z에 대한 적분은 추가로 수렴되며, 여기서 σ 은 통합 변수 s 가 +i ∞과 -i∞ 둘 다에 접근함에 따라 Re(s )를 나타낸다. ν = ∑ j = 1 q b j − ∑ j = 1 p a j . {\displaystyle \nu =\sum _{j=1}b_{j}-\sum _{j=1}^{p}a_{j}. } 원뿔형으로서, arg z = Δ π 및 p = q 의 경우, Re(ν ) < -1 때마다 whenever과 독립적 으로 통합된다. 2. L is a loop beginning and ending at +∞, encircling all poles of Γ(b j s ), j = 1, 2, ..., m , exactly once in the negative direction, but not encircling any pole of Γ(1 − a k s ), k = 1, 2, ..., n . Then the integral converges for all z if q > p ≥ 0; it also converges for q = p > 0 as long as z < 1. 후자의 경우, Re( re) > -1일 경우 적분은 z = 1에 추가로 수렴되며, 여기서 ν 은 첫 번째 경로에 대해 정의된다. 3.L은 루프 시작과−∞에 Γ(1− 10월.+s), k의 모든 전주를 종료=1,2,...,, 일단 정확히 말하자면 긍정적인 방향에 와 있지만 p입니다. 모든 z..., m이제 정수 converges Γ(bj − s)의 폴, j=1,2, 감싸지 않으며 q ≥ 0;그것은 또한 p)q을에 전진;0한 z>1.이 사건에 두번째 경로도. p = q 의 적분은 또한 Re(제곱 ) < -1일 때 z = 1에 수렴한다.수렴 조건은 스털링의 점증적 근사치 를 통합체의 감마함수에 적용하여 쉽게 확립된다. 통합이 이러한 경로들 중 하나 이상에 대해 수렴될 때, 통합의 결과는 일치한다는 것을 보여줄 수 있다; 만약 통합이 하나의 경로에 대해서만 수렴된다면, 이것은 고려되어야 할 유일한 것이다. 실제로 복잡한 평면의 수치 경로 통합은 메이저 G 기능 계산에 대한 실행 가능하고 합리적인 접근방식을 구성한다.
이 정의의 결과로, 메이저 G 기능은 원점 z = 0과 단위 원 z = 1을 제외한 z 의 분석 함수 다.
미분방정식 G-함수는 오더 max(p ,q )의 다음과 같은 선형 미분 방정식 을 만족한다.
[ ( − 1 ) p − m − n z ∏ j = 1 p ( z d d z − a j + 1 ) − ∏ j = 1 q ( z d d z − b j ) ] G ( z ) = 0. {\displaystyle \left[(-1)^{p-m-n}\;z\prod _{j=1}^{p}\left(z{\frac {d}{dz}}-a_{j}+1\right)-\prod _{j=1}^{q}\left(z{\frac {d}{dz}}-b_{j}\right)\right]G(z)=0. } p ≤ q 의 경우에 이 방정식의 근본적인 해결책 집합에는 다음이 필요할 수 있다.
G p , q 1 , p ( a 1 , … , a p b h , b 1 , … , b h − 1 , b h + 1 , … , b q ( − 1 ) p − m − n + 1 z ) , h = 1 , 2 , … , q , {\displaystyle G_{p,q}^{\,1,p}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{h},b_{1},\dots ,b_{h-1},b_{h+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right \,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,q,} 그리고 마찬가지 로 p q q의 경우:
G p , q q , 1 ( a h , a 1 , … , a h − 1 , a h + 1 , … , a p b 1 , … , b q ( − 1 ) q − m − n + 1 z ) , h = 1 , 2 , … , p . {\displaystyle G_{p,q}^{\,q,1}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}a_{h},a_{1},\dots ,a_{h-1},a_{h+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right \,(-1)^{q-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,p.} 이러한 특정 솔루션은 z = 0에서 발생할 수 있는 특이점 (z = ∞)과 p = q 에서 발생할 수 있는 특이점(-1)을 제외하고 분석적이다.p −m −n 현재에서 볼 수 있듯이, 그것들은 각각 검정력 b h p −m −n z 의 일반화된 초계함수 q −1검정력 a h q −m −n 1 −1 ) z의 일반화된 초계함수 F 로p −1
G-기능과 일반화된 초기하 함수의 관계 위 에서 소개한 두 번째 경로 를 따라 평가했을 때 적분이 수렴되고, ((bj - s), j = 1, 2, ..., m , m 사이에 합체극 이 나타나지 않으면, 메이저 G 기능 은 일반화된 초기하 함수 F q −1잔류물 의 합으로 표현할 수 있다.
G p , q m , n ( a p b q z ) = ∑ h = 1 m ∏ j = 1 m Γ ( b j − b h ) ∗ ∏ j = 1 n Γ ( 1 + b h − a j ) z b h ∏ j = m + 1 q Γ ( 1 + b h − b j ) ∏ j = n + 1 p Γ ( a j − b h ) × {\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right \,z\right)=\sum _{h=1}^{m}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-b_{h})^{*}\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1+b_{h}-a_{j})\;z^{b_{h}}}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1+b_{h}-b_{j})\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-b_{h})}}\times } p F q − 1 ( 1 + b h − a p ( 1 + b h − b q ) ∗ ( − 1 ) p − m − n z ) . {\displaystyle _{p}F_{q-1}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\\mathbf{a_{h}-\mathbf {a_{p}}\(1+b_{h}-\mathbf{b_{q}}}^{*}\end{b}}\;\right \, (-1)^{p-m-n}\;z\rig\right)). } 별은 j = h 에 해당하는 용어가 생략되었음을 나타낸다. 두 번째 경로를 따라 수렴하기 위한 적분 에는 p < q , 또는 p = q 와 z < 1이 있어야 하며, 극이 구별되려면 b 중 j m 은 정수 또는 0으로 다를 수 있다. 관련 별표는 다음과 같이 지수 j = h 를 사용한 기여를 무시하도록 상기시킨다. 제품에서 이것은 γ(0)을 1로 대체하는 것과 같으며, 초기하 함수의 주장에서 벡터 표기법의 의미를 상기하면,
1 + b h − b q = ( 1 + b h − b 1 ) , … , ( 1 + b h − b j ) , … , ( 1 + b h − b q ) , {\displaystyle 1+b_{h}-\mathbf {b_{q}} =(1+b_{h}-b_{1}),\,\,\(1+b_{h}-b_{j}),\,\,\,(1+b_{h}-b_{q}),},},},},} 이는 벡터 길이를 q 에서 q-1로 단축하는 양이다.
m = 0일 때, 두 번째 경로에는 폴이 없으므로 적분은 동일하게 사라져야 한다.
G p , q 0 , n ( a p b q z ) = 0 , {\displaystyle G_{p,q}^{,0,n}\! \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{b}\{b}\{q}}\end}\\오른쪽 \z\오른쪽)=0,} p < q , 또는 p = q 와 z < 1인 경우.
마찬가지로, 위의 세 번째 경로를 따라 평가할 때 적분이 수렴되고, ((1 - a k s ), k = 1, 2, ..., n 사이에 합체극이 나타나지 않으면 G-함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.
G p , q m , n ( a p b q z ) = ∑ h = 1 n ∏ j = 1 n Γ ( a h − a j ) ∗ ∏ j = 1 m Γ ( 1 − a h + b j ) z a h − 1 ∏ j = n + 1 p Γ ( 1 − a h + a j ) ∏ j = m + 1 q Γ ( a h − b j ) × {\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}\end{matrix}\\\right \\h=1}^{n}}\sum _{h=1}{h=1}{j=1}^{n}\ma_{j} ^{*}\prod _{j=1}^{m}\Gamma (1-a_{h}+b_{j})\;z^{a_{h}-1}}{\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (1-a_{h}+a_{j})\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (a_{h}-b_{j})}}\times } q F p − 1 ( 1 − a h + b q ( 1 − a h + a p ) ∗ ( − 1 ) q − m − n z − 1 ) . {\displaystyle _{q}F_{p-1}\! \왼쪽(\왼쪽) \\\\mathbf{b_a_{h}+\mathbf {b_{q}\(1-a_{h}+\mathbf {a_{p}}}^{*}\end{p}}\;\right \, (-1)^{q-m-n-z^{-1}\}\rig}\rig)\right. } 이를 위해 p > q 또는 p = q 와 z > 1이 필요하며, a k k = 1, 2, ..., n 중 어떤 쌍도 정수나 0으로 차이가 나지 않을 수 있다. n = 0의 경우 결과적으로 다음이 있다.
G p , q m , 0 ( a p b q z ) = 0 , {\displaystyle G_{p,q}^{\,m,0}\! \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{b}\{b}\{q}}\end}\\오른쪽 \z\오른쪽)=0,} p > q 또는 p = q 와 z > 1인 경우.
한편, 일반화된 초기하 함수는 Meijer G-함수의 관점에서 쉽게 표현할 수 있다.
p F q ( a p b q z ) = Γ ( b q ) Γ ( a p ) G p , q + 1 1 , p ( 1 − a p 0 , 1 − b q − z ) = Γ ( b q ) Γ ( a p ) G q + 1 , p p , 1 ( 1 , b q a p − z − 1 ) , {\displaystyle \;_{p}F_{q}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{matrix}\\오른쪽 \\\matrix}}={\frac {\mathbf {b_{q}}}}}}\mathbf {a_{p}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\;;;;; G_{p,\,q+1}^{\,1,\,p}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}1-\mathbf {a_{p}} \\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right \,-z\right)={\frac {\Gamma (\mathbf {b_{q}} )}{\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}}\;G_{q+1,\,p}^{\,p,\,1}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB{b}1,\mathbf {b_{q}\\\\\\\end{a_{p}}\오른쪽 \,-z^{1}\오른쪽),} 벡터 표기법을 사용한 경우:
Γ ( a p ) = ∏ j = 1 p Γ ( a j ) . {\displaystyle \감마(\mathbf {a_{p})=\prod _{j=1}^{p}\감마(a_{j}). } 최소 한 해당 매개 변수 난 0또는 0보다 작은. 정수 값은 어떤 경우에 G-function 사라지고 그 G-functions의 매개 변수 집합의 감마 후자에 곱하는 인자 −는 요구 사항을 10월.을 위반하는 유한한 다항식에, 초기 하학 기능을 떨어뜨리이 보유하고 있bj ≠ 1,2,3,...k에=1,2,...n과 j=1,2,...,. 그렇지만에서 m.ini 위쪽의 이 제한사항과는 별도로, 일반화된 초기하계 영상 시리즈 q z )가 수렴할 때마다, 즉 p q q일 때는 유한 z, p = q + 1일 때는 z < 1에 대해 관계가 유효하다. 후자의 경우, G-함수와의 관계는 실제 축을 따라 1에서 to까지의 분기로 F q z )와 z ≥ 1의 분석적 연속성을 자동으로 제공한다. 마지막으로, 관계는 p > q + 1의 순서로 초기하 함수의 정의의 자연적 확장을 제공한다. 따라서 G-함수 를 통해 p > q + 1에 대한 일반화된 초기하 미분 방정식을 해결할 수 있다.
다항식 케이스 일반화된 초기하 함수의 다항식 사례를 Meijer G-functions 관점에서 표현하려면 일반적으로 두 개의 G-functions의 선형 결합이 필요하다.
p + 1 F q ( − h , a p b q z ) = h ! ∏ j = n + 1 p Γ ( 1 − a j ) ∏ j = m + 1 q Γ ( b j ) ∏ j = 1 n Γ ( a j ) ∏ j = 1 m Γ ( 1 − b j ) × {\displaystyle \;_{p+1}F_{q}\! \왼쪽(\왼쪽) \\\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{b}\\오른쪽 \z\오른쪽)=h! \;{\frac {\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (1-a_{j})\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (b_{j})}{\prod _{j=1}^{n}\Gamma (a_{j})\prod _{j=1}^{m}\Gamma (1-b_{j})}}\times } [ G p + 1 , q + 1 m + 1 , n ( 1 − a p , h + 1 0 , 1 − b q ( − 1 ) p − m − n z ) + ( − 1 ) h G p + 1 , q + 1 m , n + 1 ( h + 1 , 1 − a p 1 − b q , 0 ( − 1 ) p − m − n z ) ] , {\displaystyle \left[G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}1-\mathbf {a_{p}} ,h+1\\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right \,(-1)^{p-m-n}\;z\right)+(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\! \왼쪽(\왼쪽) \\\mathbf {a_{p}\\\\\1-\mathbf {b_},0\end{nd}}\;\오른쪽 \,(-1)^{p-m-n}\;z\right],} 여기서 h = 0, 1, 2, ...는 다항식 F q z )의 정도와 같다. m 과 n 의 순서는 0 ≤ m ≤ q 와 0 n n p p 범위에서 자유롭게 선택할 수 있으며, 이는 다항식의 매개변수 a 와p b q G-함수의 정의 와 충돌하는 것을 피할 수 있다. 첫 번째 G-함수는 p > q 일 경우 n = 0, 두 번째 G-함수는 m = 0일 경우 소멸한다는 점에 유의 한다. p < q . 다시 두 가지 G-함수를 잔류물 의 합으로 표현함으로써 공식은 확인할 수 있다. G-함수의 정의에 의해 허용되는 혼합극 의 경우는 여기에서 제외할 필요가 없다.
G-기능의 기본 특성 G-함수의 정의 에서 알 수 있듯이, 분자와 통합자의 분모를 결정하는 a 와p b q 순서 m 또는 n 의 감소 여부는 해당 매개변수의 특정 위치에 따라 달라진다. 따라서 a k k = 1, 2, ..., n 중 하나가 b j j = m + 1, ..., q 중 하나라면 G-함수는 p, q , n :
G p , q m , n ( a 1 , a 2 , … , a p b 1 , … , b q − 1 , a 1 z ) = G p − 1 , q − 1 m , n − 1 ( a 2 , … , a p b 1 , … , b q − 1 z ) , n , p , q ≥ 1. {\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}a_{1}a_{1},\cHB_{1},\a_{p}\\b_{1},\cHB_{1},a_{1}\end}\;\right \,z\right) =G_{p-1,\,q-1}^{\,m,\,n-1}\! \왼쪽(\왼쪽) {\pair{pair}a_{2},\pa_{p}\b_{1},\fair,b_{q-1}\end{pair}\\\right \p,q\geq 1.} 같은 k k = n + 1, ..., p 중 하나 가j j = 1, 2, ..., m 중 하나라면, G-함수는 그 주문 을 p , q , m:
G p , q m , n ( a 1 , … , a p − 1 , b 1 b 1 , b 2 , … , b q z ) = G p − 1 , q − 1 m − 1 , n ( a 1 , … , a p − 1 b 2 , … , b q z ) , m , p , q ≥ 1. {\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}a_{1},\cHB,a_{p-1},b_{1}\\b_{1},b_{2},\cHB,b_{q}\end}\;\right \,z\right) =G_{p-1,\,q-1}^{\,m-1,\,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}a_{1},\reason, a_{p-1}\\b_{2},\reason,b_{q}\end}\;\right \p,q\geq 1.} 정의에서 시작하여 다음과 같은 특성을 도출할 수도 있다.
z ρ G p , q m , n ( a p b q z ) = G p , q m , n ( a p + ρ b q + ρ z ) , (\displaystyle z^{\rho }\;) G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{b}\\오른쪽 \z\right)= G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\mathbf{a_{p}} +\rho \\mathbf {b_{q} +\rho \end}\;\오른쪽 \z\오른쪽),} G p + 2 , q m , n + 1 ( α , a p , α ′ b q z ) = ( − 1 ) α ′ − α G p + 2 , q m , n + 1 ( α ′ , a p , α b q z ) , n ≤ p , α ′ − α ∈ Z , {\displaystyle G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}\alpha}\mathbf {a_{p}},\alpha '\\\\mathbf {b_{b}}\end{matrix}\;\right)=(-1)^{\alpha '-\-\lpha }, g_{p+2, q}^{m,n1}! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}\alpha ',\mathbf {a_{p}},\alpha \\mathbf {b_{q}}\end{matrix}\;\right\\\cH00)\quad n\leq p,\\\\\nalpha '-\mathb {Z},},},} G p , q + 2 m + 1 , n ( a p β , b q , β ′ z ) = ( − 1 ) β ′ − β G p , q + 2 m + 1 , n ( a p β ′ , b q , β z ) , m ≤ q , β ′ − β ∈ Z , {\displaystyle G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}\mathbf {a_{p}\\\\mathbf {b_{q}}\\mathbf '\end{z\right}\\\\right\\\\\#1]^{-\mathbf '-\i1}\;;;;;;; G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}\mathbf {a_{p}\\beta ',\mathbf {b_{q}}\beta \end{matrix}\;\오른쪽 \z\right)\quad m\leq,\\\\beta \mathb {Z},},} G p + 1 , q + 1 m , n + 1 ( α , a p b q , β z ) = ( − 1 ) β − α G p + 1 , q + 1 m + 1 , n ( a p , α β , b q z ) , m ≤ q , β − α = 0 , 1 , 2 , … , {\displaystyle G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}\alpha}\mathbf {a_{p}\\mathbf {b_{q}}\beta \end{matrix}\;\right\\\\\\bea }=(-1)^{\\\beta -\lapa },\{p+1,n} \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf {a_{p}}, \mathbf {b_{q}\end{b}\;\right \nd{nd}\;\right\\\mathbf \leq,\ft=0,1,2,\mathbf;} G p , q m , n ( a p b q z ) = G q , p n , m ( 1 − b q 1 − a p z − 1 ) , {\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{b}\\오른쪽 \z\right)= G_{q,p}^{\,n,m}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB{b}-\mathbf {b_{q}\\\1-\mathbf {a_{p}}\end{p}}\\오른쪽 \,z^{1}\right),} G p , q m , n ( a p b q z ) = h 1 + ν + ( p − q ) / 2 ( 2 π ) ( h − 1 ) δ G h p , h q h m , h n ( a 1 / h , … , ( a 1 + h − 1 ) / h , … , a p / h , … , ( a p + h − 1 ) / h b 1 / h , … , ( b 1 + h − 1 ) / h , … , b q / h , … , ( b q + h − 1 ) / h z h h h ( q − p ) ) , h ∈ N . {\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\mathbf{a_{p}\\\mathbf{b_{q}}\end{b_}}\{b_}\{b_}\오른쪽 \\z\right)={\\frac {h^{h^{1+\nu+(p-q)+{{2\pi)^{{{{-1)\}}\}\}\}\};;;; G_{hp,\,hq}^{\,hm,\,hn}\!\왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}a_{1}/h,\dots ,(a_{1}+h-1)/h,\dots ,a_{p}/h,\dots ,(a_{p}+h-1)/h\\b_{1}/h,\dots ,(b_{1}+h-1)/h,\dots ,b_{q}/h,\dots ,(b_{q}+h-1)/h\end{matrix}}\;\right \,{\frac {z^{h}}{h^{h(q-p)}}}\right),\quad h\in \mathbb {N} .} 약칭 ν 과 Δ 는 위의 G 기능의 정의 에서 도입되었다.
파생상품 및 반물질 G-함수의 파생상품 과 관련하여 다음과 같은 관계를 발견한다.
d d z [ z 1 − a 1 G p , q m , n ( a p b q z ) ] = z − a 1 G p , q m , n ( a 1 − 1 , a 2 , … , a p b q z ) , n ≥ 1 , {\displaystyle {\frac {d}{dz}\왼쪽[z^{1-a_{1}}\; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{{b}\;\오른쪽 \z\right)\right]=z^{-a_{1}}\;;; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) \\\end{paff}a_{1}-1,a_{2},\mathbf {b_{b}\\\\mathbf{b}}\end{p}\;\right \z\right),\mathbf n\geq 1,} d d z [ z 1 − a p G p , q m , n ( a p b q z ) ] = − z − a p G p , q m , n ( a 1 , … , a p − 1 , a p − 1 b q z ) , n < p . {\displaystyle {\frac {d}{dz}\왼쪽[z^{1-a_{p}\; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{{b}\\;\오른쪽 \z\right)\right]=-z^{-a_{p}\;;; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}a_{1},\cHB ,a_{p-1}\\\\mathbf {b_{q}}\end{p}}\{p}\\오른쪽 \z\right),\cHB n<p. } d d z [ z − b 1 G p , q m , n ( a p b q z ) ] = − z − 1 − b 1 G p , q m , n ( a p b 1 + 1 , b 2 , … , b q z ) , m ≥ 1 , {\displaystyle {\frac {d}{dz}\왼쪽[z^{-b_{1}}\; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{b}\;\오른쪽 \z\right)\right]=-z^{-1-b_{1}}\;;;; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}\mathbf {a_{p}\\\\\b_{1}+1,b_{2},\cHB,b_}\{q}\end}\;\오른쪽 \z\오른쪽)\m\geq1,} d d z [ z − b q G p , q m , n ( a p b q z ) ] = z − 1 − b q G p , q m , n ( a p b 1 , … , b q − 1 , b q + 1 z ) , m < q , {\displaystyle {\frac {d}{dz}\왼쪽[z^{-b_{q}}\; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}\end{b}\\\오른쪽 \z\right)\right]=z^{-1-b_{q}\;; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}\mathbf {a_{p}\\\\\b_{q-1},b_{q-1}\{q}+1\end{z\right}\\\right \\\cHBFF,}\cHB m<q,} 이 네 가지 중에서 왼쪽의 파생상품만 평가하고 조금 조작하면 등가 관계를 추론할 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.
z d d z G p , q m , n ( a p b q z ) = G p , q m , n ( a 1 − 1 , a 2 , … , a p b q z ) + ( a 1 − 1 ) G p , q m , n ( a p b q z ) , n ≥ 1. {\displaystyle z{\frac {d}{dz}\; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{b}\\오른쪽 \z\right)= G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) \\\end{{pa_a_{1}-1,a_{2},\na_{p}\\\\\mathbf{b_{b_{q}}\\end{p}\;\right \\\cHB}+(a_{1}-1)\;; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{b}\\오른쪽 \z\오른쪽)\mathbf 1.} 더욱이 임의의 순서 h 의 파생상품의 경우, 다음과 같이 한다.
z h d h d z h G p , q m , n ( a p b q z ) = G p + 1 , q + 1 m , n + 1 ( 0 , a p b q , h z ) = ( − 1 ) h G p + 1 , q + 1 m + 1 , n ( a p , 0 h , b q z ) , {\displaystyle z^{h}{\frac {d^{h}}{dz^{h}}\; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{b}\\오른쪽 \z\right). =G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}0,\mathbf {a_{p}}\\\mathbf {b_},h\end{matrix}\\\\\\오른쪽 \\\\\\\\\\\\\\\\\ 오른쪽 \\\\\\-1)^{h}\;G_{p+1,\,\,q+1}^{p+1}^{n}^{n}^{p+1,\,{n}\, \왼쪽(\왼쪽) {\\mathbf {a_{p},0\\h,\mathbf {b_{q}} \end{nd}\;\오른쪽 \z\오른쪽),} z h d h d z h G p , q m , n ( a p b q z − 1 ) = G p + 1 , q + 1 m + 1 , n ( a p , 1 − h 1 , b q z − 1 ) = ( − 1 ) h G p + 1 , q + 1 m , n + 1 ( 1 − h , a p b q , 1 z − 1 ) , {\displaystyle z^{h}{\frac {d^{h}}{dz^{h}}\; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{b}\\오른쪽 \,z^{1}\오른쪽) =G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}\mathbf {a_{p}, 1-h\\1,\mathbf {b_{q}}\end{matrix}\\\\\\우측 \,z^{-1}=(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{m,n+1}! \왼쪽(\왼쪽) \\\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}},1\end{nd}\\\오른쪽 \,z^{-1}\,} 이는 또한 h < 0을 유지하므로 파생 모델처럼 쉽게 G-함수의 해독제 를 얻을 수 있다. 어느 공식에 제시된 두 가지 결과 중 하나 또는 다른 하나를 선택함으로써 G-함수의 정의 에 의해 부과되는 k = 1, 2, ..., n 및 j = 1, 2, 2, ...m 에 대해 결과의 매개변수 집합이 a k b j h < 0의 경우 각 결과 쌍이 불평등하게 된다는 점에 유의한다.
이러한 관계에서 가우스 초지하학 함수 와 기타 특수 함수의 해당 특성을 도출할 수 있다.
재발관계 1차 파생상품에 대해 서로 다른 표현을 동일시함으로써, 연속적인 G 기능들 간의 다음과 같은 3차 재발 관계에 도달한다.
( a p − a 1 ) G p , q m , n ( a p b q z ) = G p , q m , n ( a 1 − 1 , a 2 , … , a p b 1 , … , b q z ) + G p , q m , n ( a 1 , … , a p − 1 , a p − 1 b 1 , … , b q z ) , 1 ≤ n < p , {\displaystyle(a_{p}-a_{1}\; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{b}\\오른쪽 \z\right)= G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}a_{1}-1,a_{2},\reason,a_{p}\\b_{1},\reason,b_{q}\end}\;\right \,z\right)++ G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}a_{1},\reason,a_{p-1}\\b_{1},\reason,b_{1},\reason,b_{q}\end}\;\right \,\reason 1\leq n<p,},} ( b 1 − b q ) G p , q m , n ( a p b q z ) = G p , q m , n ( a 1 , … , a p b 1 + 1 , b 2 , … , b q z ) + G p , q m , n ( a 1 , … , a p b 1 , … , b q − 1 , b q + 1 z ) , 1 ≤ m < q , {\displaystyle(b_{1}-b_{q}\; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{b}\\오른쪽 \z\right)= G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}a_{1},\i1\a_{p}\\b_{1}+1,b_{2},\i1\b_{b_},\i1\b_{q}\d}\;\right \,z\right)++ G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}a_{1},\reason,a_{p}\\b_{1},\reason,b_{q-1},b_{q-1}+1\end{z\right},\right \reason 1\leq m<q,} ( b 1 − a 1 + 1 ) G p , q m , n ( a p b q z ) = G p , q m , n ( a 1 − 1 , a 2 , … , a p b 1 , … , b q z ) + G p , q m , n ( a 1 , … , a p b 1 + 1 , b 2 , … , b q z ) , n ≥ 1 , m ≥ 1 , {\displaystyle (b_{1}-a_{1}+1)\; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{b}\\오른쪽 \z\right)= G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}a_{1}-1,a_{2},\reason,a_{p}\\b_{1},\reason,b_{q}\end}\;\right \,z\right)++ G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\pairs{pair}a_{1},\pa_\b_{1}+1,b_{2},\pair,b_{q}\end{z\right}\\pair,\pair n\geq 1,\m\geq 1,} ( a p − b q − 1 ) G p , q m , n ( a p b q z ) = G p , q m , n ( a 1 , … , a p − 1 , a p − 1 b 1 , … , b q z ) + G p , q m , n ( a 1 , … , a p b 1 , … , b q − 1 , b q + 1 z ) , n < p , m < q . {\displaystyle(a_{p}-b_{q}-1)\; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{b}\\오른쪽 \z\right)= G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}a_{1},\reason,a_{p-1\\\b_{1},\reason,b_{q}\end}\;\right \,z\오른쪽)++ G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}a_{1},\reason,a_{p}\\b_{1},\reason,b_{q-1},b_{q}+1\end}\;\right \,\right \,\cHB,\p,\;m<q]),\caff. } 대각선 매개변수에 대한 유사한 관계는 위 의1 적절한 조합에 의한 1 a, b, b 를q 쌍 으로p 다시 말하지만, 초지압과 다른 특수 기능의 해당 특성은 이러한 재발 관계에서 도출될 수 있다.
곱셈 정리 z ≠ 0을 전제로, 다음 관계는 다음과 같다.
G p , q m , n ( a p b q w z ) = w b 1 ∑ h = 0 ∞ ( 1 − w ) h h ! G p , q m , n ( a p b 1 + h , b 2 , … , b q z ) , m ≥ 1 , {\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\mathbf{a_{p}}\\\mathbf {b_{q}}\end{{b}\;\right\wz\right)=w^{b_{1}:{h=0}^{h=0}{\frac{(1-w)^{h! }}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}\mathbf {a_{p}\\\\\b_{1}+h,b_{2},\b_{q}\end}\;\right \,\cHB_{z\weight)\m\geq1,} G p , q m , n ( a p b q w z ) = w b q ∑ h = 0 ∞ ( w − 1 ) h h ! G p , q m , n ( a p b 1 , … , b q − 1 , b q + h z ) , m < q , {\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\mathbf{a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{{b_}\;\오른쪽 \wz\right)=w^{b_{q}}\sum _{h=0}^{h=}{\frac{(w-1)^{h}{h! }}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf {a_{p}\\\b_{1}}\\\\\\b_{q-1},b_{q}+h\end{z\right}\\\right \\\cH00\;\right\right \\cH00\cH00\cH}\cH,}}\cH}\cH00\cH00\\\cH}}} G p , q m , n ( a p b q z w ) = w 1 − a 1 ∑ h = 0 ∞ ( 1 − w ) h h ! G p , q m , n ( a 1 − h , a 2 , … , a p b q z ) , n ≥ 1 , {\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}\mathbf{a_{p}\\\mathbf{b_{q}}\end{b}\}\오른쪽 \\\\\\{\frac{z}{w}}}}\w^{1-a_{1}{h=0}^{{h! }}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) \\\end{paff}a_{1}-h,a_{2},\mathbf {b_{b}\\\mathbf{b}}\end{p}\;\right \z\right),\mathbf n\geq 1,} G p , q m , n ( a p b q z w ) = w 1 − a p ∑ h = 0 ∞ ( w − 1 ) h h ! G p , q m , n ( a 1 , … , a p − 1 , a p − h b q z ) , n < p . {\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{b}\\}\오른쪽 \,{\frac {z}{w}}\오른쪽)=w^{1-a_{p}}\sum _{h=0}^{h}}}}}}{h! }}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}a_{1},\cH_{p-1}a_{p-1}a_{p}-h\\\\\mathbf {b_{q}}\end{p}\\\오른쪽 \z\right),\cHN<p. } 위와 같은 기본 속성 의 도움을 받아 Taylor 의 w = 1에 대한 확장 에 따른 것이다. 수렴 반경 은 z 의 값과 확장된 G 기능에 따라 달라진다. 팽창은 베셀 , 초기하 및 결합초기하 함수에 대한 유사한 이론의 일반화로 간주할 수 있다.
G-기능과 관련된 명확한 통합 임의의 G-기능을 포함하는 명확한 통합 중 하나는 다음과 같다.
∫ 0 ∞ x s − 1 G p , q m , n ( a p b q η x ) d x = η − s ∏ j = 1 m Γ ( b j + s ) ∏ j = 1 n Γ ( 1 − a j − s ) ∏ j = m + 1 q Γ ( 1 − b j − s ) ∏ j = n + 1 p Γ ( a j + s ) . {\displaystyle \int _{0}^{\nothy }x^{s-1}\; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right \,\eta x\right)dx={\frac {\eta ^{-s}\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}+s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}-s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}-s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}+s)}}. } 이 적분자가 존재하는 제한사항은 여기서 생략되었다는 점에 유의하십시오. 물론 G 기능의 멜린 변환 이 다시 통합으로 이어져서 위의 정의 에 나타나야 하는 것은 놀랄 일이 아니다.
G 기능을 위한 오일러형 통합은 다음을 통해 제공된다.
∫ 0 1 x − α ( 1 − x ) α − β − 1 G p , q m , n ( a p b q z x ) d x = Γ ( α − β ) G p + 1 , q + 1 m , n + 1 ( α , a p b q , β z ) , {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{-\cHB }\;(1-x)^{\cHB -\cHB -1}\; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}\mathbf {a_{p}\\\\mathbf {b_{q}\end{matrix}\\\오른쪽 \,zx\오른쪽)dx=\Gamma(\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{m,n+1}! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}\mathbf {a_{p}}\\\\mathbf {b_{q}},\mathbf \end{nd}\\\오른쪽 \z\오른쪽),} ∫ 1 ∞ x − α ( x − 1 ) α − β − 1 G p , q m , n ( a p b q z x ) d x = Γ ( α − β ) G p + 1 , q + 1 m + 1 , n ( a p , α β , b q z ) . {\displaystyle \int _{1}^{\nft }x^{-\flict }\;(x-1)^{\flict -\flict -1}\;; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}\mathbf {a_{p}\\\\mathbf {b_{q}\end{matrix}\\\right \,zx\x\right)dx=\Gamma(\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{m+1,\n}! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}\mathbf {a_{p}},\mathbf \\\\b_{q}} \end{b}\\오른쪽 \z\right). } 이러한 통합이 존재하는 광범위한 제한사항은 "Integrated Transforms"의 417페이지, vol에서 확인할 수 있다. II(1954년), A에 의해 편집됨. 에르델리야 G 기능에 미치는 영향을 고려하여 이러한 통합은 상당히 큰 종류의 기능(Erdelyi-Kober 연산자) 에 대한 부분 통합 의 작동을 정의하는 데 사용될 수 있다.
근본적인 중요성의 결과는 양의 실제 축에 걸쳐 통합된 두 개의 임의의 G-기능의 산물이 단지 다른 G-기능(콘볼루션 정리)으로 표현될 수 있다는 것이다.
∫ 0 ∞ G p , q m , n ( a p b q η x ) G σ , τ μ , ν ( c σ d τ ω x ) d x = {\displaystyle \int _{0}^{0}^{\nft }G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{b}\\오른쪽 \\eta x\오른쪽) G_{\sigma ,\tau }^{\,\mu,\nu }\! \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf {c_{\\mathbf {d_{\tau }}} \end{d}\\\오른쪽 \\\omega x\right)dx=} = 1 η G q + σ , p + τ n + μ , m + ν ( − b 1 , … , − b m , c σ , − b m + 1 , … , − b q − a 1 , … , − a n , d τ , − a n + 1 , … , − a p ω η ) = {\displaystyle ={\frac {1}{\eta }\;G_{q+\sigma ,\,p+\tau }^{\,n+\m+\nu }\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}-b_{1},\dots ,-b_{m},\mathbf {c_{\sigma }} ,-b_{m+1},\dots ,-b_{q}\\-a_{1},\dots ,-a_{n},\mathbf {d_{\tau }} ,-a_{n+1},\dots ,-a_{p}\end{matrix}}\;\right \,{\frac {\omega }{\eta }}\right) =} = 1 ω G p + τ , q + σ m + ν , n + μ ( a 1 , … , a n , − d τ , a n + 1 , … , a p b 1 , … , b m , − c σ , b m + 1 , … , b q η ω ) . {\displaystyle ={\frac{1}{\omega}\;G_{p+\tau,\,q+\sigma }^{\,m+\n+\nmu }\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{n},-\mathbf {d_{\tau }} ,a_{n+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{m},-\mathbf {c_{\sigma }} ,b_{m+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right \,{\frac {\eta }{\omega }}\right). } 그 적분이 존재하는 제한은 메이저, C. S., 1941: 네델에서 찾을 수 있다. Akad. Wetensch, Proc. 44, 페이지 82-92. 결과의 Mellin 변환이 통합 및 두 기능의 Mellin 변환에서 발생하는 감마 인자를 어떻게 조합하는지에 주목하십시오.
콘볼루션 공식은 G 기능 중 하나에 Mellin-Barnes 적분을 대체하고, 통합 순서를 반대로 하며, 내부 Mellin-transform 적분을 평가함으로써 도출될 수 있다. 앞의 오일러형 통합도 이와 유사하게 따른다.
라플라스 변환 위의 콘볼루션 통합 및 기본 속성 을 사용하면 다음과 같은 것을 알 수 있다.
∫ 0 ∞ e − ω x x − α G p , q m , n ( a p b q η x ) d x = ω α − 1 G p + 1 , q m , n + 1 ( α , a p b q η ω ) , {\displaystyle \int _{0}^{0}^{\\e^{-\\omega x}\;x^{-\alpha }\;G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}\end{matrix}\\\오른쪽 \\,\eta x\\wright)dx=\ome^{\alpha -1}\{p+1}\,q}^{\,m,n+1}! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}\mathbf {a_{p}}\\\\mathbf {b_{q}}\end}\\\right \,{\frac {\eta}{\eta}}\right),} 여기서 Re(Ω ) > 0. 함수 G ((x )에−α 파워 x 를 곱한 라플라스 변환 이다. α = 0을 넣으면 G 기능의 라플라스 변환을 얻는다. 평소와 같이 역변형은 다음에 의해 주어진다.
x − α G p , q + 1 m , n ( a p b q , α η x ) = 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ e ω x ω α − 1 G p , q m , n ( a p b q η ω ) d ω , {\displaystyle x^{-\alpha }\;G_{p,\,q+1}^{\,m,\,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\alpha \end{matrix}}\;\right \,\eta x\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }e^{\omega x}\;\omega ^{\alpha -1}\; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf{a_{p}\\\\mathbf {b_{q}}\end{b_}\}\right \,{\fract{\eta}{\eta}\{\eta}\right)d\omega,}}} 여기서 c 는 통합에 있는 어떤 폴의 오른쪽에 통합 경로를 배치하는 진짜 양의 상수다.
G 기능의 라플라스 변환을 위한 또 다른 공식은 다음과 같다.
∫ 0 ∞ e − ω x G p , q m , n ( a p b q η x 2 ) d x = 1 π ω G p + 2 , q m , n + 2 ( 0 , 1 2 , a p b q 4 η ω 2 ) , {\displaystyle \int _{0}^{\nothy }e^{-\omega x}\; G_{p,q}^{\,m,n}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right \,\eta x^{2}\right)dx={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\omega }}\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+2}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\frac{1}0,{\frac {1}{1}2}},\mathbf {a_{p}}\\\\\mathbf {b_{q}}}\end{b}\;\right \,{\frac {4\eta }{\omega ^2}}}\right),}}} 여기서 다시 Re(Ω ) > 0. 통합이 존재하는 제한사항의 세부사항은 두 경우 모두 생략되었다.
G 기능을 기반으로 한 적분 변환 일반적으로 적절한 함수 f (z ,y ) 또는 적절한 함수 g (z )에 대해 다음 두 관계가 동시에 유지되는 경우, k(z ,y)와 h (z ,y ) 두 함수를 변환 커널 쌍이라고 한다.
g ( z ) = ∫ 0 ∞ k ( z , y ) f ( y ) d y , f ( z ) = ∫ 0 ∞ h ( z , y ) g ( y ) d y . {\displaystyle g(z)=\int _{0}^{{0}^{}k(z,y)\,f(y)\,dy,\dy,\f(z)=\int _{0}^{0}{\noth(z,y)\,g(y)\;dy.} 낟알 의 쌍 은 k(z ,y) = h(z ,y )이면 대칭이라고 한다.
나레인 변형 Roop Narain(1962 , 1963a , 1963b )은 다음과 같은 기능을 보여주었다.
k ( z , y ) = 2 γ ( z y ) γ − 1 / 2 G p + q , m + n m , p ( a p , b q c m , d n ( z y ) 2 γ ) , {\displaystyle k(z,y)=2\gamma \;(zy)^{\gamma -1/2}\;G_{p+q,\,m+n}^{\,m,\,p}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\mathbf {a_{p}},\mathbf {b_{q}}\\\\mathbf {c_{d_{n}}},\mathbf {d_{n}}}\end{d}\;\right \, (zy)^{2\}\right}),}} h ( z , y ) = 2 γ ( z y ) γ − 1 / 2 G p + q , m + n n , q ( − b q , − a p − d n , − c m ( z y ) 2 γ ) {\displaystyle h(z,y)=2\gamma \;(zy)^{\gamma -1/2}\;G_{p+q,\,m+n}^{\,n,\,q}\\왼쪽(\왼쪽). {\\mathbf {b_{q}},-\mathbf {a_{p}}\\\\mathbf {d_{n}},-\mathbf {c_{m}}}, \end{nd}\;\right \, (zy)^{2\}}} 비대칭 변환 커널 쌍이며, 여기 서 γ > 0, n - p = m - q > 0 및:
∑ j = 1 p a j + ∑ j = 1 q b j = ∑ j = 1 m c j + ∑ j = 1 n d j , {\displaystyle \sum_{j=1}a_{j}+\sum _{j=1}b_{j}=\sum _{j=1}c_{j}+\sum _{j=1}^{j=1}d_{j}}}}}}} 추가 수렴 조건과 함께 특히 j p = q , m = n, j = 1 j p 및 c j d j 0 , j = 1, 2, ..., m이면 커널 쌍이 대칭이 된다. 잘 알려진 한클 변환 은 나레인 변환의 대칭적인 특수 사례다( ( = 1, p = q = 0, m = n = 1 , c = -d 1 1 = ½ = 1, c = -d = ½).2
윔프 변환 Jet Wimp(1964 )는 이러한 함수가 비대칭 쌍의 변환 커널임을 보여주었다.
k ( z , y ) = G p + 2 , q m , n + 2 ( 1 − ν + i z , 1 − ν − i z , a p b q y ) , {\displaystyle k(z,y)=G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+2}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}-\nu +iz, 1-\nu -iz,\mathbf {a_{p}\\\\mathbf {b_{q}}\end{nd}\;\right \y\\right),} h ( z , y ) = i π y e − ν π i [ e π y A ( ν + i y , ν − i y z e i π ) − e − π y A ( ν − i y , ν + i y z e i π ) ] , {\displaystyle h(z,y)={\frac {i}{\pi }}ye^{-\nu \pi i}\left[e^{\pi y}A(\nu +iy,\nu -iy\, \,ze^{i\pi })-e^{-\pi y}A(\nu -iy,\nu +iy\, \,ze^{i\pi })\right],} 여기 서 A(·) 함수는 다음과 같이 정의된다.
A ( α , β z ) = G p + 2 , q q − m , p − n + 1 ( − a n + 1 , − a n + 2 , … , − a p , α , − a 1 , − a 2 , … , − a n , β − b m + 1 , − b m + 2 , … , − b q , − b 1 , − b 2 , … , − b m z ) . {\displaystyle A(\alpha ,\beta \,\,z)=G_{p+2,\,q}^{\,q-m,\,p-n+1}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}-a_{n+1},-a_{n+2},\dots ,-a_{p},\alpha ,-a_{1},-a_{2},\dots ,-a_{n},\beta \\-b_{m+1},-b_{m+2},\dots ,-b_{q},-b_{1},-b_{2},\dots ,-b_{m}\end{matrix}}\;\right \,z\right). } 일반화된 라플라스 변환 라플라스 변환 은 나랭이 행클 변환을 일반화한 것과 밀접하게 유사하게 일반화할 수 있다.
g ( s ) = 2 γ ∫ 0 ∞ ( s t ) γ + ρ − 1 / 2 G p , q + 1 q + 1 , 0 ( a p 0 , b q ( s t ) 2 γ ) f ( t ) d t , {\displaystyle g(s)=2\not \int _{0}^{\inflt }^{\noth +\rho -1/2}\; G_{p,\,q+1}^{\,q+1,\,0}\! \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf {a_{p}\\\0,\mathbf {b_{q}}\end{b}\\\right \, \(st)^{2\reas }\f(t)\;dt,}}} f ( t ) = γ π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ ( t s ) γ − ρ − 1 / 2 G p , q + 1 1 , p ( − a p 0 , − b q − ( t s ) 2 γ ) g ( s ) d s , {\displaystyle f(t)={\frac {\pi i}\int _{c-i\inflt }^{c+i\inflt }^{\c+i\inflt }^{\c+i\infty }^{\reason -\rho -1/2}\;; G_{p,\,q+1}^{\,1,\,p}\! \왼쪽(\왼쪽) \\mathbf {a_{p}\\0,-\mathbf {b_{q}}\end{b}\\\right \,\right \,}^{2\b)g\;ds,} 여기서 γ > 0 , p ≤ q 및:
( q + 1 − p ) ρ 2 γ = ∑ j = 1 p a j − ∑ j = 1 q b j , {\displaystyle (q+1-p)\,{\rho \over 2\pa }=\sum _{j=1}a_{j}-\sum _{j=1}^{q=1}b_{j}}}}}}}}} 그리고 상수 c > 0이 통합에 있는 폴의 오른쪽에 두 번째 통합 경로를 배치한다. γ = 2 ½, ρ = 0, p = q = 0의 경우, 이는 익숙한 라플라스 변환에 해당한다.
메이저 변환 이러한 일반화의 두 가지 특별한 경우는 C.S에 의해 주어졌다. 1940년과 1941년의 메이저. γ = 1, ρ = -ν, p = 0, q = 1 및 1 b = ν 에 대한 사례가 기록될 수 있다(Meijer 1940 ).
g ( s ) = 2 / π ∫ 0 ∞ ( s t ) 1 / 2 K ν ( s t ) f ( t ) d t , {\displaystyle g(s)={\sqrt {2/\pi }\int _{0}^{\inflt }}^{1/2}\,K_{\nu }\}(st)\,f(t)\;dt,} f ( t ) = 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ ( t s ) 1 / 2 I ν ( t s ) g ( s ) d s , {\displaystyle f(t)={\frac {1}{\\sqrt {2\pi }\,i}\int_{c-i\infit }^{c+i\inflit }^{1/2}\, I_{\nu }(ts)\,g(s)\;ds,} and = 2 ½, , = -m k , p = 1 , a 1 = m - k , b 1 = 2m에 대해 얻은 경우는 다음과 같이 쓸 수 있다(Meijer 1941a ).
g ( s ) = ∫ 0 ∞ ( s t ) − k − 1 / 2 e − s t / 2 W k + 1 / 2 , m ( s t ) f ( t ) d t , {\displaystyle g(s)=\int _{0}^{\\\{0}^{-k-1/2}\,e^{-st/2}\,w_{k+1/2,\,m(st)\,f(t)\;dt,},} f ( t ) = Γ ( 1 − k + m ) 2 π i Γ ( 1 + 2 m ) ∫ c − i ∞ c + i ∞ ( t s ) k − 1 / 2 e t s / 2 M k − 1 / 2 , m ( t s ) g ( s ) d s . {\displaystyle f(t)={\frac {\감마(1-k+m)}{2\pi i\,\감마(1+2m)} }\int _{c-i\infit }^{c+i\infit }^{k-1/2}\,e^{k-1/2}\,M_{k-1/2,\,g(ts)\,g(s)\;ds.}} 여기서 I 와ν K 는ν 제2종류의 변형 된 베셀함수 k ,m M 과k ,m W는 휘태커함수 이며, 첫 번째 경우에는 f 와 g 와 그들의 논거 s 와 t에 일정한 척도계수가 적용되었다.
G-함수의 관점에서 다른 함수의 표현 다음 목록은 친숙한 기본 기능 이 메이저 G 기능의 특별한 사례로 어떻게 발생하는지를 보여준다.
e x = G 0 , 1 1 , 0 ( − 0 − x ) , ∀ x {\displaystyle e^{x}=G_{0,1}^{\,1,0}\! \왼쪽(\왼쪽) 모든 x에 대해 \\\\0\end}\\\오른쪽 \,-x\오른쪽)\qquad \for all x} cas x = π G 0 , 2 1 , 0 ( − 0 , 1 2 x 2 4 ) , ∀ x {\displaystyle \cos x={\sqrt {\pi }\; G_{0,2}^{\,1,0}\! \왼쪽(\왼쪽) {\cHB}-\0,{\frac {1}{1}{2}}\end{4}\;\오른쪽 \,{\frac {x^{4}\오른쪽)\qquad \fall x} 죄를 짓다 x = π G 0 , 2 1 , 0 ( − 1 2 , 0 x 2 4 ) , − π 2 < 아그 x ≤ π 2 {\displaystyle \sin x={\sqrt {\pi }\; G_{0,2}^{\,1,0}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}-\\\frac {1}{1}{1}{{1}{0\end{4}\\\\\\오른쪽 \, {\frac {x^{2}}\\\pi}}}}\qquad {\\\}}}}<아그 x\leq {\frac {\pi}}}}}}}}}}}}} 코쉬 x = π G 0 , 2 1 , 0 ( − 0 , 1 2 − x 2 4 ) , ∀ x {\displaystyle \cosh x={\sqrt {\pi }\; G_{0,2}^{\,1,0}\! \왼쪽(\왼쪽) {\cHB}-\0,{\frac {1}{1}{2}}\end{4}\\;\right \,-{\frac {x^{4}\right),\qquad \fall x} 징징거리다 x = − π i G 0 , 2 1 , 0 ( − 1 2 , 0 − x 2 4 ) , − π < 아그 x ≤ 0 {\displaystyle \sinh x=-{\sqrt {\pi }i\; G_{0,2}^{\,1,0}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}-\\\frac {1}{1}{2}},0\end{4}\\\\오른쪽 \,-{\frac {x^{4}\오른쪽)\qquad -\pi <\arg x\leq 0} 아크신 x = − i 2 π G 2 , 2 1 , 2 ( 1 , 1 1 2 , 0 − x 2 ) , − π < 아그 x ≤ 0 {\displaystyle \arcsin x={\frac {-i}{2{\\sqrt{\pi }}}\; G_{2,2}^{\,1,2}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\\cHB}1,1\\\\frac {1}{1}{2}\;\right \,-x^{2}\right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0} 아크탄의 x = 1 2 G 2 , 2 1 , 2 ( 1 2 , 1 1 2 , 0 x 2 ) , − π 2 < 아그 x ≤ π 2 {\displaystyle \arctan x={\frac {1}{2}}\; G_{2,2}^{\,1,2}\! \왼쪽(\왼쪽) {\cH00{\frac{1}{1}{2}},1\{\frac{1}{1}{{1}{{1}{{1}{0\end}}\;\오른쪽 \\\\x^{2}\pi }}}}\qquad {\frac {-\arg xleq}{\frc}}}}}}}}}} 아크콧 x = 1 2 G 2 , 2 2 , 1 ( 1 2 , 1 1 2 , 0 x 2 ) , − π 2 < 아그 x ≤ π 2 {\displaystyle \chostname {arccot} x={\frac {1}{2}}\; G_{2,2}^{\,2,1}\! \왼쪽(\왼쪽) {\cH00{\frac{1}{1}{2}},1\{\frac{1}{1}{{1}{{1}{{1}{0\end}}\;\오른쪽 \\\\x^{2}\pi }}}}\qquad {\frac {-\arg xleq}{\frc}}}}}}}}}} ln ( 1 + x ) = G 2 , 2 1 , 2 ( 1 , 1 1 , 0 x ) , ∀ x {\displaystyle \ln(1+x)= G_{2,2}^{\,1,2}\! \왼쪽(\왼쪽) \\\1\\\1,0\end}\\\오른쪽 \x\right),\qquad \forall x} H ( 1 − x ) = G 1 , 1 1 , 0 ( 1 0 x ) , ∀ x {\displaystyle H(1- x )=G_{1,1}^{\,1,0}\! \왼쪽(\왼쪽) {\cHB}1\\0\end}\\\오른쪽 \x\오른쪽)\qquad \for all x} H ( x − 1 ) = G 1 , 1 0 , 1 ( 1 0 x ) , ∀ x [\displaystyle H(x -1)= G_{1,1}^{,0,1}\! \왼쪽(\왼쪽) {\cHB}1\\0\end}\\\오른쪽 \x\오른쪽)\qquad \for all x} 여기서 H 는 Hubiside step 함수 를 나타낸다.
다음 목록은 G-함수의 측면에서 상위 함수 를 어떻게 표현할 수 있는지를 보여준다.
γ ( α , x ) = G 1 , 2 1 , 1 ( 1 α , 0 x ) , ∀ x [\displaystyle \property(\displaystyle G_{1,2}^{\,1,1}\! \왼쪽(\왼쪽) \\cHB}1\\\datable,0\end{datable}\;\오른쪽 \x\right),\qquad \forall x} Γ ( α , x ) = G 1 , 2 2 , 0 ( 1 α , 0 x ) , ∀ x {\displaystyle \Gamma(\alpha ,x)= G_{1,2}^{\,2,0}\! \왼쪽(\왼쪽) \\cHB}1\\\datable,0\end{datable}\;\오른쪽 \x\right),\qquad \forall x} J ν ( x ) = G 0 , 2 1 , 0 ( − ν 2 , − ν 2 x 2 4 ) , − π 2 < 아그 x ≤ π 2 {\displaystyle J_{\nu }(x)= G_{0,2}^{\,1,0}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}-\\\frac {\nu}{2}}:{{2}}:{{nu}{{nu}}{2}}:00}\오른쪽 \\\{\frac{x^{4}\}\qquad {\\}{{}}}}}}}}{\arg xleq {-\pi{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Y ν ( x ) = G 1 , 3 2 , 0 ( − ν − 1 2 ν 2 , − ν 2 , − ν − 1 2 x 2 4 ) , − π 2 < 아그 x ≤ π 2 {\displaystyle Y_{\nu }(x)= G_{1,3}^{\,2,0}\! \왼쪽(\왼쪽) {\begin{matrix}{\frac {-\nu -1}{2}}\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}},{\frac {-\nu -1}{2}}\end{matrix}}\;\right \,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}} I ν ( x ) = i − ν G 0 , 2 1 , 0 ( − ν 2 , − ν 2 − x 2 4 ) , − π < 아그 x ≤ 0 {\displaystyle I_{\nu }(x)=i^{-\nu }\; G_{0,2}^{\,1,0}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}-\\\\frac {\nu}{2}}:{{2}}:{{{nu}{{nu}}}\\\오른쪽 \\,-{\frac{x^{4}}}\qquad -\pi <\arg x\leq 0} K ν ( x ) = 1 2 G 0 , 2 2 , 0 ( − ν 2 , − ν 2 x 2 4 ) , − π 2 < 아그 x ≤ π 2 {\displaystyle K_{\nu }(x)={\frac {1}{2}}\; G_{0,2}^{\,2,0}\! \왼쪽(\왼쪽) {\\cHB}-\\\frac {\nu}{2}}:{{2}}:{{nu}{{nu}}{2}}:00}\오른쪽 \\\{\frac{x^{4}\}\qquad {\\}{{}}}}}}}}{\arg xleq {-\pi{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Φ ( x , n , a ) = G n + 1 , n + 1 1 , n + 1 ( 0 , 1 − a , … , 1 − a 0 , − a , … , − a − x ) , ∀ x , n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \Phi(x,n,a)=G_{n+1,\,n+1}^{\,1,\,n+1}\! \왼쪽(\왼쪽) \\\cHBFF}0,1-a,\i1-a\0,-a,-a,-end{x\}\\\오른쪽 \qquad \forall x,\n=0,1,2,\i1\} Φ ( x , − n , a ) = G n + 1 , n + 1 1 , n + 1 ( 0 , − a , … , − a 0 , 1 − a , … , 1 − a − x ) , ∀ x , n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \Phi(x,-n,a)=G_{n+1,\,n+1}^{\,1,\,n+1}\! \왼쪽(\왼쪽) {\cHB{n1}0,-a,-a,\a\0,1-a,\n,1-a,1-a,1-a,\1-a-end}\;\qquad \forall x,\=0,1,2,\i1\i1} α 관한 α(α ,x )와 α(α ,x ) 의 파생상품도 메이저 G-함수의 관점에서 표현할 수 있다. 여기서 γ과 γ은 하완성 감마함수 와 상완성 감마함수, J 와ν Y 는ν 베셀함수 , I 와ν K 는ν 레르흐 초월함수다 .
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![{\displaystyle \left[G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {a_{p}} ,h+1\\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right)+(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}h+1,1-\mathbf {a_{p}} \\1-\mathbf {b_{q}} ,0\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1cec6c921b8850d57dcbaa7e346f12670c31b8)
![{\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=z^{-a_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1acab491f0f8102b4df0c49c69308bfcb031729d)
![{\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{p}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=-z^{-a_{p}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n<p.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a185eb86abc7be4a12148415fab56739c017e8dd)
![{\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=-z^{-1-b_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\geq 1,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b03f3ac5a75c3a59f13f36b0cada1086cd2666)
![{\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{q}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=z^{-1-b_{q}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m<q,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c54d077eb2cab43d986a780694b2c0a29ace8059)
![h(z,y)={\frac {i}{\pi }}ye^{-\nu \pi i}\left[e^{\pi y}A(\nu +iy,\nu -iy\,|\,ze^{i\pi })-e^{-\pi y}A(\nu -iy,\nu +iy\,|\,ze^{i\pi })\right],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af0c739316ab2b6230df2f5ebfcf0d8870a7793)
