안정수 분포

안정수

확률밀도함수
누적분포함수
매개변수	${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }∈$ (0, 1) — 안정성 파라미터 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }∈$ (0, ∞) — 척도 파라미터 ${\displaystyle {\nu }_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ∈$$ (-∞, ∞) — 위치 파라미터
지원	x ∈ R 및 x ∈ [ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$∞)
PDF	${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(x;\nu _{0},\theta )={\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{\frac {1}{x-\nu _{0}}}L_{\alpha }({\frac {\theta }{x-\nu _{0}}})}$
CDF	본질적인 형태가 존재한다.
평균	${\displaystyle {\frac {\Gamma({\frac {2}{\alpha }}}}}{\frac {1}{\alpha }}}}}}}}}$
중앙값	분석적으로 표현할 수 없는
모드	분석적으로 표현할 수 없는
분산	${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {3}{\alpha }})}{2\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}-\left[{\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}\right]^{2}}$
왜도	TBD
엑스트라 쿠르토시스	TBD
MGF	폭스 라이트의 대표성은 존재한다.

확률론에서 안정 카운트 분포는 단측 안정 분포 이전의 결합이다.이 분포는 스티븐 린(중국어: 藺鴻圖)이 2017년 S&P 500과 VIX 일일분포를 연구한 결과 밝혀졌다.^[1]안정적인 분포 계열은 그것을 연구한 최초의 수학자 폴 레비(Paul Lévy)의 이름을 따서 레비 알파 안정 분포라고도 한다.^[2]

분포를 정의하는 세 가지 매개변수 중 안정성 매개변수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가$$) 가장 중요하다.안정적인 카운트 는 0< 1 < ${\displaystyle 0<\alpha <$1}을$($를) 가지고 있다$\alpha {\displaystyle }$ = ${\displaystyle 1}$ /${\displaystyle }$2 ${\displaystyle$\alpha =1$/2}$의 알려진 $분석$ 사례는$$ VIX 분포와 관련이 있다(의 섹션 7 참조).모든 순간은 분배를 위해 유한하다.

정의

표준 분포는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\mathfak{N}_{\alpha }(\nu )={\frac {1}{\frac {1}{\alpha }}}}}{\frac {1}{\l_}\alpha }}}}{\frac {1}{\nu}}}}}}오른쪽)}$

여기서 ν> ${\displaystyle \nu >0}$ 0< < 1${\displaystyle$ 0$<\displaystyle <1>.$$}$

위치 척도 패밀리는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{\frac {1}{\nu -\nu _{0}}}L_{\alpha }\left({\frac {\theta }{\nu -\nu _{0}}}\right),}$

여기서 > ${\$ > {\$displaystyle \theta$ >$0$ <1.${\displaystyle$ 0$<\displaysty <1>.$$}$

위의 식에서 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}x}$) ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$은 단측 안정 분포로, 다음과 같이$$ 정의된다.^[3]

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$ 분포가${\displaystyle f(}x{\displaystyle }$ ; α${\displaystyle }$, ${\displaystyle \beta }$, c ,$μ$)로 특징지어지는 표준 안정 $랜덤$ 변수가 되도록$$ 두십시오$.$ 그러면 $다음으로는$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=f(x;\alpha ,1,\cos \좌({\frac {\pi \alpha }}{2}}\우)^{1/\alpha },0),}$

서 < < 1 ${\displaystyle$ 0$<\displaystyle <1$

Consider the Lévy sum ${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$ where ${\displaystyle X_{i}\sim L_{\alpha }(x)}$, then ${\displaystyle Y}$ has the density ${\textstyle {\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {x}{\nu }}\right)}$ where $\nu =$$N^{}$ ${1\mathrm{}}^{}$ /${\alpha }^{}$ ${\$ $\}\}\}.$ $설정{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x=1$ 정규화 상수 없이$$ $N{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ $({\mathfak{N}_{\alpha }(\nu )$에 도착한다.

이 분포를 "안정적인 카운트"라고 하는 $이유$는 관계${\displaystyle }$= =${\displaystyle {N\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 1^{}}$ / α$${\$displaystyle \nu$= $N^{$1/\$alpha$}}로 이해할 수 있다$.$ $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$이(가) 레비 합계의 "카운트"라는$$ 점에 유의한다.고정된 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$}을(를) 감안할 때$,$ 이 분포는 한 단위의 거리를 이동하기 $위해{\displaystyle }$ N ${\displaystyle N}$단계를$$ 취할 확률을 제공한다.

적분형식

Based on the integral form of ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$ and ${\displaystyle q=\exp(-i\alpha \pi /2)}$, we have the integral form of ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ as

${\displaystyle{\begin{정렬}{\mathfrak{N}}_ᆰ(\nu)&, ={\frac{2\alpha}{\pi \Gamma({\frac{1}{\alpha}})}}\int _{0}^{\infty}e^{-{\text{리}}(q)\,t^{\alpha}}{\frac{1}{\nu}}\sin({\frac{t}{\nu}})\sin(-{\text{나는}}(q)\,t^{\alpha})\,dt,{\text{또는}}\\&, ={\frac{2\alpha}{\pi \Gamma({\frac{1}{\alpha}})}}\int _{0}^{\infty}e^{-{년.text{리}}}(q)\,t^{\alpha }}{\frac {1}{\nu }}\cos({\frac {t}{\nu }}})\cos({\text{Im})(q)\,t^{\alpha }}\,dt.\\end{aigned}}$

위의 더블 사인 적분을 바탕으로 표준 CDF의 적분 형태로 이어진다.

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}\피피 _ᆯ())&, ={\frac{2\alpha}{\pi \Gamma({\frac{1}{\alpha}})}}\int _{0}^{)}\int _{0}^{\infty}e^{-{\text{리}}(q)\,t^{\alpha}}{\frac{1}{\nu}}\sin({\frac{t}{\nu}})\sin(-{\text{나는}}(q)\,t^{\alpha})\,dt\,d\nu \\&, =1-{\frac{2\alpha}{\pi \Gamma({\frac{1}{\alpha}})}}\int _{0}^{\infty}e^{-{\text{리}}(q)\,t^{\alpha}}\sin(-{\tex.t{나는}}(q)\,t^{\alpha }\,{\text{Si}}({\frac {t}{x}})\,dt,\\\ended}}}}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{Si}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \frac{\sin }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$) x ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle x}$ x ${\displaystyle x}$ x ${\displaystyle {\Si}(x)}=\int _{0$}^{$x}{\frac {\sin($x)}{x$}}}}},dx}$은 사인 적분함수다.

라이트 대표

"시리즈 표현"에서 안정적 카운트 분포는 라이트 함수의 특별한 경우로 나타난다(의 섹션 4 참조).

${\displaystyle {{N}_{\alpha }(\nu )={\frac {\alpha }{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }\오른쪽)}}\phi _{-\alpha ,0}(-\nu ^{\alpha }),\,{\text{where}}\,\,\phi _{\lambda ,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}}.}$

이로써 Hankel 적분: (의 (1.4.3)에 근거함)

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {\alpha }{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{Ha}e^{t-(\nu t)^{\alpha }}\,dt,\,}$where Ha represents a Hankel contour.

대체 파생 – 람다 분해

안정적인 카운트 분포를 도출하기 위한 또 다른 접근방식은 단측 안정 분포의 Laplace 변환을 사용하는 것이다(의 2.4절).

${\displaystyle {\int }_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}^{}}$ -${\displaystyle z^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle \alpha {}_{}}$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )}$x =${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\alpha }^{}}^{}}$ ${\displaystyle \int_{0}^{-zx}L_{-z^{$dx=$e^{-z^{\$$alpha$ $}},$ 여기서$$ 0 < < ${\displaystystyle 0$

$x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ /${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle x=1/\nu }$을$($를) 놓으십시오. 그러면 표준 Laplace 분포와 표준 안정 카운트 분포의 제품 분포로서 좌측에 있는 적분을 분해할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}e^{- z ^{\alpha }}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{- z /\nu }\right)\left({\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {1}{\nu }}\right)\right)\,d\nu ,}$

여기서 z ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathsf{}}$ ${\$

이것은 Lihn의 전 작품에서 LHS가 "대칭 람다 분포"로 명명되었기 때문에 "람다 분해"(의 섹션 4 참조)라고 불린다.그러나 흔히 > $[\displaystyle \alpha >1}$일 때 언급되는 "우수 전력 분배" 또는 "일반화된 오류/정규 분포"와 같은 몇 가지 더 인기 있는 이름을 가지고 있다 신뢰도 공학에서 Weibull 생존 함수이기도 하다.

람다 분해는 안정된 법에 따른 롄의 자산 수익 프레임워크의 기초다.LHS는 자산수익의 분배다.RHS에서 라플라스 분포는 Lepkurtotic 노이즈를 나타내며, 안정적인 카운트 분포는 변동성을 나타낸다.

안정적 볼륨 분배

안정적 카운트 분포의 변형을 안정적 볼륨 분포 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle V_{\alpha }}}$라고 한다$.$ 변수의 변화에 의한 람다 분해에서 파생될 수 있다(의 섹션 6 참조).$e{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle z^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\$z$^{\alpha }}}$의 라플라스 변환은 다음과 같이 가우스 혼합물의 단위로 표현된다$$.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}e^{- z ^{\alpha }}={\frac {1}{2}}{\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}e^{-(z^{2})^{\alpha /2}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}(z/s)^{2}}\right)V_{\\alpha }\,ds,}$

어디에

${\displaystyle V_{\alpha }={\frac {{\sqrt{2\pi }\Gamma({\frac {2}{\alpha }+1){\\감마({\frac {1}{\alpha }}}+1)}\,{\mathfrac {N}_{\frac {\alpha }{2}}(2s^{2}),0<\alpha \leq 2.}}$

This transformation is named generalized Gauss transmutation since it generalizes the Gauss-Laplace transmutation, which is equivalent to ${\displaystyle V_{1}(s)=2{\sqrt {2\pi }}\,{\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(2s^{2})=s\,e^{-s^{2}/2}}$.

점근성

안정적인 유통가정을 위해서는 그 무증상 행동을 이해하는 것이 필수적이다.시작,^[3] 작은 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$의 경우$,$

${\displaystyle{\begin{argin}{\mathfak{N}_{\alpha }(\nu )&\rightarrow B(\alpha )\,\nu ^{\nu }}}}}}{\nu \righarrow 0{\text{}}, }}}}}}0.\\end{aigned}}$

${\displaystyle \mathrm{이}}$로써 $N{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle {\mathfrak{N}_{\ 알파 }(0)=0}$을(를) 확인할 수 있다$.$

$큰{\displaystyle }$ large ${\displaystyle \nu}$의 경우$,$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )&\rightarrow \nu ^{\frac {\alpha }{2(1-\alpha )}}e^{-A(\alpha )\,\nu ^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}},{\text{ for }}\nu \rightarrow \infty {\text{ and }}A(\alpha )>0.\\end{aigned}}$

이것은 $N{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ (${\displaystyle \nu }$ ) ${\displaystyle {\mathfrak{N}_{\ 알파 }(\nu )}$의 꼬리가 무한대에서 기하급수적으로 분해됨을 보여준다$$.$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 클수록 부패가 강해진다.

순간

The n-th moment ${\displaystyle m_{n}}$ of ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ is the ${\displaystyle -(n+1)}$-th moment of ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$. All positive moments are finite.이것은 어떻게 보면 안정된 분배에서 순간들을 분산시키는 골치 아픈 문제를 해결한다.(의 섹션 2.4 참조)

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{n}&=\int _{0}^{\infty }\nu ^{n}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )d\nu ={\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t^{n+1}}}L_{\알파 }(t)\,dt.\\end{aigned}}$

순간의 분석 용액은 라이트 기능을 통해 얻는다.

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{n}&={\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}\int _{0}^{\infty }\nu ^{n}\phi _{-\alpha ,0}(-\nu ^{\alpha })\,d\nu \\&={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{\alpha }})}{\Gamma (n+1)\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}},\,n\geq -1.\\end{aigned}}$

where ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }r^{\delta }\phi _{-\nu ,\mu }(-r)\,dr={\frac {\Gamma (\delta +1)}{\$$감마(\nu \delta +\nu +\mu )},\\\delta >-1,0<\nu <1,\mu >0.}$ (1.4.28) 참조

따라서 $N{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ (${\displaystyle \nu }$ ) ${\displaystyle {\mathfrak{N}_{\ 알파 }(\nu )}$의 평균은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle m_{1}={\frac {\gamma({\frac {2}{\alpha }}}}{\frac {1}{\alpha }}}}}}}}}}}$

분산은

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\Gamma ({\frac {3}{\alpha }})}{2\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}-\left[{\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}\right]^{2}}$

그리고 가장 낮은 $순간$은 m${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$= 1 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\alpha }}{}}$+ 1 $){\$1}{\$Frac$ {$1}{\Alpha$}}}}} 입니다$.$

모멘트생성함수

MGF는 Fox-Right 기능 또는 Fox H 기능으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}M_{\알파 }&=\sum _{n=0}^{\n}{\frac {m_{n}\,s^{n}}{n}}{n!}}={\frac{1}{\gamma({\frac {1}{\alpha }}}}}}\sum _{n=0}^{\frac {n+1}{\alpha }}}}}}}}},s^{n}}\감마(n+1)^{2}}}}\\&={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{}_{1}\Psi _{1}\left[({\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }});(1,1);s\right],\,\,{\text{or}}\\&={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}H_{1,2}^{1,1}\왼쪽[-s{\bigl }{\begin{matrix}(1-{\frac{1}{\alpha }}},{\frac {1}{\alpha }}}}}\(0,1);({matrix}\rigin)\rigin{matrix}\right]\end{정렬}}}$

As a verification, at ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$, ${\displaystyle M_{\frac {1}{2}}(s)=(1-4s)^{-{\frac {3}{2}}}}$ (see below) can be Taylor-expanded to ${\displaystyle {}_1{\mathrm{\Psi }}_1\left[(2,2);(1,1);s\right]=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(2n+2)s^n}{\mathrm{\Gamma }(n+1{)}^2}}$${\displaystyle {}_{1}\psi _{1}\왼쪽[(2,2);(1,1);s\right]=\sum _{n=0}^{n}{\frac {\Gamma(2n+2)\,s^{n}{\Gamma(n+1)^{2$$}$$}}($$1$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$- ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{}\frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{}{}}$- 4${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$!${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$! ${\$$}}{{(2n)!}}}$.

알려진 분석 사례 – 사분위수 안정 카운트

$\alpha {\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$}}:}일$$때 L 1 /$$${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ) ${\displaystyle L_{1/$2}($x)}$은 역 감마 분포인 레비 분포다.따라서 $N{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\nu ;}$ ${\displaystyle {\nu \mathrm{}}_{}}$ 0$$, ${\displaystyle \theta }$) ${\displaystyle {\mathfrak{N}_{1$$/$$2}}(\nu ;\nu _{0},\$$theta$ $)\}$은 형상$$ 3/2와 $척도{\displaystyle \mathrm{}}$ $4의$ 감마 분포인 $것$이다.

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{4{\sqrt {\pi }}\theta ^{3/2}}}(\nu -\nu _{0})^{1/2}e^{-(\nu -\nu _{0})/4\theta },}$

서 > ${\$$},$,> 0 ${\displaystyle \theta >0$

그것의 ${\displaystyle {평균}_{}}$은 ${\displaystyle 6}$ 0 +${\displaystyle {}_{}}$6 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \nu _{$0}+$6\theta }$이며, ${\displaystyle 표준}$ 편차는 $display$ {\displaystyle {\$sqrt {24}\theta$ 이를 "사분위 안정 카운트 분포"라고 한다.사분위수라는 단어는 $\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ /${\displaystyle \alpha }$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \lambda =2/\alpha =4}$의 람다 분포에^[6] 대한 Lhn의 이전 연구에서 유래되었다$.$ 이 설정에서 안정적인 카운트 분포의 많은 면들은 우아한 분석 솔루션을 가지고 있다.

p-th 중앙 모멘트는 $2{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{\gamma }}{}}$(${\displaystyle \frac{p\mathrm{}}{}}$+ 3${\displaystyle \frac{}{}}$/ 2${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{3\mathrm{}}{}}$/ 2${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{}{}{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$ p ${\$)이다$.$$}}{\감마(3/2)2}}4^{p}\theta ^{p$The CDF is ${\textstyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\frac {3}{2}},{\frac {\nu -\nu _{0}}{4\theta }}\right)}$ where ${\displaystyle \gamma (s,x)}$ is the lower incomplete gamma function.그리고 MGF는 M $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{2}{}}_{}}$(${\displaystyle s}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle s^{}}$ ${\displaystyle {{\nu \mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle 0{{}_{}}^{}}$( 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 초}$ ${\displaystyle \theta {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {3\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{2}{}}^{}}$ ${\$1}$2}}(s)=e^{s\nu _{0$}{0}{$0}}{-{\frac}{3}$2$\}\}.$ (의 섹션 3 참조)

α → 1일 때 특별한 경우

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 커질수록$$ 분포의 피크는 더욱 날카로워진다.N $){\displaystyle {\mathfrak{N}_{\alpha }(\nu )}$의 특별한 경우는 ${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$→ 1 ${\displaystyle \alpha \rightarrow$ 1$}$일 때 입니다$.$분포는 Dirac 델타 함수처럼 동작하며,

${\displaystyle {\mathfak{N}_{\ 알파 \오른쪽 화살표 1}(\nu )\오른쪽 화살표 \delta(\nu -1),}$

where ${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}\infty ,&{\text{if }}x=0\\0,&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}}$, and ${\displaystyle \int _{0_{-}}^{0_{+}}\delta (x)dx=1}$.

시리즈 표현

단측 안정 분포의 연속적인 표현을 바탕으로 다음과 같은 결과를 얻었다.

Nα()))α π Γ(1α)∑ nx1∞− 죄 ⁡(n(α+1)π)n!)α nΓ(α n+1))α π Γ(1α)∑ nx1∞(− 1)n+1sin⁡(nα π)n!)α nΓ(α n+1){\displaystyle{\begin{정렬}{\mathfrak{N}}_ᆳ())&, ={\frac{\alpha}{\pi \Gamma.$({\frac {1}{\pi }}}}\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {-\sin(\n(\flus +1)\pi )}{n!$$}}{x}^{\alpha n}\Gamma (\alpha n+1)\\&={\frac {\alpha }{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}\sin(n\alpha \pi )}{n!$$}}}{x}^{\알파 n}\감마(\알파 n$+1$)\\\end{정렬$

이 시리즈 표현은 두 가지 해석이 있다.

• First, a similar form of this series was first given in Pollard (1948),^[7] and in "Relation to Mittag-Leffler function", it is stated that ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)={\frac {\alpha ^{2}x^{\alpha }}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}}$$H_$${\alpha$ $}(x^{\alpha }),$ 여기서$$ $H{\displaystyle {}_{}}$ $){\displaystyle H_{\lapha }(k)$는 $미탁-레플러$ $함수{\displaystyle {}_{}}$ E $α$의 라플라스 변환이다$.$
• 둘째, 이 시리즈는 라이트 함수 $function{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}\mu }$ (${\displaystyle {}_{}}$z )${\displaystyle \phi _{\lambda ,\mu }(z)}$: (의 섹션 1.4 참조)의 특수한 경우다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)&={\frac {\alpha }{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}{x}^{\alpha n}}{n!}}}\\\sin(\alpha n+1)\pi )\감마(\alpha n+1)\\&={\frac {\alpha }{\감마 \left({\frac {1}{\alpha }}\오른쪽)}}\phi _{-\alpha ,0}(-x^{\alpha }),\,{\text{where}}\,\,\phi _{\lambda ,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}},\lambda >-1.\\end{aigned}}$

The proof is obtained by the reflection formula of the Gamma function: ${\displaystyle \sin((\alpha n+1)\pi )\Gamma (\alpha n+1)=\pi /\Gamma (-\alpha n)}$, which admits the mapping: ${\displaystyle \lambda =-\alpha ,\mu =0,z=-x^{\alpha }}$ in ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {\varphi }_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ,${\displaystyle {\mu }_{}}$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \phi _{\lambda ,\mu }(z$라이트 형상은 안정적인 계수 분포의 많은 통계적 특성에 대한 분석적 해결책으로 이어지고 분수 미적분학과의 또 다른 연결을 설정한다.

적용들

안정적인 계수 분포는 VIX의 일일 분포를 상당히 잘 나타낼 수 있다.It is hypothesized that VIX is distributed like ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$ with ${\displaystyle \nu _{0}=10.4}$ and ${\displaystyle \theta =1.6}$ (See Section 7 of ^[1]).따라서 안정적인 카운트 분포는 변동성 과정의 1차 한계 분포다.이러한 맥락에서 $\nu {\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 "바닥의 변동성"이라고 부른다$$.실제로 VIX는 10 이하로 떨어지는 경우가 거의 없다.이 현상은 "바닥의 변동성"이라는 개념을 정당화한다.적합치의 표본은 다음과 같다.

$N{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\frac{\mathrm{}}{}}}$ ${\displaystyle {\frac{2}{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\nu ;}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ,$){\displaystyle {\mathfrak{N}_{\frac{1$}{1}{1}:{2$}}(\nu ;\nu _{0},\teta$)에 대한 평균 반복 SSDE의 한 형태는 수정된 Cox–Enersoll-Ros(CIR) 모델을 기반으로 한다$$.$S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$이(가) 변동성 프로세스라고$$ 가정하면 다음과 같다.

${\displaystyle dS_{t}={\frac {\sigma ^{2}}:{8\tea ^}}(6\teta +\nu_{0}-S_{t}\,dt+\sigma {\sqrt}-{0}-\}}}\dW,}$

여기서 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma}$은 소위 "볼륨의 vol"이다$$.VIX의 "vol of vol"을 VVIX라고 하는데, 이 VIX는 일반적인 값이 약 85이다.^[8]

이 SDE는 분석적으로 추적가능하며 Feller 조건을 만족하므로 S ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 절대 $never{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 아래로 내려가지 않는다$.$ 그러나 이론과 실제 사이에는 미묘한 문제가 있다.VIX가 $\nu {\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 이하로 내려갔을 확률은 약 0.6%이다$.$이것은 "스필오버"라고 불린다.To address it, one can replace the square root term with ${\displaystyle {\sqrt {\max(S_{t}-\nu _{0},\delta \nu _{0})}}}$, where ${\displaystyle \delta \nu _{0}\approx 0.01\,\nu _{0}}$ provides a small leakage channel for ${\displaystyle S_{t}}$ to drift$\nu {\displaystyle {}_{}}$ ${\$보다 약간 낮다$.$

VIX 수치가 극히 낮다는 것은 매우 안일한 시장을 의미한다.따라서 유출 조건인 < 0 ${\$0은 일정한 의미를 가진다 - 그러한 상황이 발생할 때, 보통 경기 주기에서 폭풍 전의 고요함을 나타낸다.

분수 미적분학

미타그-레플러 함수와의 관계

의 섹션 4에서 미타그-레플러 $함수$ E ${\displaystyle {\alpha }_{}}$${\displaystyle k}$ $){\$$displaystyle$ $H_$$alpha }(k)}$의 역 라플라스 변환 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$(-${\displaystyle x)}$는 (> 0$)$이다^[9]

${\displaystyle H_{\alpha }(k)={\mathcal {L}}^{-1}\{E_{\alpha }(-x)\}(k)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }E_{2\alpha }(-t^{2})\cos(kt)\,dt.}$

한편, 다음과 같은 관계는 폴라드(1948)에 의해 주어졌다.^[7]

${\displaystyle H_{\alpha }(k)={\frac {1}{\frac{1}{\frac {1}{1+1/\alpha }}}{\frac {1}{k^{1/\alpha }}\오른쪽).}$

따라서 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$ k$=\nu ^{\alpha$ $\}\}\}$에 의해 안정적인 카운트 분포와 미탁-레프터 함수 사이의 관계를 얻는다.

${\displaystyle {{N}_{\alpha }(\nu )={\frac {\alpha ^{2}\nu ^{\alpha }}}}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}}\오른쪽)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}H_{\alpha }(\nu ^{\alpha }).}$

This relation can be verified quickly at ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$ where ${\displaystyle H_{\frac {1}{2}}(k)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-k^{2}/4}}$ and ${\displaystyle k^{2}=\nu }$. This leads to the well-known quartic stable count result:

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu )={\frac {\nu ^{1/2}}{4\,\Gamma (2)}}\times {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-\nu /4}={\frac {1}{4\,{\sqrt {\pi }}}}\nu ^{1/2}\,e^{-\nu /4}.}$

타임-프랙탈 포커-플랑크 방정식과의 관계

The ordinary Fokker-Planck equation (FPE) is ${\displaystyle {\frac {\partial P_{1}(x,t)}{\partial t}}=K_{1}\,{\tilde {L}}_{FP}P_{1}(x,t)}$, where ${\displaystyle {\tilde {L}}_{$$FP}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {F(x)}{T}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}$ is the Fokker-Planck space operator, ${\displaystyle K_{1}}$ is the diffusion coefficient, ${\displaystyle T}$ is the temperature, and ${\displaystyle F(x)}$ is the external field.The time-fractional FPE introduces the additional fractional derivative ${\displaystyle \,_{0}D_{t}^{1-\alpha }}$ such that ${\displaystyle {\frac {\partial P_{\alpha }(x,t)}{\partial t}}=K_{\alpha }\,_{0}D_{t}^{1-$$\alpha }{\tilde{L}_{FP}P_{\alpha$ }}{\alpha $}(x,t$ $여기$서 K ${\displaystyle {\alpha }_{}}${\$displaystyle K_{\alpha }}}}$은 부분확산 계수다$$.

Let $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle s}$/ ${\displaystyle t{}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$의 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}k}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle H_{\alpha }(k)}}}}$에 있는$$let k = s / displaysty k=s/t^{\alpha }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}에 대한 커널을 얻는다.

${\displaystyle n(s,t)={\frac {1}{\frac {1}{\alpha }{s^{1+1/\alpha }}}{s^{t}{s^{1/\alpha }}}\rift(오른쪽)}$

여기서 부분 밀도 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$$x$${\displaystyle }$, t${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle$ $P_{\\alpha }(x,t)}$은$($는) 일반$$ 솔루션 $P{\displaystyle {}_{}}$ $($, t${\displaystyle }$)에서 계산할 수 있다$$.

${\displaystyle P_{\alpha }(x,t)=\int _{0}^{\infty }n\left({\frac {s}{K}},t\right)\,P_{1}(x,s)\,ds,{\text{ where }}K={\frac {K_{\alpha }}{K_{1}}}.}$

Since ${\displaystyle n({\frac {s}{K}},t)\,ds=\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right){\frac {1}{\alpha \nu }}\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha })\,d\nu }$ via change of variable ${\displaystyle \nu t=s^$${1/\$alpha$\}\}\},$ 위의 적분은 N $){\displaystyle {\mathfrak{N}_{\alpha }(\nu )$ 개념과 유사하며, ${\displaystyle \mathrm{시간}}$ t${\displaystyle }$similar$($ time $t{\displaystyle }$ )${\$ t$)^{\alpha$$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$이 제품 분포가 된다.

${\displaystyle P_{\alpha }(x,t)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}{\alpha }}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha })\,P_{1}(x,(\nu t)^{\alpha })\,d\nu .}$

Here ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha })}$ is interpreted as the distribution of impurity, expressed in the unit of ${\displaystyle K^{1/\alpha }}$, that causes the anomalous diffusion.

Weibull 분포와의 관계

Weibull 분포 $F{\displaystyle (x}$; k ,${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle F(x;k,\lambda )}$의 경우$,$ 해당 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 매개$$ 변수는 이 맥락에서$$ 레비의 안정성 매개 변수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$과 동일하다.제품 분포의 유사한 표현으로, 커널이 라플라스 분포 $F{\displaystyle (x}$; ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle$ F$(x;1,\lambda )}$ 또는$$ Rayleigh 분포 $F{\displaystyle (x}$; ${\displaystyle 2}$ ,${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle F(x;2,\lambda$ $)\}:$

${\displaystyle F(x;k,\lambda)={\begin{경우}\displaystyle \int _{0}^{\infty}{\frac{1}{\nu}}\,F(x;1,\lambda \nu)\left(\Gamma \left({\frac{1}{k}}+1\right){\mathfrak{N}}_ᆳ(\nu)\right)\,d\nu ,&, 1\geq k>, 0;{\text{또는}}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty}{\frac{1}{s}}\,F(x;2{\sqrt{2}}\lambda는 그것)\left({\sqrt{\frac{2}{\pi}}}\,\Gamma \lef.t({\frac {1}{k}+1\오른쪽)V_{k}\오른쪽)\,ds,&2\geq k>0.\end{case}}}$

참고 항목

• 레비 비행
• 레비 공정
• 분수 미적분학
• 변칙 확산

참조

외부 링크

• Diethelm Wuertz, Martin Maechler 및 Rmetrics 핵심 팀원들의 R 패키지 'stableist'.안정적인 밀도, 확률, 수량 및 난수 계산.2016년 9월 12일 업데이트.