확장 지수 함수

늘어난 지수함수

${\displaystyle f_{\put }(t)=e^{-t^{\put }}}$

지수 함수에 부분 전력 법칙을 삽입하여 얻는다. 대부분의 애플리케이션에서, 0과 +10 사이의 인수 t에만 의미가 있다. β = 1을 사용하면 일반적인 지수 함수가 복구된다. 스트레칭 지수 β를 0과 1 사이에 두고, 로그 f 대 t의 그래프는 특징적으로 늘어나므로 함수 이름이 된다. 압축 지수함수(β > 1)는 실제적인 중요성이 덜하며, β = 2를 유의미한 예외로 하여 정규 분포를 제공한다.

수학에서 늘어난 지수 분포는 보완 누적 웨이불 분포로도 알려져 있다. 늘어난 지수 또한 레비 대칭 알파 안정 분포의 특성 함수인 푸리에 변환이다.

물리학에서, 늘어난 지수함수는 종종 질서 없는 시스템의 이완에 대한 현상학적 설명으로 사용된다. 콘덴서의 방전을 설명하기 위해 1854년 루돌프 콜라우슈에 의해 처음 도입되어 콜라우슈 기능이라고도 한다.^[1] 1970년에 G. 윌리엄스와 DC 와트는 중합체의 유전 스펙트럼을 설명하기 위해 늘어난 지수기의 푸리에 변환을 사용했다.^[2] 이러한 맥락에서, 늘어난 지수 변환이나 그것의 푸리에 변환은 콜라우시-윌리엄스-와트(KWW) 함수라고도 불린다.

현상학적 적용에서, 확장된 지수 함수를 차등 또는 적분 분포 함수를 설명하기 위해 사용해야 하는지 또는 둘 중 어느 것도 설명하기 위해 사용해야 하는지 명확하지 않은 경우가 많다. 각각의 경우, 같은 점증적 붕괴를 겪지만, 다른 동력 법칙 사전 인자(pre-factor)를 얻게 되는데, 이것은 단순한 지수보다 더 애매하게 적합하게 만든다. 몇 가지 경우에 ^[3][4][5][6]점증적 붕괴는 늘어져 있는 지수라는 것을 알 수 있지만, 선인자는 대개 관계없는 힘이다.

수학적 특성

순간

일반적인 물리적 해석에 따라 함수 인수 t를 시간으로 해석하고 f_β(t)는 차등분포다. 따라서 곡선 아래 영역은 평균 휴식 시간으로 해석할 수 있다. 발견하다

${\displaystyle \langle \langle \equiv \int_{0}^{\not\,e^{-(t/\tau _{K}}}}}^{\}}}={K}\tau_{K}\over \beta \좌측({1 \beta \beta)})})$

여기서 γ은 감마함수다. 지수 붕괴의 경우, 〈 for〉 = τ이 회복된다_K.

확장된 지수함수의 높은 모멘트는^[7]

${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={{\tau _{K}}^{n} \over \beta }\Gamma \left({n \over \beta }\right).}$

분포함수

물리학에서, 확장된 지수 행동을 단순한 지수 해독의 선형 중첩으로 설명하려는 시도가 있었다. 이를 위해서는 이완 시간의 비종교적 분포인 ((u)가 필요하며, ρ(u)는 암묵적으로 정의된다.

${\displaystyle e^{-t^{\}}=\int_{0}^{\\infit }du\,\rho(u)\,e^{-t/u}.}$

또는 분포

$G=u\rho(u)\,}$

사용된다.

ρ은 시리즈 확장을 통해 계산할 수 있다.^[8]

${\displaystyle \rho (u)=-{1 \over \pi u}\sum \cHB_{k=0}^{\inflt }{(-1)^{k} \over k!}}\sin(\pi \beta k)\감마(\beta k+1)u^{\beta k}}$

β의 합리적인 값에 대해서는 ρ(u)를 기초함수의 관점에서 계산할 수 있다. 그러나 이 표현은 일반적으로 너무 복잡해서 β = 1/2인 경우를 제외하고 유용하지 않다.

${\displaystyle G(u)=u\rho(u)={1 \over 2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {u}\exp(-u/4)}$

그림 2는 선형 및 로그 표현으로 표시된 동일한 결과를 보여준다. 곡선은 단순 지수 함수에 해당하는 β가 1에 근접함에 따라 u = 1로 정점을 찍은 디락 델타 함수에 수렴한다.

원래 기능의 순간은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle \langle \tau \langle =\Gamma (n)\int _{0}^{0}\d\t^{n}\,\rho (\tau)}$

단순우수 이완시간 분포의 첫 번째 로그 모멘트는

${\displaystyle \langle \ln \ln \lau \rangle =\\좌측(1-{1 \over \beta }\오른쪽){\rm {Eu}+\ln \tau_{K}}}$

여기서 eu는 오일러 상수다.^[9]

푸리에 변환

분광법 또는 비탄성 산란 결과를 설명하려면 늘어난 지수기의 사인 또는 코사인 푸리에 변환이 필요하다. 이 값은 숫자 통합 또는 직렬 확장에 의해 계산되어야 한다.^[10] 여기서의 시리즈와 유통기능의 경우는 Fox-Right 기능의 특수한 경우다.^[11] 실용적인 목적을 위해 푸리에 변환은 Havriliak-Negami 함수에 의해 근사치가 될 수 있지만,^[12] 오늘날에는 숫자 계산을 매우 효율적으로^[13] 수행할 수 있어서 더 이상 주파수 영역에서 Kholrausch-Wiliams-Watts 함수를 사용하지 않을 이유가 없다.

이력 및 추가 애플리케이션

서론에서 말한 바와 같이 늘어난 기하급수적인 것은 1854년 독일의 물리학자 루돌프 콜라우슈가 유리를 유전성 매개체로 사용한 콘덴터(레이든 항아리)의 방전을 설명하기 위해 도입하였다. 다음으로 기록된 용법은 루돌프의 아들인 프리드리히 콜라우쉬가 비틀림 이완을 묘사하는 것이다. A. Werner는 1907년에 복잡한 발광 디케이를 설명하기 위해 이를 사용했다. Theodor Förster는 1949년에 전자 에너지 기증자의 형광 붕괴 법칙으로 지정되었다.

응축물리학 외부에서는 늘어난 기하급수적으로 태양계의 작고 떠돌이 신체의 제거율,^[14] 뇌의 확산가중 MRI 신호,^[15] 그리고 파격적인 가스정맥에서의 생성을 기술해 왔다.^[16]

확률적으로,

통합 분포가 확장 지수인 경우 정규화된 확률 밀도 함수는

${\displaystyle p(\tau \mid \lambda ,\beta )~d\tau ={\frac {\lambda }{-1}}{\gamma(1+\beta ^{-1}})~e^{-(\tau \lamba )^{}}}$

혼란스러울 정도로 일부 저자들은^[17] Weibull 분포를 참조하기 위해 "strett expective"라는 이름을 사용하는 것으로 알려져 있다.

수정함수

수정된 확장 지수 함수

${\displaystyle f_{\put }(t)=e^{-t^{\properties(t)}}}$

생물학적 생존 곡선에 천천히 t-수정 지수 β가 사용되어 왔다.^[18][19]

무선 통신

무선 통신에서, 송신기의 위치가 수신기 주위의 배제 영역이 없는 2D 포아송 포인트 프로세스로 모델링될 때$$, 간섭 전력 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$에 대해 확장된 지수 함수의 스케일 버전이 라플라스 변환에 나타나는 것으로 나타났다.^[20]

라플라스 변환은 다음과 같이 임의 페이딩 분포를 위해 작성할 수 있다.

${\displaystyle L_{I}=\exp \left(-\pi \lambda \mathbb {E} \left[g^{\fract {2}{\eta }\right]\\감마 \left(1-{\frac {2}{\eta }}}\right)s^{\frac {2}{\eta }\right)=\exp \left(-ts^{\beta }\right)}$

where ${\displaystyle g}$ is the power of the fading, ${\displaystyle \eta }$ is the path loss exponent, ${\displaystyle \lambda }$ is the density of the 2D Poisson Point Process, ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ is the Gamma function, and ${\displaystyle \mathbb {E} [x]}$ is the expectation of $변수{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x$

The same reference also shows how to obtain the inverse Laplace Transform for the stretched exponential ${\displaystyle \exp \left(-s^{\beta }\right)}$ for higher order integer ${\displaystyle \beta =\beta _{q}\beta _{b}}$ from lower order integers ${\displaystyle \beta _{a}}$ an${\displaystyle d_{}}$ $\beta {\displaystyle {}_{}}$ b ${\$

참조

외부 링크

• J. Wuttke: 확장된 지수 함수의 푸리에 변환을 계산하기 위한 libkww C 라이브러리