지수화된 Weibull 분포

통계에서, 확률 분포의 지수화된 Weibull 계열은 두 번째 형상 모수를 추가하여 얻은 Weibull 계열의 확장으로 Mudholkar와 Srivastava(1993)에 의해 도입되었다.

지수화된 Weibull 분포의 누적 분포 함수는

${\displaystyle F(x;k,\lambda ;\alpha )=\왼쪽[1-e^{-(x/\lambda )^{k}\오른쪽]^{\alpha }\,}$

x > 0의 경우, 그리고 f(x; k; α) = x < 0의 경우 0.여기서 k > 0은 첫 번째 형상 모수, α > 0은 두 번째 형상 모수, λ > 0은 분포의 척도 모수다.

밀도는

${\displaystyle f(x;k,\lambda ;\alpha )=\alpha {\frac {k}{\lambda }}\left[{\frac {x}{\lambda }}\right]^{k-1}\left[1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\right]^{\alpha -1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,}$

두 가지 중요한 특별한 경우가 있다.

• α = 1은 Weibull 분포를 제공한다.
• k = 1은 지수화된 지수 분포를 제공한다.

배경

분포 제품군은 단일 형태, 욕조 형태*^[1] 및 단조 고장률을 수용한다.비슷한 분포는 1984년에 Weibull-exponential distribution이라고 불리는 Zacks에 의해 도입되었다(Zacks 1984).크레베코어는 노화 기계 장치의 신뢰도를 평가하는 데 그것을 도입했고 욕조 모양의 고장률을 수용한다는 것을 보여주었다(1993, 1994).머돌카르, 스리바스타바, 콜리아(1996)는 일반화된 웨이불 분포를 생존 데이터 모델에 적용했다.그들은 분포가 증가, 감소, 욕조, 그리고 단일 위험 기능이 있다는 것을 보여주었다.무드홀카르, 스리바스타바, 프리머(1995년), 무드홀카르와 허트슨(1996년), 나사르와 에이사(2003년)는 지수화된 웨이불 분포의 다양한 성질을 연구했다.Mudholkar 외 연구진(1995)은 모델 고장 데이터에 지수화된 Weibull 분포를 적용했다.Mudholkar와 Hutson(1996)은 극값 데이터에 지수화된 Weibull 분포를 적용했다.그들은 강조된 Weibull 분포가 증가, 감소, 욕조 및 단일 위험률에 있음을 보여주었다.구프타와 쿤두(1999년, 2001년)가 제안한 지수 분포는 지수화된 웨이불 계열의 특수한 경우다.후에, EW 분배의 순간은 Choudhury(2005)에 의해 도출되었다.또한 M. Pal, M. M. Ali, J. Woo(2006)는 EW 분포를 연구하여 고장률과 관련하여 2-모수 Weibull 및 감마 분포와 비교하였다.

참조

• Choudhury, A. (2005). "A Simple Derivation of Moments of the Exponentiated Weibull Distribution". Metrika. 62 (1): 17–22. doi:10.1007/s001840400351.
• Crevecoeur, G.U. (1993). "A model for the Integrity Assessment of Ageing Repairable Systems". IEEE Transactions on Reliability. 42 (1): 148–155. doi:10.1109/24.210287.
• Crevecoeur, G.U. (1994). "Reliability assessment of ageing operating systems". European Journal of Mechanical Engineering. 39 (4): 219–228.
• Liu, J.; Wang, Y. (2013). "On Crevecoeur's bathtub-shaped failure rate model". Computational Statistics & Data Analysis. 57 (1): 645–660. doi:10.1016/j.csda.2012.08.002.
• Mudholkar, G.S.; Hutson, A.D. (1996). "The exponentiated Weibull family: some properties and a flood data application". Communications in Statistics - Theory and Methods. 25: 3059–3083. doi:10.1080/03610929608831886.
• Mudholkar, G.S.; Srivastava, D.K. (1993). "Exponentiated Weibull family for analyzing bathtub failure-ratedata". IEEE Transactions on Reliability. 42 (2): 299–302. doi:10.1109/24.229504.
• Mudholkar, G.S.; Srivastava, D.K.; Freimer, M. (1995). "The exponentiated Weibull family; a reanalysis of the bus motor failure data". Technometrics. 37 (4): 436–445. doi:10.2307/1269735. JSTOR 1269735.
• Nassar, M.M.; Eissa, F.H. (2003). "On the exponentiated Weibull distribution". Communications in Statistics - Theory and Methods. 32: 1317–1336. doi:10.1081/STA-120021561.
• Pal, M.; Ali, M.M.; Woo, J. (2006). "Exponentiated Weibull distribution". Statistica. 66 (2): 139–147.
• Zacks, S. (1984). "Estimating the Shift to Wear-Out of Systems Having Exponential-Weibull Life Distributions". Operations Research. 32 (3): 741–749. doi:10.1287/opre.32.3.741.

추가 읽기

• Nadarajah, S.; Gupta, A.K. (2005). "On the Moments of the Exponentiated Weibull Distribution". Communications in Statistics - Theory and Methods. 34 (2): 253–256. doi:10.1081/STA-200047460.