고압함수

고압 성장 모델이라고도 알려진 고압 함수는 의료 통계 모델링에 사용되는 수학적 함수다. 이들 모델은 원래 다세포종양 구의 성장 역학을 포착하기 위해 개발된 것으로 2005년 모하마드 타바타바이, 데이비드 윌리엄스, 조란 버삭이 도입했다.^[1] 현실 세계의 문제를 모델링하는 데 있어 고압적 기능의 정밀도는 그들의 변곡점에서의 융통성 때문이다.^[1] 이러한 기능들은 종양 성장, 줄기세포 증식, 제약 운동학, 암 성장, 신경 네트워크의 지그모이드 활성화 기능, 역학 질병 진행이나 퇴행과 같은 매우 다양한 모델링 문제에서 사용될 수 있다.^[1][2][3]

고압 함수는 운반 용량에 도달할 때까지 성장 곡선과 붕괴 곡선을 모두 모델링할 수 있다. 이러한 모델은 유연성 때문에 의료 분야에서 다양한 용도를 가지고 있으며, 간섭 치료로 질병 진행을 포착할 수 있다. 그림에서 알 수 있듯이, 고압 함수는 가장 느린 속도가 초기 및 후반 단계에서 발생한다는 것을 나타내는 S자형 곡선에 적합할 수 있다. 제시된 지그모이드 형태 외에도 의료 개입이 느리거나 역병 진행이 일어나는 비파하스적 상황도 수용할 수 있지만 치료 효과가 사라지면 수평적 무증상까지 발병할 때까지 2단계 진행에 들어간다.

이러한 기능이 갖는 주요 특징 중 하나는 지그모이드 모양을 맞출 수 없을 뿐만 아니라 다른 고전적인 지그모이드 곡선이 적절하게 모델링할 수 없는 biphasic 성장 패턴을 모델링할 수 있다는 것이다. 이러한 구별되는 특징은 의학, 생물학, 경제학, 공학, 농업, 컴퓨터 보조 시스템 이론을 포함한 다양한 분야에서 유리한 응용을 가지고 있다.^{[4][5][6][7][8]}

함수 H1

H1로 표시된 I형식의 고압률 방정식은 다음을 통해 주어진다.

여기서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$은(는) 실수이고 P$($)는 x {\$displaystyle P\left(x\$오른쪽$)$는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$의 모집단 크기입니다$.$ 매개 변수 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) 운반$$ 용량을 나타내며, $매개{\displaystyle }$ 변수$Δ$ {\displaystyle \$delta }$과($)$ Δ {\displaystyle $\theta }$은 공동으로$$ 증가율을 나타낸다. 매개 변수 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta$}은(는) 대칭 s자형 곡선으로부터의 거리를 제공한다$$. $P{\displaystyle (x}$) ${\$에 대한 유형 I의 고압 비율 방정식을 해결하면 다음과 같은 결과를$$ 얻을 수식:

여기서 ${\displaystyle \mathrm{arsinh}}$ ${\displaystyle \operatorname {arsinh}은($는) 역 쌍곡 사인 함수다$$. 초기 조건 $P{\displaystyle (}$ x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$를 사용하려는 경우$P_{0}},$$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$은(는) 다음과 같이 표현할 수 있다$$.

${\displaystyle \alpha }$= ${\displaystyle M\frac{}{}}$- P ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\Delta }^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\Delta \mathrm{}}_{}}^{}}$ x${\displaystyle {{}_{}}^{}}$Δ x ${\displaystyle {\Delta x{0\mathrm{}}_{}}^{}}$ (x 0$){\$$x_{0}}).$

${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= 0 ${\displaystyle x_{0}=0$인 경우 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$은(는) 다음과 같이 감소한다$$.

${\displaystyle \alpha }$= ${\displaystyle M\frac{}{}}$- P ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{P\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ ${\$

I형의 고압적 함수는 로지스틱 함수를 일반화한다. 만일 매개 변수 $\theta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \theta =0}$이$($가) 로지스틱 함수가 된다. ${\displaystyle 이}$ 함수 $P{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle P(x)}$은 타입 I의 고압 함수다. 제1종류의 표준 고압함수는

${\displaystyle P\frac{\mathrm{}}{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{1\mathrm{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$- x -${\displaystyle \frac{{\mathrm{arsinh}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$( x${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$) ${\$

함수 H2

H2로 표시된 타입 II의 고압률 방정식은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\frac {dP(x)}{dx}}={\frac {\frac \\delta \delta P^{2}(x){\x^{\gamma -1}{M}}\tanh \lef({\frac {M-P(x)}}}}\rig)},}},}}}}}}}}}}}}},}}}, }},}$

여기서 ${\displaystyle \tanh }$ ${\displaystyle \tanh }$은 쌍곡선 접선 함수, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은 운반 용량이며$$, $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaysty \delta }$ 및$$ > ${\displaysty \gamma >0}$이 성장률을 공동으로 결정한다. 또한 $parameter{\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$ 매개 변수는 시간 과정의 가속을 나타낸다$$. $P{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$) ${\$에 대한 타입 II의 고압 속도 함수를 해결하면 다음과$$ 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle P}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{M\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle 1\frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{arsinh}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$( e -${\displaystyle \frac{{{}^{}}^{}}{}}$ x ${\displaystyle \frac{{{\gamma }^{}}^{}}{}}$) ${\$\ \$reft.(e^{-\delta$ x$^{\gamma$

초기 조건 $P{\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle P(x_{0})=$를 사용하려는 경우$P_{0}},$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$ }을$($를) 다음과$$ 같이 표현할 수 있다$$.

${\displaystyle \alpha }$= ${\displaystyle M\frac{}{}}$- P ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{arsinh}{}^{}}{}}$(${\displaystyle \frac{e^{}}{}}$ - ${\displaystyle \frac{{{\Delta \mathrm{}}_{}^{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{{}_{}^{}}^{}}{}}$ 0${$ ){\$displaystyle \alpha$={\$frac$ {$M-P_{0}}}{P_{0$}\operatorname ${arsinh} \left(e^{-\delta x_{0}^{$0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\$gamma$ $\backslash$$gamma }}}}}}}$

${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= 0 ${\displaystyle x_{0}=0$인 경우 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$은(는) 다음과 같이 감소한다$$.

${\displaystyle \alpha }$= ${\displaystyle M\frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{arsinh}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$( 1${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\$.

타입 II의 표준 고압 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle P}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{1\mathrm{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\mathrm{아르신}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{e^{}}{}}$- x${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$) ${\$

함수 H3

타입 III의 과볼라스틱 속도 방정식은 H3으로 표시되며 다음과 같은 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle {\frac {dP(t)}{dt}}=\left(M-P\left(t\right)\right)\left(\delta \gamma t^{\gamma -1}+{\frac {\theta }{\sqrt {1+\theta ^{2}t^{2}}}}\right)}$,

$여기$서 t $[\displaystyle t}$ $$> 0. 매개 변수 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) 운반 용량을 나타내며$$${\displaystyle ,}$ Δ${\displaystyle }$,$${\$displaystyle$ \$delta$${\displaystyle }$$$,},$${\$displaystyle$$$\$gamma$,}, $\$ {\$displaystyle$ \$theta}$ $매개{\displaystyle }$ 변수가 공동으로 증가율을$$ 결정한다. 매개 변수 $\gamma {\displaystyle }$, ${\displaystyle \gamma ,}$은(는) 시간 척도의 가속을 나타내며$$, $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$의 크기는 대칭 s자형 곡선으로부터의 거리를 나타낸다$$. 타입 III의 미분방정식에 대한 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle P}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= M${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}^{}}$ e -${\displaystyle {{}^{}\Delta }^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\alpha }^{}}^{}}$ - ${\displaystyle {\Delta }^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ⁡ ( ${\displaystyle {}^{}}$t${\displaystyle {}^{}}$) ${\$ t$^{\gamma }-\operatorname {arsinh}(\t$

초기 조건 $P{\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을 사용하여$P_{0}}$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$을(를) 다음과$$ 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle \alpha }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle M}$- ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle e{}^{}}$ ${\displaystyle {\Delta }^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}^{}}^{}}$ t ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ + 아르신 ${\displaystyle {\sin }^{}}$ ${\displaystyle {({t\mathrm{}}_{}}^{}}$ 0${\displaystyle {{}_{}}^{}}$) ${\$0}^{\$delta$ t}+\$opername {arsinh$$t_{0}).$

타입 III의 고압 분포는 척도 매개변수 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$ > 0,$$ 형상 매개변수$\Delta {\displaystyle }$ {\$displaystyle \$$theta},$ 매개변수$\Delta {\displaystyle }$ {\$displaystyle \gamma }$을(으)로 하는 연속 확률 분포의 3-모수 계열이다. 매개변수 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$ = 0이면 타입 III의 고압적 분포가 weibull 분포로 축소된다.^[9] 타입 III의 고압적 누적분포함수는 다음을 통해 주어진다.

${\displaystyle F(x;\delta ,\gamma ,\theta )={\begin{cases}1-e^{-\delta x^{\gamma }-\operatorname {arsinh} (\theta x)}&x\geq 0,\\0&x<0\end{cases}}}$,

그리고 그에 상응하는 확률밀도함수는 다음과 같다.

F(x;δ, γ, θ)){e(δ)γ− arsinh ⁡(θ))(δ γ)γ − 1+θ 1+θ 2x2))≥ 0,0=<0{\displaystyle f(x;\delta ,\gamma ,\theta)={\begin{경우}e^{-\delta x^{\gamma}-\operatorname{arsinh}(\theta))}\left(\delta \gamma x^{\gamma)}+{\frac{\theta}{\sqrt{1+\theta ^{2}x^{2}}}}.$\right)&x\geq$ 0$,\0&x<0\end{case$

위험 함수 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}($또는 고장률)은 다음을 통해 제공된다.

${\displaystyle h\left(x;\reft,\theta \right)=\display x^{\frac{\fract -1}+{\sqrt {1+x^{2}}}\theta ^{2}}.}$

생존 함수 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(는) 다음을 통해 제공된다$$.

${\displaystyle S(x;\delta ,\gamma ,\theta )=e^{-\delta x^{}-\gamma }-\operatorname {arsinh}(\teta x)}.}$

타입 III의 표준 고압축성 누적분포함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle F(}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$-${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle x^{}}$ -${\displaystyle {\mathrm{arsinh}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x^{}}$) ${\$ {$arsinh}(x$

그리고 그에 상응하는 확률밀도함수는 다음과 같다.

${\$$}$$}}}\오른쪽)}$ $."$

특성.

모집단이 이동 용량 $M$의 백분율에 도달하는 지점$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을(를) 계산하려면 다음 방정식을 풀 수 있다$.$

${\displaystyle P(x)=kM}$

$예$를 들어$,$x {\$displaystyle$ x$\}$에 대해0 < ${\displaystyle 0<1$ 예를 들어 $k{\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$}2$\}\}:\}$를 설정하면 절반 지점을 찾을 수 있다.

적용들

피츠버그대 맥고완 재생의학연구소 줄기세포 연구진에 따르면 "신형 [초보성형 III 또는 H3라 불리는] H3는 세포 성장도 설명하는 미분 방정식이다. 이 모델은 훨씬 더 많은 변동을 허용하며 성장을 더 잘 예측하는 것으로 증명되었다."^[10]

고형 에를리히암의 성장을 다양한 치료법을 이용해 분석하기 위해 고압성 성장모델 H1, H2, H3가 적용됐다.^[11]

동물 과학에서,^[12] 고압적인 기능은 닭고기의 성장을 모형화하는 데 사용되어 왔다.^[13] 회복되는 상처의 크기를 결정하는 데 타입 III의 고압적 모델이 사용되었다.^[14]

상처 치유 영역에서, 치유의 시간 코스를 정확하게 나타내는 고압적 모델. 이러한 기능은 미량원소, 성장인자, 당뇨병성 상처, 영양 등을 고려하여 다양한 종류의 상처와 치유과정에서의 다른 단계의 치유속도 변화를 조사하는데 이용되어 왔다.^[15][16]

또 다른 고압 함수의 적용은 확률적 확산 과정의 영역에 있는데,^[17] 평균 함수는 고압 곡선이다. 공정의 주요 특성을 연구하고 공정 모수에 대한 최대우도 추정치를 고려한다.^[18] 이를 위해 단계별 절차를 통해 파라메트릭 공간을 경계한 후 반딧불이 메타휴리스틱 최적화 알고리즘을 적용한다. 시뮬레이션된 샘플 경로와 실제 데이터에 기반한 몇 가지 예는 이러한 개발을 예시한다. 확산 과정의 샘플 경로는 흐르는 유체에 내장된 입자의 궤적을 모델링하고 다른 입자와의 충돌로 인한 임의의 변위를 겪게 되는데 이를 브라운 운동이라고 한다.^{[19][20][21][22][23]} 타입 III의 고압적 기능은 성인 중간막과 배아 줄기 세포의 증식을 모형화하는 데 사용되었고,^{[24][25][26][27]} 타입 II의 고압적 혼합 모델은 자궁경부암 데이터를 모형화하는 데 사용되었다.^[28] 고압 곡선은 세포 성장, 생물학적 곡선의 적합성, 식물성 플랑크톤의 성장, 순간 성숙율 분석에 중요한 도구가 될 수 있다.^[29][30][31]

산림생태 및 관리에서는 DBH와 키의 관계를 모델링하기 위해 하이퍼볼라스틱 모델이 적용되었다.^[32]

다변량 하이퍼볼라스틱 모델 타입 III는 영양소의 농도를 고려하여 식물성 플랑크톤의 성장 역학을 분석하기 위해 사용되어 왔다.^[33]

고압적 퇴행

고압적 퇴행은 표준 고압적 함수를 활용하여 이분법 또는 다항적 결과 변수를 모형화하는 통계적 모델이다. 고압적 회귀 분석의 목적은 일련의 설명(독립적) 변수를 사용하여 결과를 예측하는 것이다. 이러한 유형의 퇴행은 의학, 공중 보건, 치과, 생물의학, 그리고 사회, 행동, 공학 과학을 포함한 많은 분야에서 일상적으로 사용된다. 예를 들어 철 결핍 빈혈의 내시경 병변을 예측하기 위해 이항 회귀 분석을 사용해 왔다.^[34] 또한 수술 전 악성 종양질량과 양성 종양질량을 구분하기 위해 이항회귀를 적용했다.^[35]

유형 I의 이항 하이퍼볼라스틱 회귀 분석

$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$을(를) 성공 또는 실패라는 두 가지 서로 배타적인 값 중 하나를 가정할 수 있는 이진 결과 변수가 되도록$$ 한다. If we code success as ${\displaystyle Y=1}$ and failure as ${\displaystyle Y=0}$, then the hyperbolastic success probability of type I with a sample of size ${\displaystyle n}$ as a function of parameter vector ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{0},\beta _{$$설명{\displaystyle }$ 변수의 p ${\displaystyle p}$ -차원$$ 벡터가 주어지는$$ 1$},\ldots ,\beta$ $_$${p}$는 ${\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x_{}}$ i ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}\text{x}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$,${\displaystyle }$, , ${\displaystyle x_{}}$ i${\displaystyle {}_{}{}^{}{p}_{}}$ ) ${\displaystyle T^{}}${\\\$displaysty$ \$mathbf {x} _{i1},\{i2},\ldots}^{$$nip$}}}}^{{{{}}}}}}}}}}}}}}로 정의된다.${\displaystyle T}$$\},$ ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $i{\displaystyle }$= 1,${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle \dots ,}$n ${\displaystyle i=1,2,\ldots,n}$은$($는) 다음을 통해 주어진다.

${\displaystyle \pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1 \mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+e^{-(\beta _{0}+\sum _{s$$=1}^{p}{p$}}{$s}x_{is}}}}}-\cH}-\cH}(\cHB_{0}+\sum _{s=1}^{p}{s}x_{is$

성공의 확률은 성공 확률 대 실패 확률의 비율이다. I 유형의 이항 하이퍼볼라스틱 회귀 분석의 경우 성공 확률은 ${\displaystyle {\mathrm{Od}}_{}}$ ${\displaystyle d}$ h ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$H1}로$$표시되며 다음$$ 방정식으로 표현된다.

${\displaystyle Odds_{H1}=e^{\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}}+\operatorname {arsinh} (\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}}$.

$O$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$의 로그는 타입 I의 이항 하이퍼볼라스틱 회귀의 로짓이라고 한다. 로짓 변환은 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$로 표시되며 다음과$$ 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle L_{H1}=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}}+\operatorname {arsinh} [\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}}]}$.

유형 II의 이항 하이퍼볼라스틱 회귀 분석

타입 II의 고압적 회귀는 강력한 속성을 가진 이항 데이터의 분석을 위한 대안적인 방법이다. 이진 결과 변수 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Y$}$의 경우$,$ 유형 II의 고압적 성공 확률은 $설명{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ x i {\$displaystyle p}$ -차원 벡터인$$ p ${\$ {x$} _{i}$의 함수$$:

${\displaystyle \pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1 \mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+\operatorname {arsinh} [e^{-(\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}$$})}]}}}$ ,

타입 II의 이항 하이퍼볼라스틱 회귀 분석의 경우, 성공 확률은 ${\displaystyle \mathrm{Od}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\$ 다음과$$ 같이 정의된다.

${\displaystyle Odves_{H2}={\frac {1}{\frac {1}{\operatorname {arsinh} [e^{-(\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

로짓$$ 변환 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{H}}_{}}$ 2 ${\$

${\displaystyle L_{H2}=-\log {(\operatorname {arsinh}) [e^{-(\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}}}}}}}])])}}$

유형 I 및 II의 이항 하이퍼볼라스틱 회귀 분석에 대한 모수 추정

파라미터 벡터 ${\$의 추정치는 로그 우도 함수를 최대화하여 얻을 수 있다$$.

${\displaystyle {\hat {\beta }}={\underset {\boldsymbol {\beta }}{\operatorname {argmax} }}{\sum _{i=1}^{n}[y_{i}ln(\pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }}))+(1-y_{i})ln(1-\pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }}))]}}$

여기서 $\pi {\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$; ${\displaystyle \beta \mathit{}}$) ${\displaystyle \pi(\mathbf {x} _{i};{\mathsymbol {\message }}})$는 사용된 두 가지 유형의 저탄성 함수 중 하나에 따라 정의된다$$.

제1종과 제2종의 다항식 고압성 회귀 분석

다항 하이퍼볼라스틱 회귀에 대한 이항 하이퍼볼라스틱 회귀 분석을 일반화하면 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$$displaystyle k}$ 범주를$$ 가진$$ $개별{\displaystyle }$ i ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle i}$에 대한 $반응{\displaystyle {}_{}}$ 변수 ${\displaystyle y_{}}$ ${\\$$displaystyle$ ,k$\}}$이($$$가$)가 있다. $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle k=2}$인 경우 이 모델은 이항 하이퍼볼라스틱 회귀 분석으로 축소된다$.$ 각 $i{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ i$=1,2,\ldots,n$에 대해 $k{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k-1}$ 표시$$ 변수 $y{\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle i_{}}$ i ${\$를 형성한다.

j= = 이고 y j {\$displaystyle y_{ij}={\case}1&{\$case}{\$case}}{{}y_{i$}=$j,\0&\\text$

$즉{\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle i^{}}$ t$$h {\$displaystyle$ i$^{th}}$ 응답이$$ 다른$$ $범주{\displaystyle }$ j$${\$displaystyle j}$ $및{\displaystyle \mathrm{}}$ 0$$ ${\displaystyle 0}$에 있을 때마다$$ $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaysty y_{ij}=$1}이$($가) (1)이라는 것을 의미한다.

Define parameter vector ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}=(\beta _{j0},\beta _{j1},\ldots ,\beta _{jp})}$ with ${\displaystyle \beta _{0}}$, a zero vector in a ${\displaystyle p+1}$-dimensional Euclidean space and ${\displaystyle \mathit{\beta }=({\mathit{\beta }}_1,\dots ,{\mathit{\beta }}_{k-1}}$${\displaystyle {)}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\$

$범주{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$; $){\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol{\beta }}}})$을 해당 확률 함수로 사용하여$$, 타입 I 확률의 다항 하이퍼볼라스틱 회귀는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1 \mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+\sum _{s=1}^{k-1}e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})-arsinh[\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]}}}}$

$및{\displaystyle }$ j${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle k}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle j=2,\ldots ,k-1$

${\displaystyle \pi _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=j \mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {e^{-\eta _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})-arsinh[\eta _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]}}{1+\sum _{s=1}^{k-1}e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})-arsinh[\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\굵직한 심볼{\cHB }}}}}}}}}}}}}$

이와 유사하게, 타입 II의 다항 하이퍼볼라스틱 회귀 분석에는 다음과 같은 것들이 있다.

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1 \mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+\sum _{s=1}^{k-1}arsinh[e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}]}}}$

$및{\displaystyle }$ j${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle k}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle j=2,\ldots ,k-1$

${\displaystyle \pi _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=j \mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {arsinh[e^{-\eta _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}]}{1+\sum _{s=1}^{k-1}arsinh[e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}]}}}$

유형 I 및 II의 다항 하이퍼볼라스틱 회귀 분석에서$$ 각 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ i$}$에 대해,

${\displaystyle \pi \k}(\mathbf {x} _{i};{\mathbmbol{\}})=1-\sum _{j=1}^{k-1}\pi _{j}(\mathbf {x} _{i};{\mathsymbol{\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

범주 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$과(와) 참조 범주 1의 멤버십 로그 집합은 ${\displaystyle {\eta }_{}}$j(${\displaystyle {}_{}}$; ${\displaystyle \beta \mathit{}}$) ${\displaystyle \eta_{j(\mathbf$ {x$} _{i};{\boldsymbol{\beta }}}}})$로 표시된 것과 동일하다$.$

${\displaystyle \eta _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=ln[{\frac {\pi _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}{\pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}}]=\beta _{j0}+\beta _{j1}x_{i1}+\ldots +\beta _{jp}x_{ip}}$

여기서 $j{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle k}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$j=$1,\ldots, k-1},$ ${\displaystyle \mathrm{i<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; j=1,\backslash ldots\; ,k-1\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/208b970a09eded2ea49111e4d35705f53ec8fda7"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; margin-left:\; -0.027ex;\; width:15.638ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="310">}}$= 1${\displaystyle }$,${\displaystyle n,}$ n ${\displaystyle$ i$=1,\ldots,n$ 다항식 과대볼라스틱 회귀 추정 파라미터$$ 매트릭스 $\beta {\displaystyle \widehat{\mathit{}}}$ ${\data {\boldsymbol{\ba }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$ 파라미터 매트릭스 $\beta {\displaystyle \mathit{}}$ ${\${\$boldsymbol {\beta }}$의 최대우도 추정치는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}={\underset {\boldsymbol {\beta }}{\operatorname {argmax} }}{\sum _{i=1}^{n}(y_{i1}ln[\pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]+y_{i2}ln[\pi _{2}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]+\ldots +y_{ik}ln[\pi _{k}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})])}}$

참조