아핀 항 구조 모형

조건부 구조모형은 제로쿠폰 채권가격(즉, 할인곡선)과 현물금리모형을 연계하는 금융모형이다. 관측 가능한 채권시장 자료에서 현물금리 모델 투입변수를 결정하는 과정인 수익률 곡선을 도출하는 데 특히 유용하다. 용어 구조 모델의 부속 등급은 로그 본드 가격이 현물 비율의^[1] 선형 함수(그리고 잠재적으로 추가적인 상태 변수)라는 편리한 형태를 의미한다.

배경

동적 특성을 가진 $r(t)$ 확률적 단차 모델 $r(t)$ ( $r(t)$ ) $r(t)$ 부터 시작하십시오.

dr(t)=\mu(t,r(t)\,dt+\sigma(t,r(t)\,dW(t)

그리고 시간 $t$ ${\displaystyle t$ $}$ 에 $P(t,T)$ $P(t,T)$ P $P(t,T)$ $P(t,T)$ ) $P(t,T)$ {\ $displaystyle$ P $(t,T)}$ 이 $T$ (가) 있는 시간 $T$ ${\$ displaystytle t $}$ 에서 성숙하는 무위험 제로 쿠폰 결합 $t$ 제로쿠폰 채권의 가격은 다음과 같다.

P(t,T)=\mathb {E}^{\mathb {Q}\좌측\{\exp \좌측[-\int _{t}^{T}r(t')\오른쪽\}}}}}}}}

\tau

서

T=t+\tau

=

T=t+\tau

+

T=t+\tau

{\displaystyle T=t+\tau },

}

\tau

이

\tau

(가) 있는 것이 채권의 만기다. 위험 중립적 확률 측정

\mathbb {Q}

{\

에 대해 기대치를 취한다

\mathbb {Q}

채권 가격이 다음과 같은 형태를 갖는 경우:

P(t,T)=e^{A(t,T)-rB(t,T)}}

$여기서 A와$ $B$ 가 결정론적 함수인 경우 $,$ 단율 모델은 부호적 항 구조를 갖는다고 한다. $y($ , $y(t,\tau )$ )로 표시된 만기 $\tau$ ${\$ $displaystyle$ $\$ $tau$ $\tau$ 의 채권 수익률은 다음과 같다 $y(t,\tau )$

y(t,\tau )=-{1 \over {\tau }\log P(t,\tau )

파인만-카크 공식

현재로서는 채권 가격을 명시적으로 산정하는 방법을 아직 파악하지 못했으나, 채권 가격의 정의는 파인만-케이크 공식과의 연관성을 내포하고 있는데, 이는 채권 가격이 부분적인 미분 방정식에 의해 명시적으로 모델링될 수 있음을 시사한다. 채권 가격이 $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ∈ $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 의 $x\in \mathbb {R} ^{n}$ 함수로 가정하면 PDE:

-{\partial P \over {\partial \tau }}+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}{\partial P \over {\partial x_{i}}}+{1 \over {2}}\sum _{i,j=1}^{n}\Omega _{ij}{\partial ^{2}P \over {\partial x_{i}\partial x_{j}}}-rP=0,\quad P(0,x)=1

여기서

\Omega

\Oomega

은 잠재 인자가 위험 중립 측정에서 이토 확률적 미분 방정식에 의해 구동되는 잠재 인자의 공분산 행렬이다

\Omega

.

dx=\mu ^{\mathb {Q}}dt+\Sigma dW^{{Q}}}\mathb {Q}},\quad \Oomega =\Sigma \Sigma ^{T}}}

양식의 채권가격에 대한 해결책을 가정한다.

P(\tau ,x)=\exp \left[A(\tau )+x^{T}B(\tau )\right],\quad A(0)=B_{i}(0)=0

만기와 관련된 채권가격의 파생상품과 각각의 잠재적 요소는 다음과 같다.

{\begin{aigned}{\partial P \over{\partial \tau }&=\왼쪽[A'(\tau )+X^{T}B(\tau )\right]P\\{\partial P \over {\partial x_{i}}}&=B_{i}(\tau )P\\{\partial ^{2}P \over {\partial x_{i}\partial x_{j}}}&=B_{i}(\tau )B_{j}(\tau )P\\\end{aligned}}

이러한 파생상품을 통해 PDE는 일련의 일반적인 미분방정식으로 축소될 수 있다.

-\left[A'(\tau )+x^{T}B'(\tau )\right]+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}B_{i}(\tau )+{1 \over {2}}\sum _{i,j=1}^{n}\Omega _{ij}B_{i}(\tau )B_{j}(\tau )-r=0,\quad A(0)=B_{i}(0)=0

폐쇄형 솔루션을 계산하려면 추가 사양이 필요하다.

존재

Ito의 공식을 사용하여 우리는 $[\displaystyle \mu }$ 과 $\mu$ $[\displaystyle \sigma }$ 에 대한 제약조건을 결정할 수 있으며, 이는 $\sigma$ 부속 용어 구조를 초래할 것이다. 결합에 부속 용어 구조가 있고 $P$ $P$ 이(가) 용어 구조 방정식을 만족한다고 $P$ 가정하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

A_{t}(t,T)-(1+B_{t}(t,T))-r-\mu(t,r)B(t,T)+{\frac {1}{1}{1}{2}}(t,r)B^{2}(t,T)=0

경계 값

P(T,T)=1

함축적으로 말하다

{\begin{aigned}A(T,T)&=0\b(T,T)&=0\end{aigned}}

다음으로, $\mu$ ${\displaystyle \mu$ } 및 $\mu$ $\sigma ^{2}$ 2 ${\$ $r$ ${\displaystyle r$

{\regated}\mu(t,r)&=\dma(t,r)\\dma(t,r)&={\sqrt{\r+\line}}}

그리고 나서 미분 방정식은

A_{t}(t,T)-\beta (t)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\delta (t)B^{2}(t,T)-\left[1+B_{t}(t,T)+\alpha (t)B(t,T)-{\frac {1}{2}}\gamma (t)B^{2}(t,T)\right]r=0

$이$ 공식은 모든 $r$ ${\displaystyle r$ $t$ ${\displaystyle t$ T $T$ 에 대해 유지되어야 하므로 $r$ $r$ 의 계수는 0이어야 한다 $r$ $T$

1+B_{t}(t,T)+\알파(t)B(t,T)-{\frac {1}{1}{2}}\감마(t){2}(t,T)=0

그렇다면 다른 용어 또한 사라져야 한다.

A_{t}(t,T)-\beta(t)B(t,T)+{\frac {1}{1}{2}}\delta(t)B^{2}(t,T)=0

그런 다음 $\mu$ $\mu$ 과 $\mu$ $\sigma ^{2}$ $\sigma ^{2}$ ${\$ 이 $\sigma ^{2}$ r $r$ 에서 동일하다고 가정하고 $r$ 모델은 $A$ ${\$ $displaystyle$ $A}$ 과 $A$ B $}$ 이(가) 방정식 시스템을 만족하는 $B$ 부호 항 구조를 가지고 있다.

{\begin{aligned}1+B_{t}(t,T)+\alpha (t)B(t,T)-{\frac {1}{2}}\gamma (t)B^{2}(t,T)&=0\\B(T,T)&=0\\A_{t}(t,T)-\beta (t)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\delta (t)B^{2}(t,T)&=0\\A(T,T)&=0\end{aligned}}

ATS 모델

바시체크

Vasicek 모델 $dr=(b-ar)\,dt+\sigma \,dW$ $dr=(b-ar)\,dt+\sigma \,dW$ = $dr=(b-ar)\,dt+\sigma \,dW$ ( $dr=(b-ar)\,dt+\sigma \,dW$ - $dr=(b-ar)\,dt+\sigma \,dW$ ) $dr=(b-ar)\,dt+\sigma \,dW$ $dr=(b-ar)\,dt+\sigma \,dW$ + + $dr=(b-ar)\,dt+\sigma \,dW$ $dr=(b-ar)\,dt+\sigma \,dW$ $dr=(b-ar)\,dt+\sigma \dW$ 에는 다음과 같은 부속 용어 구조가 있다 $dr=(b-ar)\,dt+\sigma \,dW$ .

{\begin}p(t,T)&=e^{A(t,T)-B(t)r(t)}\\\b(T)={1}{a}}\frac({1}{a^{-a(T)\오른쪽)\A(t,T)&={\frac {(B(t,T)-T+t))(ab-{\frac {1}{1}:{2}}:\sigma ^{2}}-{a^{2}}-{\frac {\sigma ^{2}(t,T)}{4a}\end{a}}}}}}}}}

차카게 프리 넬슨 시겔

용어 구조 모델링에 대한 한 가지 접근법은 제안된 모델에 대해 차익거래가 없는 조건을 적용하는 것이다. 일련의 논문에서는 저자들이 AFNS에 라벨을 붙이는 유명한 넬슨-시겔 모델의 차익거래가 없는 버전을 사용하여 제안된 동적 수익률 곡선 모델이 개발되었다.^[2]^[3]^[4]^[5] 저자는 AFNS 모델을 도출하기 위해 다음과 같은 몇 가지 가정을 한다.

수율곡선의 수준, 기울기, 곡률에 해당하는 세 가지 잠재적 요인이 있다.
잠재 인자는 다변량 Ornstein-Uhlenbeck 공정에 따라 진화한다. 특정 사양은 사용 중인 조치에 따라 다르다.
1. $dx=K^{\mathbb {P} }(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathbb {P} }$ $dx=K^{\mathbb {P} }(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathbb {P} }$ = $dx=K^{\mathbb {P} }(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathbb {P} }$ $dx=K^{\mathbb {P} }(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathbb {P} }$ $dx=K^{\mathbb {P} }(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathbb {P} }$ - $dx=K^{\mathbb {P} }(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathbb {P} }$ ) $dx=K^{\mathbb {P} }(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathbb {P} }$ $dx=K^{\mathbb {P} }(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathbb {P} }$ + $dx=K^{\mathbb {P} }(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathbb {P} }$ d $dx=K^{\mathbb {P} }(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathbb {P} }$ P ${\$ { $P$ $}}}}}}($ 실제 측정 $\mathbb {P}$ ${\$ {P $\mathbb {P}$
2. $dx=-K^{\mathbb {Q} }xdt+\Sigma dW^{\mathbb {Q} }$ $dx=-K^{\mathbb {Q} }xdt+\Sigma dW^{\mathbb {Q} }$ = $dx=-K^{\mathbb {Q} }xdt+\Sigma dW^{\mathbb {Q} }$ - $dx=-K^{\mathbb {Q} }xdt+\Sigma dW^{\mathbb {Q} }$ Q $dx=-K^{\mathbb {Q} }xdt+\Sigma dW^{\mathbb {Q} }$ $dx=-K^{\mathbb {Q} }xdt+\Sigma dW^{\mathbb {Q} }$ $dx=-K^{\mathbb {Q} }xdt+\Sigma dW^{\mathbb {Q} }$ + $dx=-K^{\mathbb {Q} }xdt+\Sigma dW^{\mathbb {Q} }$ d $dx=-K^{\mathbb {Q} }xdt+\Sigma dW^{\mathbb {Q} }$ Q ${\$ 위험 중립 $\mathbb {Q}$ Q ${\$ )
변동성 매트릭스 $\Sigma$ $\Sigma$ 이(가 $\Sigma$ ) 대각선인 경우
짧은 속도는 레벨과 경사의 함수( $r=x_{1}+x_{2}$ = $r=x_{1}+x_{2}$ 1 $r=x_{1}+x_{2}$ + $r=x_{1}+x_{2}$ $r=x_{1}+x_{2}$ ${\$

제로쿠폰 채권 가격의 가정된 모델로부터:

P(\tau ,x)=\exp \left[A(\tau )+x^{T}B(\tau )\right]}

\tau

에서의 수익률

({\displaystyle \tau })

은 다음에 의해 부여된다

\tau

.

y(\tau )=-{A(\tau ) \over {\tau }}-{x^{T}B(\tau ) \\\tau }}

그리고 열거된 가정에 기초하여 폐쇄형 솔루션을 위해 해결해야 하는 일련의 ODE는 다음과 같이 제시된다.

(\displaystyle -\왼쪽[A'(\tau )+B'(\tau )^{T}x\오른쪽]-B(\tau )^{T}K^{\mathb {Q}{}}x+{1\{2}}B(\tau )^{T}\Oomega B(\tau )-\rho ^{T}x=0,\quad A(0)=B_{i}(0)=0}=0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}=0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

여기서

\rho ={\begin{pmatrix}1&1&0\end{pmatrix}}^{T}

=

\rho ={\begin{pmatrix}1&1&0\end{pmatrix}}^{T}

(

\rho ={\begin{pmatrix}1&1&0\end{pmatrix}}^{T}

\rho ={\begin{pmatrix}1&1&0\end{pmatrix}}^{T}

0

\rho ={\begin{pmatrix}1&1&0\end{pmatrix}}^{T}

)

\rho ={\begin{pmatrix}1&1&0\end{pmatrix}}^{T}

{\

}^{{pmatrix}}{{pmatrix

}}}^{{

pmatrix}}

T}}

과

\rho ={\begin{pmatrix}1&1&0\end{pmatrix}}^{T}

\Omega

{\

displaystyle \Oomega}

은

\Omega

(는)

\Omega _{ii}=\sigma _{i}^{2}

i =

\Omega _{ii}=\sigma _{i}^{2}

i = i i

\Omega _{ii}=\sigma _{i}^{2}

{\

displaystyle \Oomega _{i

}^{

i}

2

\Omega _{ii}=\sigma _{i}^{2}

계수와 일치하는 계수는 다음과 같은 방정식 집합이다.

{\begin{aligned}-B'(\tau )&=\left(K^{\mathbb {Q} }\right)^{T}B(\tau )+\rho ,\quad B_{i}(0)=0\\A'(\tau )&={1 \over {2}}B(\tau )^{T}\Omega B(\tau ),\quad A(0)=0\end{aligned}}

저자들은 추적 가능한 해결책을 찾기 위해 K

K^{\mathbb {Q} }

{\

을(를) 다음과

K^{\mathbb {Q} }

같이 제안한다.

K^{\mathb {Q}}={\begin{pmatrix}0&0\\\0&\lambda \\0&#lambda \end{pmatrix}}}}

벡터

B(\tau )

(

B(\tau )

)

{\displaystyle

B

(\

tau

)}

에 대해 결합된 ODE 집합을 해결하고

{\mathcal {B}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}B(\tau )

(

{\mathcal {B}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}B(\tau )

)

{\mathcal {B}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}B(\tau )

=

{\mathcal {B}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}B(\tau )

-

{\mathcal {B}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}B(\tau )

{\mathcal {B}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}B(\tau )

B

{\mathcal {B}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}B(\tau )

(

{\mathcal {B}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}B(\tau )

)

{\displaystyle {\b}(\tau )=-{1 \tau

에 대해 다음을 발견한다.

{\mathcal {B}}(\tau )={\begin{pmatrix}1&{1-e^{-\lambda \tau } \over {\lambda \tau }}&{1-e^{-\lambda \tau } \over {\lambda \tau }}-e^{-\lambda \tau }\end{pmatrix}}^{T

그 다음

x^{T}{\mathcal {B}}(\tau )

x^{T}{\mathcal {B}}(\tau )

x^{T}{\mathcal {B}}(\tau )

(

x^{T}{\mathcal {B}}(\tau )

)

{\displaystyle

x

^{

T}{\mathcal{B}}(\tau

)은 표준 넬슨-시겔 항복 곡선 모델을 재현한다

x^{T}{\mathcal {B}}(\tau )

. 항복조정인자

{\mathcal {A}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}A(\tau )

(

{\mathcal {A}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}A(\tau )

)

{\mathcal {A}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}A(\tau )

=

{\mathcal {A}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}A(\tau )

-

{\mathcal {A}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}A(\tau )

{\mathcal {A}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}A(\tau )

A (

{\mathcal {A}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}A(\tau )

){\displaystyle

{\

mathcal{A}(\tau )=-{1

\over

{\tau }}}}}}

에 대한 해결책은 2007년 논문의 부록 B에 수록되어 있지만

{\mathcal {A}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}A(\tau )

, 차익거래가 없는 조건을 강제하기 위해 필요하다.

평균기대단락률

AFNS 모델에서 도출될 수 있는 한 가지 관심사는 평균 기대단락율(AESR)이며, 이는 다음과 같이 정의된다.

{\text{AESR}}\equiv {1 \over {\tau }\int _{t}^{t+\tau }\mathb {E} _{t}(r_{s}ds=y(\tau )-{\text{\text}TP}(\tau )

여기서

\mathbb {E} _{t}(r_{s})

\mathbb {E} _{t}(r_{s})

(

\mathbb {E} _{t}(r_{s})

\mathbb {E} _{t}(r_{s})

)

{\displaystyle \mathb {E} _{t}(r_{s})

는 단률 및

{\text{TP}}(\tau )

{\text{TP}}(\tau )

{\text

의 조건부 기대치임

\mathbb {E} _{t}(r_{s})

.

TP}(\tau )}

은 성숙도 채권과 관련된 프리미엄 용어

{\displaystyle \tau

\tau

AESR을 찾으려면 실제

\mathbb {P}

P

{\

에 따른 잠재 요인의 역학 관계가 다음과

\mathbb {P}

같음을 상기하십시오.

dx=K^{\mathb {P}}}}(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathb {P}}}}}}

다변량 Ornstein-Uhlenbeck 공정의 일반적인 해결책은 다음과 같다.

x_{t}=\ta +e^{-K^{}{}}}{{0}-\ta )+\int_{0}{0}^{0}e^{0}{0}^{{t^{}}}}{}}}}}\Sigma dW^{\mathb{P}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

e^{-K^{\mathbb {P} }t}

-

e^{-K^{\mathbb {P} }t}

e^{-K^{\mathbb {P} }t}

e^{-K^{\mathbb {P} }t}

{\

은

e^{-K^{\mathbb {P} }t}

(는) 행렬 지수라는 점에 유의하십시오. 이 솔루션에서는

t+\tau

과 같이

t+\tau

t +

t+\tau

t+\tau

의 요인에 대한 조건부 기대치를 명시적으로 계산할 수 있다.

\mathb {E} _{t}(x_{t+\tau })=\ta +e^{-K^{-K^{\mathb {P}}\tau }}(x_{t}-\ta )

r_{t}=\rho ^{T}x_{t}

r_{t}=\rho ^{T}x_{t}

=

r_{t}=\rho ^{T}x_{t}

T

r_{t}=\rho ^{T}x_{t}

r_{t}=\rho ^{T}x_{t}

{\

을

r_{t}=\rho ^{T}x_{t}

를) 참고하여 AESR에 대한 일반 솔루션을 분석적으로 찾을 수 있다.

{1 \over {\tau }}\int _{t}^{t+\tau }\mathbb {E} _{t}(r_{s})ds=\rho ^{T}\left[\theta +{1 \over {\tau }}\left(K^{\mathbb {P} }\right)^{-1}\left(I-e^{-K^{\mathbb {P} }\tau }\right)(x_{t}-\theta )\right]

참조

^ Duffie, Darrell; Kan, Rui (1996). "A Yield-Factor Model of Interest Rates". Mathematical Finance. 6 (4): 379–406. doi:10.1111/j.1467-9965.1996.tb00123.x. ISSN 1467-9965.
^ Christensen, Jens H. E.; Diebold, Francis X.; Rudebusch, Glenn D. (2011-09-01). "The affine arbitrage-free class of Nelson–Siegel term structure models". Journal of Econometrics. Annals Issue on Forecasting. 164 (1): 4–20. doi:10.1016/j.jeconom.2011.02.011. ISSN 0304-4076.
^ Christensen, Jens H. E.; Rudebusch, Glenn D. (2012-11-01). "The Response of Interest Rates to US and UK Quantitative Easing". The Economic Journal. 122 (564): F385–F414. doi:10.1111/j.1468-0297.2012.02554.x. ISSN 0013-0133.
^ Christensen, Jens H. E.; Krogstrup, Signe (2019-01-01). "Transmission of Quantitative Easing: The Role of Central Bank Reserves". The Economic Journal. 129 (617): 249–272. doi:10.1111/ecoj.12600. ISSN 0013-0133.
^ Nelson, Charles R.; Siegel, Andrew F. (1987). "Parsimonious Modeling of Yield Curves". The Journal of Business. 60 (4): 473–489. doi:10.1086/296409. ISSN 0021-9398. JSTOR 2352957.

추가 읽기

Bjork, Tomas (2009). Arbitrage Theory in Continuous Time, third edition. New York, NY: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-957474-2.

[1] Duffie, Darrell; Kan, Rui (1996). "A Yield-Factor Model of Interest Rates". Mathematical Finance. 6 (4): 379–406. doi:10.1111/j.1467-9965.1996.tb00123.x. ISSN 1467-9965.

[2] Christensen, Jens H. E.; Diebold, Francis X.; Rudebusch, Glenn D. (2011-09-01). "The affine arbitrage-free class of Nelson–Siegel term structure models". Journal of Econometrics. Annals Issue on Forecasting. 164 (1): 4–20. doi:10.1016/j.jeconom.2011.02.011. ISSN 0304-4076.

[3] Christensen, Jens H. E.; Rudebusch, Glenn D. (2012-11-01). "The Response of Interest Rates to US and UK Quantitative Easing". The Economic Journal. 122 (564): F385–F414. doi:10.1111/j.1468-0297.2012.02554.x. ISSN 0013-0133.

[4] Christensen, Jens H. E.; Krogstrup, Signe (2019-01-01). "Transmission of Quantitative Easing: The Role of Central Bank Reserves". The Economic Journal. 129 (617): 249–272. doi:10.1111/ecoj.12600. ISSN 0013-0133.

[5] Nelson, Charles R.; Siegel, Andrew F. (1987). "Parsimonious Modeling of Yield Curves". The Journal of Business. 60 (4): 473–489. doi:10.1086/296409. ISSN 0021-9398. JSTOR 2352957.

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