호출음(수학)

수학에서, 링은 필드를 일반화하는 대수 구조이다: 곱셈은 가환적일 필요가 없고 곱셈 역이 존재할 필요가 없다.즉, 링은 정수의 덧셈 및 곱셈과 유사한 성질을 만족시키는 2개의 이진 연산을 갖춘 집합이다.링 요소는 정수나 복소수와 같은 숫자일 수 있지만 다항식, 제곱 행렬, 함수 및 멱급수와 같은 비숫자 개체일 수도 있습니다.

형식적으로, 링은 곱셈이라고 불리는 두 번째 2진수 연산을 갖는 덧셈이라고 불리는 아벨 군이다. (어떤 저자들은 결측 i가 있는 "rng"라는 용어를 이 마지막 레퀴를 생략하는 보다 일반적인 구조를 언급하기 위해 사용한다.)의 정의에 관한 「」를 참조해 주세요).

링이 가환인지 여부(즉, 두 요소가 곱되는 순서가 결과를 바꿀 수 있는지 여부)는 링의 동작에 깊은 영향을 미칩니다.교환대수, 즉 교환환 이론은 고리 이론의 주요 분야이다.그것의 발전은 대수적 수 이론과 대수적 기하학의 문제와 아이디어에 의해 큰 영향을 받았다.가장 단순한 가환환이란 0이 아닌 원소에 의한 나눗셈을 허용하는 환을 필드라고 합니다.

교환환의 예로는 표준 덧셈과 곱셈이 있는 정수 집합, 덧셈과 곱셈이 있는 다항식 집합, 아핀 대수적 다양성의 좌표환, 숫자 필드의 정수환 등이 있다.비가환환의 예로는 n µ 2의 n × n 실제 제곱 행렬의 고리, 표현 이론의 군 고리, 함수 분석의 연산자 대수, 미분 연산자의 고리, 위상에서의 코호몰로지 고리가 있다.

반지의 개념화는 1870년대부터 1920년대에 걸쳐 이루어졌으며, 데데킨드, 힐베르트, 프랭켈, 그리고 노에테르에 의해 주요한 기여를 했다.링은 수 이론에서 발생하는 데데킨트 영역의 일반화, 대수 기하학과 불변 이론에서 발생하는 다항식 링과 불변환의 일반화로서 처음 공식화되었습니다.그것들은 나중에 기하학과 해석과 같은 수학의 다른 분야에서 유용하다는 것을 증명했다.

정의.

링은 두 개의^[1]^[2]^[3] 이진 연산 +(더하기)와^[a] δ(곱하기)를 갖춘 집합 R로, 링 공리라고 하는 다음 세 개의 공리를 만족시킵니다.

R은 덧셈 대상 아벨 군이며, 다음과 같은 의미를 갖는다.
- R의 모든 a, b, c에 대해 (a + b) + c = a + (b + c)이다(즉 +는 연관).
- a + b = b + a는 모든 a, b는 R(즉 +는 가환)입니다.
- R의 모든 a에 대해 a + 0 = a가 되도록 R에 원소 0이 있다(즉, 0은 가법 항등).
- R의 각 a에 대해 -a가 존재하여 a +(-a) = 0(즉, -a는 a의 가법 역)이 됩니다.
R은 곱셈 아래의 단수이다. 즉, 다음과 같다.
- (a ⋅ b) in c = a ⋅ c （ b c c ）。R의 모든 a, b, c에 대해서(즉, ⋅는 연관성이 있다).
- R의 모든 a에 대해 θ 1 = a 및 1 θ a = a가 되도록 R에 원소 1이 존재한다(즉, 1은 곱셈 ^[b]항등식이다).
곱셈은 덧셈과 관련하여 분포되어 있습니다. 즉, 다음과 같습니다.
- R(좌측 분포도)의 모든 a, b, c에 대해 a µ (b + c) = (a µ b) + (a µ c)이다.
- (b + c) R의 모든 a, b, c에 대해 (b right a) + (c a a)이다(오른쪽 분포).

정의에 대한 주의사항

이 기사의 용어에서 링은 곱셈 항등식을 가지도록 정의되며, 같은 자명한 정의를 가지지만 곱셈 항등식을 필요로 하지 않는 구조를 대신 rng(IPA: /rŋ//)라고 한다.예를 들어, 통상 +와 θ의 짝수 정수 집합은 링이 아닌 rng입니다.아래 § 역사에서도 설명한 바와 같이, 많은 저자들은 곱셈 아이덴티티를 요구하지 않고 "링"이라는 용어를 사용하고 있다.

곱셈 기호 is는 일반적으로 생략됩니다. 예를 들어 xy는 x y y를 의미합니다.

링 추가는 가환성이지만 링 곱셈이 가환성이 될 필요는 없습니다.ab은 반드시 ba와 같을 필요는 없습니다.곱셈의 교환성(정수의 링 등)을 만족시키는 링을 가환환이라고 합니다.가환대수나 대수기하학에 관한 책들은 용어를 단순화하기 위해 고리가 가환환을 의미한다는 관례를 채택하는 경우가 많다.

링에는 곱셈 역전이 존재할 필요가 없습니다.0이 아닌 모든 원소가 곱셈 역수를 갖는 0이 아닌 교환환을 필드라고 합니다.

링의 덧셈 그룹은 덧셈 연산만을 갖춘 기본 집합입니다.정의에서는 가법군이 아벨 군이어야 하지만, 이것은 다른 고리 ^[4]공리에서 추론할 수 있다.증명은 "1"을 사용하며, rng에서는 작동하지 않는다(rng의 경우, 덧셈의 교환성 공리를 생략하면 ab + cd = cd + ab인 원소에 대해서만 나머지 rng 가정으로부터 부정할 수 있다).

대부분의 현대 작가들은 여기서 정의한 대로 "링"이라는 용어를 사용하지만, 곱셈이 ^[5]연관성이 있는 요건이 없는 보다 일반적인 구조를 언급하기 위해 이 용어를 사용하는 소수의 작가들이 있다.이 작가들에게 모든 대수는 "링"이다.

일러스트

정수는 덧셈과 곱셈의 두 가지 연산과 함께 고리의 원형적 예를 형성합니다.

링의 가장 친숙한 예는 모든 $\mathbf {Z}$ Z(\ $displaystyle \mathbf {Z$ 의 집합으로, 숫자로 구성됩니다.

... , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

고리의 공리는 정수의 덧셈과 곱셈의 친숙한 성질의 일반화로서 상세하게 설명되었다.

일부 속성

링의 몇 가지 기본 특성은 다음 공리에서 바로 나옵니다.

가법적 동일성은 고유합니다.
각 원소의 덧셈 역수는 고유합니다.
승수 아이덴티티는 고유합니다.
링 R 내의 임의의 원소 x에 대해, 1은 x0 = 0 = 0x (0은 곱셈에 관한 흡수 원소) 및 (-1)x = –x이다.
링 R에서 0 = 1일 경우(또는 일반적으로 0은 단위 원소), R은 하나의 원소만을 가지며 제로 링이라고 불립니다.
링 R에 서브링으로서 제로링이 포함되어 있는 경우는, R 자체가 ^[6]제로링이 됩니다.
이항식은 xy = yx를 만족하는 모든 x 및 y에 대해 유지됩니다.

예제:정수 모듈로 4

$\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}$ $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}$ $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}$ { $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}$ , $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}$ 、 $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}$ 、 $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}$ 、 $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}$ $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}$ } $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}$ （ $displaystyle \mathbf {Z}$ / $4$ \ $mathbf {Z}$ = \ $left$ \ ${\overline {0}$ , {1} , ${\overline$ {2} , \ $}$ \ 、 {\ $overline {3$ } \right $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}$ ）。

Z/4Z의 x ${\overline {x}}+{\overline {y}}$ + ${\overline {x}}+{\overline {y}}$ 의 ${\overline {x}}+{\overline {y}}$ 합계({ $style {overline {x}}+{\overline {$ y}})는 ${\overline {x}}+{\overline {y}}$ x + y를 4로 나눈 경우의 나머지가 됩니다(x + y는 항상 8보다 작기 때문에 나머지는 x + y 또는 x + y - 4 중 하나입니다). ${\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}$ 를 들어 2 ${\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}$ + ${\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}$ ${\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}$ ${\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}$ ${\$ { $display$ style ${$ } + { \ $overline$ { } $=$ ${\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}$ + ${\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}$ ¯ = ${\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}$ ${\$ { $display$ style { } + { \ $overline$ { ${\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}$ } $=$ 1 $line$ line $line$ 、 3 line 、 2 ¯ ¯ ¯ 、 { line line $line$ line line line line line line line line { { { 、 { line { { $line$ { { { $line$ line line line line $line$ { 、
${\overline {x}}\cdot {\overline {y}}$ /4Z의 x x ${\overline {x}}\cdot {\overline {y}}$ y ${\overline {x}}\cdot {\overline {y}}$ display display （ \ $displaystyle$ \ $overline$ { $x$ } \ $cdot$ \ $overline$ { $y$ } ）는 ${\overline {x}}\cdot {\overline {y}}$ 정수 xy를 4로 나누었을 때의 나머지가 됩니다.예를 들어, 2 ${\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {2}}$ ¯ ${\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {2}}$ 2 $¯$ \ $display$ style { $overline {2} = cdot$ { $}$ 、 ${\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}$ ${\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}$ ${\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}$ ${\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}$ {\ 1 $、$ $cdot$ { $overline {3} = cdot$ { ${\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}$ overline ${1$ } 입니다 ${\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}$

그러면 Z/4Z는 링입니다. 각 공리는 Z에 해당하는 공리에서 나옵니다.x가 정수일 경우 x를 4로 나누었을 때 나머지 x는 Z/4Z의 요소로 간주할 수 있습니다.이 요소는 종종 "x mod 4" ${\overline {x}}$ x ${\$ (\ $displaystyle {x$ 로 나타나며 이는 0, 1, 2, 3의 표기법과 일치합니다.Z/4Z의 ${\overline {x}}$ 의 x ${\overline {x}}$ { $x})$ 의 ${\overline {x}}$ 덧셈 역수는 ${\overline {-x}}$ - x ${\overline {-x}}$ {\({ $displaystyle$ {- $x$ 입니다. 예를 들어 - $-{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.$ $-{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.$ - $-{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.$ $-{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.$ $-{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.$ $-{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.$ $-{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.$ . $-{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.$ { $displaystyle -$ {\ $overline {$ 3} = $overline {1}$ 등입니다. $}$

예: 2x2 행렬

$필드$ F에^[7]^[8]^[9]^[10] 입력된 2x2 정사각형 행렬의 집합은 다음과 같습니다.

\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)=\left\{\left.({begin{pmatrix}a&b&end{pmatrix}}\right a,b,c,d\in F\right.}

행렬 덧셈 및 행렬 곱셈 연산을 통해 $\operatorname {M} _{2}(F)$ $\operatorname {M} _{2}(F)$ ( $\operatorname {M} _{2}(F)$ ) \ $displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)}$ 는 $\operatorname {M} _{2}(F)$ 위의 링 공리를 만족한다.요소 $\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)$ $\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)$ 0 $\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)$ $){$ \left $({\begin{small matrix}1&0\\$ end{ $small$ matrix $}}\$ right $)}$ 는 $\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)$ 링의 곱셈 아이덴티티입니다.IfA=(0110){A=\left({\begin{}smallmatrix 0&, 1\\1&, 0\end{smallmatrix}}\right)\displaystyle}및 B=(0100){B=\left({\begin{}smallmatrix 0&, 1\\0&, 0\end{smallmatrix}}\right)\displaystyle}, thenAB)(0001){\displaystyle AB=\left({\begin{smallmatrix}0&, 0\ $\0&1\end{smallmatrix}\right}$ 일 $AB=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)$ 때 $BA=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right)$ A $BA=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right)$ ( $BA=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right)$ ) { $display style$ BA = \ $left$ ( { \ $begin$ { $smallmatrix$ } \ 0 $\ end$ { $smallmatrix$ } } \ right $BA=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right)$ } $BA=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right)$ 。이 예에서는 링이 교환적이지 않음을 나타냅니다.

$보다$ 일반적으로 환 R, 가환여부 및 음이 아닌 $정수$ n에 대해 $R$ 에 엔트리가 있는 $차원$ n의 제곱 행렬이 환을 형성합니다. "행렬 고리"를 참조하십시오.

역사

리처드 데데킨드, 반지 이론의 창시자 중 한 명.

데데킨트

고리에 대한 연구는 다항식 고리의 이론과 대수 ^[11]정수의 이론에서 비롯되었다.1871년, 리차드 데데킨드는 숫자 ^[12]필드의 정수환의 개념을 정의했다.이 맥락에서, 그는 "이상"과 "모듈"이라는 용어를 도입했고 그들의 특성을 연구했다.Dedekind는 "링"이라는 용어를 사용하지 않았고 일반적인 환경에서 링의 개념을 정의하지 않았습니다.

힐베르트

"잘링"이라는 용어는 1892년 데이비드 힐버트에 의해 만들어졌고 ^[13]1897년에 출판되었다.19세기 독일어에서 "Ring"이라는 단어는 "association"을 의미할 수 있는데, 이는 오늘날에도 제한된 의미(예를 들어 스파이 링)^[14]로 사용되고 있기 때문에 만약 그것이 어원이었다면 "group"이 "관련된 것의 집합"을 뜻하는 비기술적인 단어가 되어 수학에 들어가는 방식과 유사할 것이다.Harvey Cohn에 따르면, 힐버트는 ^[15]그 자체의 원소에 "직접 순환"하는 특성을 가진 고리를 위해 이 용어를 사용했다.구체적으로, 대수 정수의 링에서, 대수 정수의 모든 고승은 고정적인 저승들의 집합의 적분 조합으로 쓰여질 수 있고, 따라서 그 거듭제곱들은 "사이클백"할 수 있다.예를 들어 a - 4a + 1 = 0이면³³ a⁴ = 4a - 1, a⁵ = 4a² - a - 4, a = 16a²⁶² - 8a + 1, a⁷ = -8a² + 65a - 16 등이며, 일반적으로 a는ⁿ 1, a, a의² 정수 선형 조합이 된다.

프렝켈과 노에테르

고리에 대한 최초의 공리적인 정의는 ^[16]^[17]1915년에 아돌프 프렝켈에 의해 주어졌지만, 그의 공리들은 현대의 정의보다 더 엄격했다.예를 들어, 그는 0이 아닌 모든 제수가 곱셈 ^[18]역수를 가질 것을 요구했습니다.1921년, 에미 노에터는 교환환의 현대적 자명한 정의를 내렸고 그녀의 논문인 링베레이첸의 ^[19]이상 이론에서 교환환 이론의 기초를 발전시켰습니다.

곱셈 항등식 및 "링"이라는 용어

프랭켈의 "고리"에 대한 공리는 곱셈적 ^[20]동일성의 공리를 포함하지만, 노에터의 공리는 포함하지 않았다.^[19]

1960년경까지의 대수학에 관한^[21]^[22] 대부분의 또는 모든 책들은 "반지"에 1을 요구하지 않는 노에터의 관례를 따랐다.1960년대부터 아르탱,^[23] 아티야, 맥도날드,^[24] 부르바키,^[25] 아이젠부드,^[26] ^[27]랑 등 저명 작가의 고급 서적을 중심으로 반지 정의에 1이 포함된 책이 등장하기 시작했다.2006년에 출판된 책들 중에는 ^[28]^[29]^[30]1의 조건 없이 이 용어를 사용하는 책들도 있다.

Gardner와 Wiegandt는 (고정 링으로 작업하는 것이 아니라) 링 범주에 있는 여러 물체를 다룰 때, 모든 링에 1이 필요한 경우, 어떤 결과에는 무한 직접 링이 존재하지 않으며 링의 적절한 직접 합계가 하위 링이 아니라고 주장한다.그들은 "많은, 아마도 대부분의 고리 이론에서 단일 원소의 존재에 대한 요구는 합리적이지 않고,^[31] 따라서 받아들여질 수 없다"고 결론짓는다.Poonen은 곱셈 아이덴티티가 없는 링은 완전히 연관성이 없다는 반론을 제기하고(빈 시퀀스를 포함한 모든 유한한 링 요소의 곱은 잘 정의되어 연산 순서와는 무관하다), "링에 빈 곱이 포함되어야 하는 연관성 요구의 자연스러운 확장"이라고 쓴다.따라서 링에 ^[32]1인치가 필요한 것은 당연합니다.

"링"이라는 용어의 사용에 대해 어느 하나의 규약을 따르는 저자는 다른 규약을 충족하는 물체를 언급하기 위해 다음 중 하나의 용어를 사용할 수 있다.

"단일 링", "유니터리 링", "유니터리 링", "유니티 링", "유니티 링", "유니티 링", "유니티 링", "유니티와 링" 또는 ^[33]"유니티와 링"^[34]의 요건을 포함하기 위해.
"rng"^[35] 또는 "rng-ring"이라는 곱셈 아이덴티티에 대한 요건을 생략한다.단, "rng" 또는 "rng-ring"^[36]은 다른 의미도 있기 때문에 혼란스러울 수 있다.

기본적인 예

교환환

프로토타입의 예는 덧셈과 곱셈의 두 가지 연산이 있는 정수의 고리입니다.
유리, 실수 및 복소수는 필드라고 불리는 유형의 교환환입니다.
교환환 R에 대한 단치연관대수는 R모듈과 마찬가지로 링이다.몇 가지 예:
- 계수가 $R$ 인 다항식의 $대수$ R $[X]$ 입니다.
- 계수가 $R$ 인 형식 멱급수의 대수 R $[X 1, ...,$ $X n].$
- 실선상에 정의되어 있는 모든 연속적인 실값 함수의 집합은 교환 R-대수를 형성합니다.연산은 점 단위로 함수를 더하고 곱하는 것입니다.
- X를 세트, R을 링으로 $하자$ .다음으로 $X$ 에서 $R$ 까지의 모든 함수의 집합이 링을 형성합니다. $이것$ 은 R이 가환이면 가환입니다.위의 예에서 연속 함수의 링은 X가 실선이고 $R$ = $R$ 인 $경우$ 이 링의 서브링입니다.
2차 정수의 링, Q $(\$ 의 2차 확장에서 Z $(\$ 의 $\mathbf {Z}$ 적분 닫힘. 모든 대수 정수의 링의 하위 링입니다.
모든 소수 p 위의 p-adic $\mathbf {Z} _{p}$ Z $\mathbf {Z} _{p}$ \ $displaystyle$ \ $mathbf$ ${Z}$ _ ${p}$ 의 (무한) 곱인 불특정 ${\widehat {\mathbf {Z} }}$ Z $^$ ${\displaystyle$ $\mathbf {Z} _{p}$ \mathbf ${Z}$ _{p}의 $\mathbf {Z} _{p}$ 고리 ${\widehat {\mathbf {Z} }}$
헤케 연산자에 의해 생성된 헤케 반지.
S가 집합일 $경우$ , 덧셈을 집합의 대칭 차이로 정의하고 곱셈을 교차로 정의하면 $S$ 의 거듭제곱 집합은 링이 됩니다.부울링의 예를 다음에 나타냅니다.

비가환환

임의의 링 R 및 임의의 자연수 n에 대해서, R로부터의 엔트리를 가지는 전제곱 n-by-n 행렬의 집합은, 행렬 덧셈과 행렬 곱셈을 연산으로 하는 링을 형성한다.n = 1의 경우, 이 행렬 고리는 R 자체와 동형이다.n > 1(및 R은 제로 링이 아님)의 경우 이 매트릭스 링은 치환적이지 않습니다.
만약 G가 아벨 군이라면, G의 내형상은 고리를 형성하고, G의 내형상환 End(G)는 고리를 형성한다.이 링의 연산은 내형사상의 추가 및 구성입니다.보다 일반적으로 V가 링 R 위의 왼쪽 모듈인 경우, 모든 R-선형 맵의 세트는 링을 형성합니다.이 링은 내형성 링이라고도 불리며 End(V)로_R 표시됩니다.
타원 곡선의 내형 링입니다.타원 곡선이 특성 0의 필드에 걸쳐 정의되어 있는 경우에는 교환환입니다.
G가 그룹, R이 링일 경우 Gover R의 그룹링은 G를 베이스로 하는 프리 모듈 오버 R이다.곱셈은 그룹 G에서와 같이 G의 요소가 R의 요소와 함께 이동하고 함께 곱하는 규칙에 의해 정의된다.
(콘텍스트에 따라 다름) 차분 연산자의 링.실제로 분석에 나타나는 많은 링은 가환적이지 않습니다.예를 들어, 대부분의 바나흐 대수는 가환적이지 않다.

비링

$(N, +)$ 는 군도 아니기 때문에 일반 연산을 사용하는 $자연수$ N의 집합은 링이 아닙니다(더하기와 관련하여 요소가 모두 반전되는 것은 아닙니다).예를 들어, 3에 더해서 0을 얻을 수 있는 자연수는 없습니다.음수를 포함시켜 $정수$ Z의 고리를 생성함으로써 자연스럽게 고리로 확대하는 방법이 있습니다.자연수(0 포함)는 세미링으로 알려진 대수 구조를 형성한다.
R을 함수에 따라 달라지는 경계 구간 밖으로 사라지는 실선상의 모든 연속 함수의 집합이라고 가정하고, 평소처럼 덧셈을 하지만 곱셈은 컨볼루션으로 정의한다. ${{displaystyle (f*g)(x)=\int _{-\infty}^{\infty}f(y)g(x-y),dy}$ 다음으로 R은 링이 아닌 rng입니다.Dirac 델타 함수는 곱셈 아이덴티티의 속성을 가지지만 함수는 아니기 때문에 R의 요소가 아닙니다.

기본 개념

제품과 파워

각 음이 아닌 $정수$ n에 대해, $R$ 의 n개의 요소의 $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ $배열$ ( $,$ $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ , n $)$ ${{displaystyle$ ( $a_{$ 1},\ $ldots,a_{$ n})} {{displaystyle $P_$ {n} $= 1$ $\textstyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}$ {\ $displaystyle$ \ $textstyle$ P_ ${i=1}^{n$ }}} {n}}} $p_n}}}$ 의 $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ $\textstyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}$ $\textstyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}$ 을 재귀적으로 정의할 수 있다.

특별한 경우로서 링의 $원소$ $a$ 의⁰ 음이 아닌 정수 a $=1$ $및 n$ a $= a$ 의ⁿ⁻¹ $nδ1$ 을 정의할 수 있다. $그런 m + n$ 다음 모든 $m$ 에^m $대해 n$ a = a, $n$ ÷ $0$ 입니다.

링 내의 요소

$링$ R $(\displaystyle$ R $)$ 의 $R$ 왼쪽 영소수는 링 내의 $요소$ a(\ $displaystyle$ a $)$ 로 $a$ , R $(\displaystyle$ R $)$ 의 $R$ 0이 아닌 $요소$ b(\ $displaystyle$ b $)$ 가 $b$ $ab=0$ 하며, $(\displaystyle ab=0$ ^[c]이다.오른쪽 영소수는 마찬가지로 정의된다.

nilpotent 요소는 $a^{n}=0$ $n>0$ > $n>0$ ( $일부$ n $>$ 0 $)$ 에 대해 n $=$ 0(\ $displaystyle$ $a$ ^{ $n}=$ 0 $n>0$ 이 $a^{n}=0$ $a^{n}=0$ $a$ 입니다. nilpotent 요소의 $a$ 예로는 nilpotent matrix가 있습니다.0이 아닌 링의 0 퍼텐트 요소는 반드시 0 제수입니다.

$e$ 는 $e$ $e^{2}=e$ $=$ {\ $displaystyle$ e $^{2$ }= $e$ 와 같은 요소이다.등가성 요소의 예로는 선형 대수의 투영을 들 수 있다.

단위는 곱셈 역수를 갖는 $요소(\displaystyle$ a $)$ 입니다 $a$ .이 경우 역수는 고유하며 $(\$ a $^{-1$ 로 표시됩니다.링의 단위 세트는 링 곱셈 아래의 그룹입니다.이 그룹은 $R^{\times }$ R × $R^{\times }$ {\ $displaystyle$ R $^{\times$ }}, $R^{*}$ display {\ $displaystyle$ R $U(R)$ $U(R)$ U $(R)$ 로 $R^{\times }$ 됩니다.예를 들어, R이 필드 위의 n 크기의 모든 정사각형 행렬의 링인 경우, $R^{\times }$ × $style R.$ 크기가 n인 모든 가역 행렬 집합의 s를 일반 선형 군이라고 합니다.

서브링

R의 서브셋S는 다음 중 하나의 동등한 조건이 충족되면 서브링이라고 불립니다.

R의 덧셈과 곱셈은 S를 R과 동일한 곱셈 동일성을 갖는 링으로 만드는 연산 S × S → S를 제공하기 위해 제한된다.
1 µ S, 그리고 S의 모든 x, y에 대해 xy, x + y, -x는 S에 있다.
S는 포함 지도 S → R이 링 동형이 되도록 링을 만드는 연산을 가질 수 있다.

예를 들어 정수의 링 Z는 실수 필드의 서브링이며 다항식 Z[X]의 링의 서브링이기도 하다(두 경우 모두 Z는 큰 링의 승수인 1을 포함한다).한편, 짝수 정수 2Z의 서브셋에는 아이덴티티 요소 1이 포함되어 있지 않기 때문에 Z의 서브링으로 적합하지 않습니다.단, 2Z를 서브링이라고 부를 수 있습니다.

서브링의 교차는 서브링입니다.R의 서브셋 E가 주어졌을 때, E를 포함한 R의 가장 작은 서브링은 E를 포함한 R의 모든 서브링의 교집합이며, 이를 E가 생성하는 서브링이라고 한다.

링 R의 경우, R의 가장 작은 서브링을 R의 특성 서브링이라고 합니다.1과 -1의 복사본을 추가하여 생성할 수 있습니다.n $n\cdot 1=1+1+\ldots +1$ 1 $n\cdot 1=1+1+\ldots +1$ + $n\cdot 1=1+1+\ldots +1$ + … $n\cdot 1=1+1+\ldots +1$ + $n\cdot 1=1+1+\ldots +1$ {\ $displaystyle$ n $\cdot$ 1 $= 1$ + 1 + \ $ldots +$ 1 } $n\cdot 1=1+1+\ldots +1$ (n회)이 0일 수 있습니다.n이 이와 같이 가장 작은 양의 정수일 경우, n은 R의 특성이라고 불립니다.일부 링에서는 어떤 양의 정수 n에 대해서도 n $n\cdot 1$ 1(\ $style$ n $\cdot$ 1)이 $n\cdot 1$ 0이 되지 않으며, 이러한 링은 특성 0을 갖는다고 합니다.

링 R이 주어졌을 때, Z $\operatorname {Z} (R)$ δ ( $)$ (\ $displaystyle \operatorname {Z}$ ( $R))$ 는 $\operatorname {Z} (R)$ R 내의 모든 요소 x의 집합을 나타내며, x가 R 내의 임의의 y에 $xy=yx$ R: x y $xy=yx$ $xy=yx$ x {\ $displaystyle$ xy $=yx}$ 의 $xy=yx$ 모든 요소와 일치하도록 한다. $\operatorname {Z} (R)$ $\operatorname {Z} (R)$ ( $\operatorname {Z} (R)$ ) $\operatorname {Z} (R)$ { $displaystyle \operatorname {Z}$ (R $)$ }는 $\operatorname {Z} (R)$ R의 중심이라고 불리는 R의 서브링입니다.보다 일반적으로, R의 부분 집합 X가 주어지면, S는 X의 모든 원소와 함께 이동하는 R의 모든 원소의 집합이라고 하자.S는 R의 부분환으로, X의 중심화(또는 정류자)라고 불립니다.중앙은 링 R 전체의 중앙 장치입니다.중앙의 요소 또는 부분 집합은 R의 중심이라고 하며, 이들은 각각 중앙의 부분 고리를 생성합니다.

이상적

R을 링으로 하자.R의 왼쪽 이상은 R의 임의의 x, y in I 및 r에 대해 x $x+y$ + $(\displaystyle$ x $+y)$ $rx$ r $x$ (\ $displaystyle$ rx $)$ $x+y$ 가 $rx$ I에 존재하도록 R의 왼쪽 서브셋I입니다. $RI($ 스타일 RI $)$ 가 $RI$ I의 R-스팬, 즉 유한합집합인 경우

{\displaystyle r_{1}x_{n}+\cdots +r_{n}x_{n}\quad {textrm {such}\;{textrm {that}}\;r_{i}\in R\;{and}\;\textrm {i}\in I,}\quad

R I $RI\subseteq I$ I \ $display style$ RI \ $subseteq$ I $RI\subseteq I$ 、 R $IR\subseteq I$ \ $display style$ IR \ $subseteq$ I $IR\subseteq I$ r r a r a i i i i i i i I a a a a is simply then then is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is is $IR\subseteq I$ is is is r is단측 또는 양측 이상은 R의 가법 부분군이 됩니다.E가 R의 서브셋인 $경우$ , R $E$ (\ $displaystyle$ RE)는 $RE$ E에 의해 생성된 왼쪽 아이디얼이라고 불리는 왼쪽 아이디얼이며, E를 포함하는 왼쪽 아이디얼 중 가장 작은 아이디얼입니다.마찬가지로 R의 부분 집합에서 생성된 올바른 이상 또는 양면 이상을 고려할 수 있습니다.

x가 R에 $있는$ 경우 $,$ R x ({ $디스플레이$ 스타일Rx $Rx$ })와 X $R$ ({ $디스플레이$ 스타일 $xR})$ 는 $xR$ 각각 왼쪽 이상과 오른쪽 이상입니다. 이들은 x가 생성하는 주요 왼쪽 이상과 오른쪽 이상이라고 불립니다.주 $아이디얼$ $RxR(\style$ RxR $)$ 은 $RxR$ $(x)$ ) $(x)$ { $displaystyle (x$ 로 $(x)$ 표기됩니다.예를 들어, 모든 양의 배수 및 음의 배수 집합이 0과 함께 정수의 아이디얼을 형성하며, 이 아이디얼은 정수 2에 의해 생성됩니다.사실, 정수의 고리의 모든 이상은 주체이다.

그룹처럼 고리는 0이 아니고 0이 아닌 양면 이상이 없다면 단순하다고 한다.교환 단순 링은 정확히 필드입니다.

반지는 종종 이상에 특별한 조건을 붙여 연구된다.예를 들어 왼쪽 이상의 무한 사슬이 엄격하게 증가하지 않는 고리를 왼쪽 노에테르 고리라고 합니다.왼쪽 이상의 무한 사슬이 엄격하게 감소하지 않는 고리를 왼쪽 아르티니아 고리라고 합니다.왼쪽 아르티니아 고리가 노이더리안(홉킨스-)으로 남겨진다는 것은 다소 놀라운 사실이다.레비츠키 정리).그러나 정수는 아르티니아 고리가 아닌 노에테르 고리를 형성한다.

가환환의 경우, 이상은 정수에서 소수로의 분해와 나눗셈의 고전적 개념을 일반화한다.요소 $x,y\in R$ , $x,y\in R$ y $x,y\in R$ R { $displaystyle$ x, $y\in$ R $}$ 에 $x,y\in R$ $xy\in P$ x y $xy\in P$ P { $displaystyle$ xy $\in$ P $}$ 가 $xy\in P$ x $x\in P$ P 또는 y $y\in P$ $y\in P$ { $displaystyle$ x $\$ $in$ P $y\in P$ 가 $x\in P$ $이상$ P에 대해 동등한 것을 프라임 아이디얼이라고 합니다. $IJ\subseteq P$ J $IJ\subseteq P$ P { $display style$ IJ \ $subseteq P$ }는 $IJ\subseteq P$ $I\subseteq P$ I $I\subseteq P$ P { $displaystyle$ I \ $subseteq$ P } $J\subseteq P.$ J $J\subseteq P.$ P $.{$ $displaystyle$ J \ $subseteq$ P $}$ 를 의미합니다 $J\subseteq P.$ .

동형사상

링(R, +, θ)에서 링(S, θ, θ)으로의 동형사상은 링 동작을 유지하는 R에서 S로의 함수 f이다.즉, R의 모든 a, b에 대해 다음과 같은 동일성이 유지된다.

f(a + b) = f(a) ‡ f(b)
f(a ⋅ b) = f(a) ∗ f(b)
f(1_R) = 1_S

1개가 rngs로 동작하고 있는 경우, 세 번째 조건은 폐기됩니다.

f에 대한 역동형(즉, 역함수인 환동형)이 존재하면 환동형 f는 동형이라고 한다.어떤 바이젝트 링 동형사상은 링 동형사상입니다. $R,S$ 의 링 R $,$ $({displaystyle$ R $,$ $S$ })가 $R,S$ 동형이며, 이 경우 1개의 $R\simeq S$ 이 R $r$ S({ $displaystyle$ R $\simeq$ S $R\simeq S$ 라고 쓰고, 같은 링 간의 링 동형성을 내형성이라고 하며, 같은 링 간의 동형성을 자기동형성이라고 한다.

예:

각 정수 x를 나머지 모듈로 4({0, 1, 2, 3)의 수)에 매핑하는 함수는 링 Z에서 몫 링 Z/4Z("인수 링")로의 동형사상입니다.
u $(\displaystyle$ u)가 $u$ 링 R의 단위 원소인 $경우$ , R $R\to R,x\mapsto uxu^{-1}$ $R\to R,x\mapsto uxu^{-1}$ , x $R\to R,x\mapsto uxu^{-1}$ x $(\$ R $\to$ R $,x\mapsto uxu^{-1})$ 은 $R\to R,x\mapsto uxu^{-1}$ 링 동형상으로서 R의 내부 자기동형이라고 불립니다.
R을 주요 특성 p의 교환환이라고 하자. $x\mapsto x^{p}$ $x\mapsto x^{p}$ x $x\mapsto x^{p}$ { $display style$ x \ $mapsto$ x ^ { $p$ }는 $x\mapsto x^{p}$ 프로베니우스 동형이라고 불리는 R의 고리 내형사상입니다.
필드 $L/K$ L $(\$ displaystyle $L/K)$ 의 $L/K$ Galois 그룹은 K에 대한 제한이 아이덴티티인 L의 모든 자기동형 집합입니다.
임의의 고리 R에 대하여 고유 고리 동형 Z → R 및 고유 고리 동형 R → 0이 있다.
링의 에피모피즘(우측 취소 가능 형태론)은 돌출적일 필요가 없다.예를 들어, 고유한 맵 Z → Q는 에피몰피즘입니다.
k 위의 벡터 공간의 k-대수에서 내형 대수에 이르는 대수의 동형성을 대수의 표현이라고 한다.

$f:R\to S$ 동형 $f:R\to S$ : R $f:R\to S$ {\ $displaystyle$ f $:$ $R\to$ S $f:R\to S$ f에 의해 0에 매핑된 모든 요소의 집합을 f의 커널이라고 합니다.알맹이는 R의 양면 이상이다.반면 f의 이미지는 항상 이상적이지는 않지만 항상 S의 서브링입니다.

가환환 R에서 A의 중심에 화상을 포함한 고리 A에 고리 균질성을 부여하는 것은 A에 대해 R보다 대수의 구조를 부여하는 것과 같다(특히 A모듈의 구조를 부여한다).

몫환

몫환의 개념은 몫군의 개념과 유사하다.링(R, +, θ)과 양면 이상 I(R, +, θ)가 주어졌을 때 I를 (R, +)의 서브그룹으로 간주합니다.따라서 몫 링 R/I는 연산과 함께 I의 코셋 집합입니다.

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I 및

(a + I)(b + I) = (ab) + I.

모든 a, b in R에 대해링 R/I는 팩터 링이라고도 합니다.

몫군과 마찬가지로 x $x\mapsto x+I$ x + $x\mapsto x+I$ (\ $displaystyle$ x\ $mapsto$ x+ $I$ 로 $x\mapsto x+I$ 표준 $p\colon R\to R/I$ p : $p\colon R\to R/I$ $p\colon R\to R/I$ $p\colon R\to R/I$ / I (\ $displaystyle p\to$ R $/I$ 가 있다.이는 주관적이며 다음과 같은 보편적 특성을 충족한다.

$f\colon R\to S$ : $f\colon R\to S$ $f\colon R\to S$ $f\colon R\to S$ ( \ $displaystyle f$ \ $to$ S $f\colon R\to S$ )가 $f(I)=0$ f ( $f(I)=0$ I ) $f(I)=0$ 0 ( \ $displaystyle$ f ( I ) = 0 $f(I)=0$ )인 링 동형사면 f ${\overline {f}}\colon R/I\to S$ $f={\overline {f}}\circ p$ : ${\overline {f}}\colon R/I\to S$ R / ${\overline {f}}\colon R/I\to S$ ${\overline {f}}\colon R/I\to S$ ( \ $displaystyle$ { $f$ } \ $display R$ $f\colon R\to S$ / I → F $/I$ \ $to$ S = F $f={\overline {f}}\circ p$ 와 ${\overline {f}}\colon R/I\to S$ 같은 $f={\overline {f}}\circ p$ ${\overline {f}}\colon R/I\to S$ 이 존재합니다.

링 $f\colon R\to S$ f $f\colon R\to S$ : $f\colon R\to S$ $f\colon R\to S$ $f\colon R\to S$ ${\displaystyle$ f $\display$ R $\to$ S $f\colon R\to S$ 의 경우 I $=$ ker $I=\ker f$ f {\ $displaystyle$ I=\ $ker$ f}를 $I=\ker f$ $I=\ker f$ 하여 유니버설 속성을 호출하면 ${\overline {f}}\colon R/\ker f\to S$ : ${\overline {f}}\colon R/\ker f\to S$ R / ${\overline {f}}\colon R/\ker f\to S$ {\ $displaystyle {f}\displaystyle$ R $/\ker$ f\ $ker$ f $}$ 로 ${\overline {f}}\colon R/\ker f\to S$ 동형상이 되는 ${\overline {f}}\colon R/\ker f\to S$ 이 생성됩니다.f의 $이미지$

모듈

링 위의 모듈의 개념은 필드(스칼라 곱셈) 요소를 가진 벡터의 곱셈에서 링 요소를 가진 곱셈으로 일반화함으로써 벡터 공간(필드 위)의 개념을 일반화한다.보다 정확하게는, 1을 가진 $고리$ R이 주어졌을 때, $R-모듈$ M은 특정 공리를 만족시키는 $연산$ R × $M$ → $M$ ( $R$ 의 $원소$ 쌍과 M의 $원소$ 쌍에 M의 원소를 관련짓는)을 갖춘 아벨 군이다.이 연산은 일반적으로 곱셈이라고 하며 곱셈이라고 합니다.모듈의 공리는 다음과 같습니다.R의 $모든$ a, $b$ 와 M의 $모든$ x, $y$ 에 대해 다음과 같습니다.

$M$ 은 덧셈을 받는 아벨 군이다.
$a(x+y)=ax+ay$
$(a+b)x=ax+bx$
$1x=x$
${\displaystyle(ab)x=a(bx)}$

링이 가환적이지 않은 경우 이들 공리는 왼쪽 모듈을 정의합니다.오른쪽 모듈은 마찬가지로 ax $대신$ $xa$ 로 정의됩니다.오른쪽 모듈에 왼쪽 곱셈(고리 요소에 의한)이 사용되는 경우 오른쪽 모듈의 마지막 공리( $x (ab)$ = ( $xa) b$ )가 $(ab$ )x = $b (ax)가 되기$ 때문에 이것은 단순히 표기법의 변화일 뿐만이 아니다.

모듈의 기본적인 예는 링 자체를 포함한 이상입니다.

비슷하게 정의되었지만, 모듈의 이론은 벡터 공간의 이론보다 훨씬 더 복잡하다. 왜냐하면, 벡터 공간과 달리, 모듈은 단일 불변량(벡터 공간의 차원)에 의해 (동형사상까지) 특성화되지 않기 때문이다.특히 모든 모듈에 기본이 있는 것은 아닙니다.

모듈의 공리는 (- $1) x$ = $-x임$ 을 의미합니다. 여기서 첫 번째 음수는 링의 가법 역수를 나타내고 두 번째 음수는 모듈의 가법 역수를 나타냅니다.이를 사용하여 양의 정수에 의한 곱셈에 의한 반복 덧셈을 나타내면 정수의 링 위에 모듈이 있는 아벨 군을 식별할 수 있습니다.

임의의 링 동형사상은 모듈의 구조를 유도한다 $. f$ : R → $S$ 가 링 동형사면 $S$ 는 rs = f(r)s의 곱셈으로 R $위$ 의 왼쪽 모듈이다. $R$ 이 치환적이거나 $f ($ R)가 S의 $중심$ 에 포함되어 $있으면$ 링 $S$ 는 R-대수로 불린다.특히, 모든 링은 정수에 대한 대수이다.

구성

다이렉트 프로덕트

R과 S를 링으로 하자.그러면 제품 R × S는 다음과 같은 천연 링 구조를 갖출 수 있습니다.

(r₁, s₁) + (r₂, s₂) = (r₁ + r₂, s₁ + s₂)
(r₁, s₁) ⋅ (r₂, s₂) = (r₁ ⋅ r₂, s₁ ⋅ s₂)

모든 r₁, r₂ in₁ R 및 s, s₂ in S.위의 덧셈 및 곱셈 연산과 곱셈 $(1,$ 1)을 갖는 $(1,1)$ $R$ × $S$ 는 R과 S의 직접곱이라고 한다.같은 구조는 임의의 링 패밀리에도 적용됩니다. $R_{i}$ i \ $displaystyle$ ${\textstyle \prod _{i\in I}R_{i}}$ R _ { $i$ ${\textstyle \prod _{i\in I}R_{i}}$ 가 $R_{i}$ 세트I에 의해 색인화된 링일 $R_{i}$ $r$ ${\textstyle \prod _{i\in I}R_{i}}$ R ${\textstyle \prod _{i\in I}R_{i}}$ \ $textstyle$ \ $prod$ _ { i \ $in I$ $}$ R _ { i }는 ${\textstyle \prod _{i\in I}R_{i}}$ 컴포넌트별 덧셈과 곱셈이 있는 링입니다.

R을 가환환으로 $,$ n $displaystyle {mathfrak {a}_{1}\cdots,$ {\ $mathfrak {a}_{n})$ 을 ${\mathfrak {a}}_{1},\cdots ,{\mathfrak {a}}_{n}$ ${\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=(1)$ + ${\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=(1)$ ${\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=(1)$ $=$ ( ${\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=(1)$ ) ${\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=(1)$ { $displaystyle {mathfrak {a}_{i}+{\mathfrak {$ a}}_ ${$ j}) j( $i\neq j$ })와 같은 ${\mathfrak {a}}_{1},\cdots ,{\mathfrak {a}}_{n}$ 이라고 합니다 $i\neq j$ 그리고 중국의 나머지 정리는 정준환 동형사상이 있다고 말한다.

\displaystyle R/{\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{mathfrak {a}{n}{R/{\mathfrak {a}}{i}},\qquad xsmod {textstyle \bigcap {i=1}^{n}{n}}{mathfrak {mathfrak}{n}{n}{n}}{mathfrak {mathfrak}{{n}}{{n}}}}}}}}{mathf}

"확실한" 직접 산물은 ^[37]또한 이상의 직접 합으로 볼 수 있다.즉, R $R_{i},1\leq i\leq n$ $,$ $R_{i},1\leq i\leq n$ i $R_{i},1\leq i\leq n$ { $displaystyle R_{i$ }, $1 \leq$ i\ $leq$ n을 $R_{i},1\leq i\leq n$ 링으로 $R_{i},1\leq i\leq n$ , ${\textstyle R_{i}\to R=\prod R_{i}}$ ${\textstyle R_{i}\to R=\prod R_{i}}$ ${\textstyle R_{i}\to R=\prod R_{i}}$ ${\textstyle R_{i}\to R=\prod R_{i}}$ $R$ \ $to$ R ${\textstyle R_{i}\to R=\prod R_{i}}$ = \ $prod$ R_ ${i}$ 를 ${\textstyle R_{i}\to R=\prod R_{i}}$ ${\mathfrak {a}}_{i}$ 으로 한다({ $displaystyle R_frak {i}).$ ${\mathfrak {a}}_{i}$ 'i'는 'R'의 ${\mathfrak {a}}_{i}$ 이상이고 $'I'$ 는 ${\mathfrak {a}}_{i}$ 'R'의 이상입니다.

({displaystyle R=mathfrak {a}_{1}\cdots \oplus {mathfrak {a}_{n},\mathfrak {a}}_{i}) {\mathfrak {a}=0,i\neq j},\mathfrak {a} {a}) {mathfrak {a} {a} {\c}) {n} {n} {mathfrak} {mathfrak} {n} {\frak} {\c}

(아벨 그룹의 경우 유한곱은 직합과 동일하기 때문에) 아벨 그룹의 직합으로 한다.분명히 이러한 이상의 직접 합은 R과 동형인 고리의 곱을 정의한다.마찬가지로 위의 작업은 중앙 아이덴트(idempotent)R이 위의 분해가 있다고 가정합니다.그러면 우리는 쓸 수 있다.

1=e_{1}+\cdots +e_{n},\cdots e_{i}\ in {mathfrak {a}}_{i}.

{display

style

{

mathfrak {a}_

{i}}

_{

i}}

의

e_{i}

{\mathfrak {a}}_{i}

에 따라

ei는

e_{i}e_{j}=0,i\neq j

아이덴텐트,

e_{i}e_{j}=0,i\neq j

j

= 0,

j

j

(직교)

이다.

e_{i}e_{j}=0,i\neq j

다시 한번, 구조를 되돌릴 수 있다.즉, 직교 중심 등위수에서 1의 분할이 주어지는 경우, 양면 이상인

{\mathfrak {a}}_{i}=Re_{i}

{\mathfrak {a}}_{i}=Re_{i}

{\mathfrak {a}}_{i}=Re_{i}

{\mathfrak {a}}_{i}=Re_{i}

i \

displaystyle

\

mathfrak {a} _ {

i} =

Re_{i

로

{\mathfrak {a}}_{i}=Re_{i}

.

e_{i}

(\

가

e_{i}

직교 중심 Idempotents의 ^[d]합이 아닐 경우, 그 직합은 R과 동형이다.

무한 직접 제품의 중요한 적용 분야는 링의 투영 한계 구성입니다(아래 참조).또 다른 어플리케이션은 링 패밀리(아델링 포함)의 제한된 제품이다.

다항식 링

기호 t(변수라고 함)와 교환환 R이 주어졌을 때, 다항식 집합은 다음과 같다.

\displaystyle R[t]=\left\{a_{n}t^{n-1}+\dots +a_{1}t+a_{0}\mid n\geq 0,a_{j}\in R\right\}

는 통상적인 덧셈과 곱셈으로 교환링을 형성하며, R을 서브링으로 포함합니다.이것은 R 위의 다항식 링이라고 불립니다. $보다$ 일반적으로 $t_{1},\ldots ,t_{n}$ $t_{1},\ldots ,t_{n}$ $R\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]$ ${1},$ t_ ${n}$ 의 $t_{1},\ldots ,t_{n}$ 모든 다항식의 $R\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]$ R [ $R\left[t_{i}\right]$ $1$ t $n ]{$ $displaystyle$ $R$ \ left [ $t$ _ { $n }$ 는 $R\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]$ R [ t $R\left[t_{i}\right]$ $R\left[t_{i}\right]$ $}$ 를 포함하는 $R\left[t_{i}\right]$ 을 형성합니다 $.$

R이 적분 도메인인 경우 $R[t]$ $R[t]$ [ $]$ \ $displaystyle$ R [ t $]$ 도 $R[t]$ 적분 도메인이며, 분수 필드는 유리 함수 필드입니다.R이 Noetherian 링일 $R[t]$ R $R[t]$ [ t $R[t]$ ]{ $displaystyle$ R [ $t$ ]는 $R[t]$ Noetherian 링입니다.R이 하나의 인수분해 도메인인 경우 $R[t]$ [ $]$ \ $displaystyle$ R [ $t$ ]는 $R[t]$ 하나의 인수분해 도메인입니다.마지막으로 R은 R $R[t]$ [ $]\displaystyle$ R $[t]$ 가 $R[t]$ 주요 이상 도메인인 $R[t]$ 에만 필드입니다.

R $R\subseteq S$ S ( \ $display style$ R \ $subseteq$ S )를 $R\subseteq S$ 교환 링으로 $R\subseteq S$ .S의 요소 x가 주어지면, 링 동형성을 고려할 수 있다.

R[t]\to S, 쿼드 f\mapsto f(x)

(즉, 치환).S = R[t] 및 x = t이면 f(t) = f. 이 때문에 다항식 f는 $f(t)$ f ( $f(t)$ ) { $displaystyle$ f $(t$ 로도 표시됩니다. $f\mapsto f(x)$ f $f\mapsto f(x)$ f ( $f\mapsto f(x)$ ) \ $displaystyle$ f \ $mapsto$ f ( $x$ )의 $f\mapsto f(x)$ 이미지는 $R[x]$ R [ $]$ \ $displaystyle$ R [ $x$ 로 나타나며, R 및 x가 생성하는S의 서브링과 동일합니다.

$k\left[t^{2},t^{3}\right]$ : k $k\left[t^{2},t^{3}\right]$ [ $k\left[t^{2},t^{3}\right]$ 2 , $k\left[t^{2},t^{3}\right]$ 3 $]{$ $display style$ k \ $left$ [ $t$ ^ { $2$ , $t$ ^ { $3$ \ right $k\left[t^{2},t^{3}\right]$ }는 $k\left[t^{2},t^{3}\right]$ 동형사상을 나타냅니다.

\displaystyle k[x,y]\to k[t],,f\mapsto f\left(t^{2},t^{3}\right).}

즉, t와³ t에 의해² 생성되는 $k[t]$ k [ $]$ \ $displaystyle$ k [ $t$ ]의 $k[t]$ 서브대수입니다.

예: f를 하나의 변수에 있는 다항식, 즉 다항식 링 R의 요소라고 가정합니다. $f(x+h)$ + $)$ { $displaystyle$ $R[h]$ f $(x+h)}$ 는 $f(x+h)$ $R[h]$ R $R[h]$ [ $h]$ 의 $R[h]$ 이며 $f(x+h)-f(x)$ + $f(x+h)-f(x)$ - $)$ { $display style$ f $(x+h)-f(x$ )}는 $f(x+h)-f(x)$ 해당 링의 h로 나누어집니다.0을 h in $(f(x+h)-f(x))/h$ f $(f(x+h)-f(x))/h$ ( $(f(x+h)-f(x))/h$ + $(f(x+h)-f(x))/h$ ) - $(f(x+h)-f(x))/h$ ( $(f(x+h)-f(x))/h$ ) / $(f(x+h)-f(x))/h$ { $displaystyle ( f$ ( $x$ + $h$ ) - $f$ ( $x$ ) / $h}$ 로 $(f(x+h)-f(x))/h$ 치환하면 $f'(x)$ $f'(x)$ ( $f'(x)$ ) { $displaystyle$ f' ( $x$ ) $f'(x)$ at f의 도함수입니다.

치환은 다항식 고리의 보편적 성질의 특별한 경우이다.특성 상태: $\phi :R\to S$ $\phi :R\to S$ $\phi :R\to S$ : R $\phi :R\to S$ {\ $displaystyle \phi :$ ${\overline {\phi }}:R[t]\to S$ \ $to$ S $\phi :R\to S$ } 및 $\phi :R\to S$ 요소 x가 S에 있을 경우 고유한 링 동형성 ${\overline {\phi }}:R[t]\to S$ : R ${\overline {\phi }}:R[t]\to S$ [ ${\overline {\phi }}:R[t]\to S$ ] ${\overline {\phi }}:R[t]\to S$ { $displaystyle$ \ $overline \phi }$ : $R[t]\to$ S는 ${\overline {\phi }}:R[t]\to S$ $\phi$ ${\overline {\phi }}(t)=x$ ) ${\overline {\phi }}(t)=x$ ( \ $displaystyle \$ $overline$ ${\overline {\phi }}(t)=x$ \ $phi = x$ ) ${\overline {\phi }}$ $¯$ $\phi$ ( \ $displaystyle$ \ ${\overline {\phi }}$ $phi$ $\phi$ ^[38] 로 ${\overline {\phi }}$ 제한된다. 예를 들어, 기저를 선택하면 대칭 대수는 보편적 특성을 만족하므로 다항식 링이다.

예를 들어, S를 R에서 그 자신까지의 모든 함수의 링으로 하고, 덧셈과 곱셈을 함수의 링으로 합니다.x를 항등함수로 합니다.R의 각 r은 일정한 함수를 정의하여 $R\to S$ R $R\to S$ {\ $displaystyle$ R $\to$ S $R\to S$ 를 발생시킵니다. 이 맵은 고유하게 확장됩니다.

\displaystyle R[t]\to S,\quad f\map to \overline {f}

(t maps to x) ${\overline {f}}$ 서 f ${\$ { style \ $display$ \ $overline$ { $f}$ }는 ${\overline {f}}$ f에 의해 정의된 다항식 함수입니다.결과 맵은 R이 무한대인 경우에만 주입됩니다.

$R[t]$ [ $]$ \ $displaystyle$ R [ $t$ \ displaystyle S $S[t]$ [ t $]$ \ $displaystyle$ S [ t ] \ displaystyle S [ t $S[t]$ ^[39]의 선형 인자의 곱이 되도록 R을 포함하는 링 S가 존재합니다.

k를 대수적으로 닫힌 필드라고 하자.힐베르트 0의 Nullstellensatz (0의 이론)는 k $k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]$ [ $k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]$ $k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]$ , $k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]$ , $k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]$ n $]$ ({ $displaystyle$ k $\left$ [ $t_{1$ } \ $ldots$ , $t_{n}$ \ right $k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]$ $k^{n}$ 에 $k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]$ 있는 모든 소수 이상 집합과 k\ $display$ n ${n} style$ 의 $k^{n}$ 부분변수 집합 사이에 1 대 1의 자연적 대응이 존재한다고 기술되어 있습니다.대수기하학은 다항환에서 이상생성기의 연구를 통해 공격될 수 있다. (cf그뢰브너 베이스).

다른 관련 구성도 몇 가지 있습니다.공식 $R[\![t]\!]$ 링 $R[\![t]\!]$ [ [ t $]$ { $displaystyle$ R [ \ ! [ $t$ ]\ ]]는 $R[\![t]\!]$ 공식 멱급수로 구성됩니다.

\displaystyle \sum _{0}^{\infty}a_{i}t^{i},\quad a_{i}\in R}

수렴 급수를 모방한 곱셈 및 덧셈과 함께 사용합니다.서브링으로서 $R[t]$ R [ $]$ { $display style$ R [ $t$ }가 $R[t]$ $R[t]$ 되어 있습니다.형식 멱급수 링은 다항식 링의 보편적 특성을 가지지 않습니다.직렬은 치환 후 수렴되지 않을 수 있습니다.다항식 링에 비해 형식 멱급수 링의 중요한 장점은 로컬(사실상 완전)이라는 것입니다.

매트릭스 링 및 내형 링

R을 링으로 합니다(반환이라고는 할 수 없습니다.엔트리가 R인 크기 n의 모든 정사각형 행렬의 집합은 엔트리별 덧셈과 일반 행렬 곱셈을 사용하여 링을 형성합니다.이것은 매트릭스 링이라고 불리며 M(R)으로_n 표시됩니다.오른쪽 R모듈 $U$ (\ $displaystyle$ U $U$ 가 있는 경우 U에서 그 자체에 대한 모든 R선형 맵 세트는 함수와 곱셈을 더한 링을 형성합니다.이것은 U의 내형성 링이라고 불리며 $\operatorname {End} _{R}(U)$ R $\operatorname {End} _{R}(U)$ ( $\operatorname {End} _{R}(U)$ U $\operatorname {End} _{R}(U)$ ) \ $displaystyle$ \ $opername {End$

선형대수에서와 같이 행렬링은 내형환으로 해석될 수 있다: $\operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R)$ R $\operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R)$ this ( $\operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R)$ n ) $\operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R)$ M n $\operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R)$ ( $\operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R)$ R $)\displaystyle$ \ $operatorname {End} _{R}\simeq$ \ $operatorname {M}$ _{ $n}$ ( $R$ 다음과 같다. $U\to$ \ $oplus$ _ ${1$ }^{ $n}U는$ R-선형 맵이며, f는 S $=$ $S=\operatorname {End} _{R}(U)$ R $S=\operatorname {End} _{R}(U)$ ( $S=\operatorname {End} _{R}(U)$ )\ $displaystyle$ S=\ $operatorname {End}_$ 에 $f_{ij}$ { $displaystyle f_{ij}}$ $f_{ij}$ 가 있는 행렬로서 쓸 수 있으며, 그 결과 링 동형이 됩니다.

\displaystyle \operatorname {End} _{R}(\oplus _{1}^{n}U) \to \operatorname {M} _{n}(S),\quad f\mapsto(f_{ij}).}

임의의 링 동형사상 R → S는 M(R_n) → M(^[40]S)을_n 유도한다.

Schur의 법칙에 따르면 U가 단순한 오른쪽 R 모듈일 경우 $\operatorname {End} _{R}(U)$ R $\operatorname {End} _{R}(U)$ ( $\operatorname {End} _{R}(U)$ ) \ $displaystyle \operatorname {End} _$ { $R}$ ( $U)$ 는 분할 $\operatorname {End} _{R}(U)$ 링입니다.^[41] $\textstyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}$ $=$ i $\textstyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}$ $\textstyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}$ $\textstyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}$ $\textstyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}$ $\textstyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}$ $\textstyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}$ \ $displaystyle$ \ $textstyle$ U=\ $bigoplus _{i=1}^{r$ $}U_{i$ }^{\ $oplus m_{$ i $\textstyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}$ $U_{i}$ 은 단순 R $U_{i}$ 의 m-복사의_i 직합이다 $.$

\operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i}))

R

\operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i}))

\operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i}))

U ）

\operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i}))

=

\operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i}))

\operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i}))

\operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i}))

\operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i}))

R

\operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i}))

(

\operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i}))

（

\operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i}))

i

\operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i}))

） \

displaystyle

\

operatorname

{

End

} _ {

R

（ U ） \

simeq

\

smeq

_ { m

\operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i}))

} _ {

m

} \

operatorname

{

M }

_ { \ } （ \

opername

）

Artin-웨더번 정리는 모든 반단순 고리(아래 참조)가 이 형태임을 나타냅니다.

링 R과 그 위의 매트릭스_n 링 M(R)은 모리타 당량이며, R의 오른쪽 모듈의 카테고리는 M(R)^[40] 위의_n 오른쪽 모듈의 카테고리와 동등하다.특히, R의 양면 이상은 M(R)의_n 일대일 이상과 양면 이상에 대응한다.

링의 한계 및 온도

R이 모든 i에 대해 R의_i+1 서브링이 되도록_i R을 링의 연속이라고 하자_i.그리고 R의 결합_i(또는 필터링된 콜리밋)은 링 $\varinjlim R_{i}$ $\varinjlim R_{i}$ $\varinjlim R_{i}$ $\varinjlim R_{i}$ {\ $displaystyle$ \varinjlim $R_{i}$ 로 $\varinjlim R_{i}$ 정의된다. 즉, R의 모든 모듈의_i 당량 $x\sim y$ x ~ $x\sim y$ y (\ $displaystyle$ x $\sim$ y)는 $x\sim y$ x $x=y$ {\ $displaystyle$ x $=y$ 이 R의 R이 충분히 큰 경우에만_i 분리 $x\sim y$ 이다.

콜리밋의 예:

$R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].$ [ t $R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].$ 1 $R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].$ , t 2 , $R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].$ ] $R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].$ $R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].$ $R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].$ $R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].$ [ $R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].$ , $R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].$ 2 $R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].$ , $R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].$ , $R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].$ m $R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].$ . { $displaystyle$ R [ $t$ _ { $1 }$ , $t_{$ 2} , \ $cdots ] =$ \ $varinjlim R$ [ $t _$ 1 , t _ 1 , t _ $2$ } \ $cdots$ , t } $R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].$ 。 $}$
동일한 ${\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.$ F ${\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.$ ${\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.$ ${\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.$ ${\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.$ ${\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.$ ${\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.$ ${\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.$ ${\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.$ m ${\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.$ . { $display$ { style \ $overline$ \ $mathbf { F$ } } $_ { p$ } $=$ \ $varinjlim$ \ $mathbf$ { $F }$ _ { $p^$ { m $}$ } 。 $}$
$k(\!(t)\!)=\varinjlim t^{-m}k[\![t]\!]$ k: k $k(\!(t)\!)=\varinjlim t^{-m}k[\![t]\!]$ ( t ) $k(\!(t)\!)=\varinjlim t^{-m}k[\![t]\!]$ $k(\!(t)\!)=\varinjlim t^{-m}k[\![t]\!]$ $k(\!(t)\!)=\varinjlim t^{-m}k[\![t]\!]$ $k(\!(t)\!)=\varinjlim t^{-m}k[\![t]\!]$ - $k(\!(t)\!)=\varinjlim t^{-m}k[\![t]\!]$ k $k(\!(t)\!)=\varinjlim t^{-m}k[\![t]\!]$ [ [ $]$ \ $display$ k ( \ ! ( $k(\!(t)\!)=\varinjlim t^{-m}k[\![t]\!]$ ) \ ! $=\varinjlim$ t $^{-m}k$ [\![ $t]\!!]$ (정식 $k[\![t]\!]$ 링 $k[\![t]\!]$ k $]\]$ \ $style$ k $[\![t]\!!])$
필드 k에 걸친 대수적 품종의 함수장은 lim $\varinjlim k[U]$ $\varinjlim k[U]$ [ $\varinjlim k[U]$ $]$ \ $displaystyle$ \ $varinjlim$ k [ $k[U]$ $]$ \ $displaystyle$ k [ U ] \ displaystyle k [ $U ]$ }이다 $\varinjlim k[U]$ $k[U]$ ( $\varinjlim k[U]$ 간결하게는 일반 지점에서 구조의 줄기 $k[U]$

모든 교환 링은 최종 생성된 서브 링의 콜리밋입니다.

링의 투영 한계(또는 필터링 한계)는 다음과 같이 정의됩니다.Ri( $R_{i}\to R_{i}$ $)$ $R_{i}\to R_{i}$ $R_{j}\to R_{i},j\geq i$ (R_ ${i$ → Ri(Ri), j({j}\ $to R_i), j$ R_ ${$ $i}\geqi$ })의 $R_{j}\to R_{i},j\geq i$ $($ Ri → Ri( $Ri\displaystyle$ R_{i}) ~ R_ ${i$ })에 $R_{i}\to R_{i}$ i $($ )를 곱한 링 패밀리가 있다고 가정합니다. $style$ R_ ${k}\to R_{i}$ 는 $R_{k}\to R_{j}\to R_{i}$ k $k\geq j\geq i$ style $k\geq j\geq i$ i \ $displaystyle$ k \ $geq j$ \ $geq$ i $k\geq j\geq i$ }일 때마다 $R_{k}\to R_{i}$ $R_{k}\to R_{i}$ $R_{k}\to R_{i}$ i $R_{k}\to R_{i}$ \ $displaystyle R$ _ { $k$ } \ $to R$ _ { i $R_{k}\to R_{i}$ } 입니다 $R_{k}\to R_{i}$ . $\varprojlim R_{i}$ $\varprojlim R_{i}$ $\textstyle \prod R_{i}$ $\varprojlim R_{i}$ $\varprojlim R_{i}$ \ $displaystyle$ \ $varprojlim R$ _ { $i$ } $\textstyle \prod R_{i}$ $\textstyle \prod R_{i}$ i \ $\textstyle \prod R_{i}$ \ $textstyle$ \ $displaystyle$ $R$ $\textstyle \prod R_{i}$ _ { $i$ $R_{j}\to R_{i},j\geq i$ }의 $\textstyle \prod R_{i}$ $x_{i}$ 서브링으로, $x_{j}$ $(x_{n})$ { $displaystyle$ $(x_{n})$ x $_$ { $x_{j}$ $n$ $(x_{n})$ } $R_{j}\to R_{i},j\geq i$ $(x_{n})$ $R_{j}\to R_{i},j\geq i$ R $R_{j}\to R_{i},j\geq i$ $x_{i}$ $R_{j}\to R_{i},j\geq i$ r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r $then$ r $R_{j}\to$ R_ ${i},j\geq$ i $R_{j}\to R_{i},j\geq i$

투영 제한의 예에 대해서는 § Completion을 참조하십시오.

현지화

현지화는 임의의 링과 모듈에 대한 적분 도메인의 분수 필드의 구성을 일반화합니다.(반드시 가환적이지는 않은) 링 R과 R의 서브셋 S가 주어졌을 때 $R[S^{-1}]$ $R\to R\left[S^{-1}\right]$ R $R[S^{-1}]$ [ S $R[S^{-1}]$ - 1 $R[S^{-1}]$ ]{ $display$ R $R[S^{-1}]$ $R\to R\left[S^{-1}\right]$ [ $R\to R\left[S^{-1}\right]$ - $]{$ $display style$ R \ $to$ R \ $left$ }와 함께 링 R [ $S$ ^ { - $1 }$ } { display R \ to R \ light }가 $R[S^{-1}]$ $R\to R\left[S^{-1}\right]$ 존재합니다. $\displaystyle$ R $\left$ [ $R\left[S^{-1}\right]$ $^$ { - $1$ \ right $R\left[S^{-1}\right]$ 또한 R $R\left[S^{-1}\right]$ [ $S$ - 1 $R\left[S^{-1}\right]$ ](\ $displaystyle$ R \ left [ S ^ { - $1$ \ $right$ ^[42]를 $R\left[S^{-1}\right]$ S가 유일하게 인수하는 R의 링 동형사. $R\left[S^{-1}\right]$ R [ $R\left[S^{-1}\right]$ - $]{$ $displaystyle R$ \ left [ S $R\left[S^{-1}\right]$ ^ { - 1 $R\left[S^{-1}\right]$ } \ $right$ }는 $R\left[S^{-1}\right]$ S에 대한 R의 국재화라고 불립니다.예를 들어 R이 교환링이고 R의 f 요소가 되어 있는 경우 $R\left[f^{-1}\right]$ $R\left[f^{-1}\right]$ [ $R\left[f^{-1}\right]$ f $R\left[f^{-1}\right]$ - $](\$ R \ $left$ [ $f ^$ { - $1 }$ \ right $R\left[f^{-1}\right]$ $r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0$ 은 r / f $r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0$ $,$ r $r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0$ 0 $r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0$ \ $display style r$ / f $^$ { n , $r$ \ $in$ R , r , to 0 . $ge$ } $r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0$ 형식의 $r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0$ 로 구성됩니다. $왼쪽 [f^{-1}\right]=$ $R[t]/(tf-1)$ $R\left[f^{-1}\right]=R[t]/(tf-1).$ ^[43] $R\left[f^{-1}\right]=R[t]/(tf-1).$ )

국부화는 R의 소수 아이디얼(또는 소수 아이디얼의 결합)의 보완에 관해 교환환 R에 자주 적용된다.이 $S=R-{\mathfrak {p}}$ S $S=R-{\mathfrak {p}}$ - $S=R-{\mathfrak {p}}$ p { $displaystyle$ S = $S=R-{\mathfrak {p}}$ R - { \ $mathfrak$ { $p$ } $S=R-{\mathfrak {p}}$ } $R\left[S^{-1}\right]$ $R\left[S^{-1}\right]$ [ S $R\left[S^{-1}\right]$ - 1 $]$ { \ $displaystyle$ R \ $left$ { \ $R_{\mathfrak {p}}$ $mathfrak$ $R_{\mathfrak {p}}$ { $p$ } $R_{\mathfrak {p}}$ $R_{\mathfrak {p}}$ r r $R_{\mathfrak {p}}$ R $R_{\mathfrak {p}}$ p r r r r r r r { \ $displaystyleft$ } 。 $rak {p}R_{\mathfrak {p$ 이것이 "로컬라이제이션"이라는 용어가 사용되는 이유입니다.적분 영역 R의 분수장은 R의 소수 이상 0에서의 국재화이다.p $\$ 이 ${\mathfrak {p}}$ 가환환 R의 주요 ${\mathfrak {p}}$ 일 경우 $/$ R $/{\$ $mathfrak$ {p $}}$ 의 $R/{\mathfrak {p}}$ $R_{\mathfrak {p}}$ 분수 필드는 $R_{\mathfrak {p}}$ Rp의 잔차 필드와 같으며 $(\display$ $style$ $kfrak$ ${$ $p})$ 로 $k({\mathfrak {p}})$ 됩니다. $k({\mathfrak {p}})$ 를 클릭합니다.

M이 왼쪽 R 모듈인 경우, S에 대한 M의 위치 $M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M$ 은 링 $M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M$ M [ $M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M$ $M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M$ $M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M$ ] $M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M$ [ $M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M$ - $M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M$ ] $M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M$ $M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M$ M \ \ $displaystyle$ M \ $left$ [ $S$ ^ { - $1$ } \ $right =$ $R\left [S^{-1}\right]\otimes$ _ ${R}M$

로컬라이제이션의 가장 중요한 속성은 다음과 같습니다.R이 교환환이고 S가 곱셈으로 닫힌 서브셋인 경우

${\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}\left[S^{-1}\right]$ p [ ${\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}\left[S^{-1}\right]$ - ${\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}\left[S^{-1}\right]$ ]({ style \ $mathfrak$ { p $}$ \ $mapsto$ { $mathfrak { p$ } \ $left$ [ $S$ $R\left[S^{-1}\right]$ ^ { - $1$ \ $right$ ])는 ${\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}\left[S^{-1}\right]$ R의 모든 주요 이상 집합과 $R\left[S^{-1}\right]$ R [ S - $1$ ^[44]의 모든 기본 이상 집합 사이의 분사이다.
$R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right]$ [ $R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right]$ - $R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right]$ ] $R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right]$ $R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right]$ $R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right]$ $R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right]$ R [ $R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right]$ - $R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right]$ ]{ $displaystyle R$ \ $left$ [ S ^ { - $1$ \ right ]=\ $varinjlim$ R \ $left$ [ $f$ ^ { - $1$ } \ $right$ f는 ^[45]약수에 의해 주어진 부분 순서로 S 내의 원소를 넘긴다.
현지화는 정확합니다. $0\to M'\left [S^{-1}\right]\to M'\left [S^{-1}\right]\to 0$ 0 $0\to M'\to M\to M''\to 0$ $0\to M'\to M\to M''\to 0$ $0\to M'\to M\to M''\to 0$ $0\to M'\to M\to M''\to 0$ $0\to M'\to M\to M''\to 0$ $0\to M'\to M\to M''\to 0$ → M → M $0\to M'\to M\to M''\to 0$ → $0\to M'\to M\to M''\to 0$ ″ $0\to M'\to M\to M''\to 0$ 0 { \ $to$ M $`$ \ $to$ 0 } $0\to M'\to M\to M''\to 0$ $R\left[S^{-1}\right]$ r 、 { \ $displaystyle$ 0 \ $to$ M \ to $0\to M'\to M\to M''\to 0$ 0 $0\to M'\to M\to M''\to 0$ } $이면$ R [ $S$ - 1 $]$ { \ $left$ [ $S$ } \ to M } $R\left[S^{-1}\right]$ 정확합니다.
반대로 0 $0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0$ $0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0$ ′ $0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0$ $0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0$ $0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0$ $0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0$ ″ → M $0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0$ $0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0$ {\ $displaystyle$ 0 $'_$ {\ $mathfrak {m}}\to$ M' $_{\mathfrak {m}}\$ to M' $_{\$ mathfrak ${m$ }}\ $to$ M}인 $0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0$ $0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0$ $0\to M'\to M\to M''\to 0$ $이상형$ {{\mathfrak ${m$ 에 대해 정확히 일치합니다.
비고: 현지화는 세계적인 존재를 증명하는 데 도움이 되지 않는다.예를 들어 두 개의 모듈이 모두 동형인 경우, 두 모듈이 동형인 것은 아닙니다(이것을 설명하는 한 가지 방법은 모듈을 기본 이상의 다발로 볼 수 있고 다발은 본질적으로 로컬 개념이라는 것입니다).

범주 이론에서, 범주의 국부화는 몇몇 형태소 동형사상을 만드는 것과 같다.교환환 R 내의 원소는 임의의 R모듈의 내형사상이라고 해도 좋다.따라서, 범주적으로 R의 부분 집합 S에 대한 R의 국재화는 R-모듈의 범주에서 S의 요소를 자기모형에 보내고 이 성질에 관해 보편적으로 존재하는 펑터이다. (물론, R은 $R\left[S^{-1}\right]$ R [ $R\left[S^{-1}\right]$ - $]\$ 에 $R\left[S^{-1}\right]$ .) $R$ [ $R\left[S^{-1}\right]$ - $R\left[S^{-1}\right]$ ]({ $style R$ \ $left$ [ $S$ ^ { - 1 $}$ \ right ]) - modules $R\left[S^{-1}\right]$ ）。

완료

R을 가환환으로 하고, 내가 R의 이상이 되도록 하자.I에서 R의 완성은 투영 ${\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n}$ R ${\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n}$ ^ ${\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n}$ ${\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n}$ ${\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n}$ R / ${\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n}$ ${\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n}$ { $displaystyle$ { $R }$ = \ $varprojlim$ R / $I^$ { $n$ 이며, 교환환이다.R에서 R $/$ n({ $displaystyle$ R $/I^{n})$ 까지의 $R/I^{n}$ 표준 동형은 $R\to {\hat {R}}$ $R\to {\hat {R}}$ $R\to {\hat {R}}$ ^({ $displaystyle$ R\ $to$ {hat ${R$ 을 유도한다. R이 Noetherian 적분 도메인이고 I가 국소 Noetherian 적분인 경우 후자의 동형은 주입형이다.ction ^[46]정리내가 최고의 이상일 때 그 구성은 특히 유용하다.

기본 예시는 소수 p에 의해 생성된 주요 이상(p)에서의 Z의 완성이다. 이것은 p-adic 정수의 고리라고 불리며 Z로 표기된다_p.이 경우 완성은 Q의 p-adic 절대값으로도 구성할 수 있습니다.Q의 p-adic 절대값은 $x\mapsto |x|$ $|n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}$ $|n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}$ - $|n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}$ ( $|n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}$ n $|n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}$ ) { $displaystyle$ n _ ${$ p } $x\mapsto |x|$ $= p^{-v_{p}$ ( $v_{p}(n)$ {displaystyle $v_$ {p} ( $n)}$ { $displaystyle$ $x\mapsto |x|$ v_ ${p$ $x\mapsto |x|$ {displaystyle v_p $v_{p}(n)$ (n)} {displaystyle $v_{p}(n)$ {p}} {p} {p $}$ (n} {p} {p $|n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}$ } { $|n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}$ } (n})}}} where $x\mapsto |x|$ $v_{p}(n)$ )} the $x\mapsto |x|$ the the the the the the the the the the $|0|_{p}=0$ 0 $|0|_{p}=0$ $|0|_{p}=0$ ({ $displaystyle$ $0$ _{p}= $|m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}$ $})$ 및 $|0|_{p}=0$ $|m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}$ m / $|m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}$ p $|m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}$ $|m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}$ p / $|m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}$ p / {p $}$ _ { $p}$ / $n$ 을 $입력합니다.$ Q에 거리 함수를 정의하고 메트릭 공간으로서의 Q의 완료를 Q로_p 나타냅니다.필드 작업이 완료까지 확장되므로 다시 필드입니다. $|x|_{p}\leq 1$ p $|x|_{p}\leq 1$ 1 { $displaystyle x$ _ { $p$ }\ $leq$ 1의 $|x|_{p}\leq 1$ x로 구성된 Q의_p 서브링은 Z와_p 동형입니다.

마찬가지로 공식 멱급수 링 $R[{[t]}]$ [ [ $]$ { $displaystyle$ R [ { [ $t$ $R[t]$ $]$ $R[t]$ $(t)$ 는 $R[{[t]}]$ $R[t]$ ( $(t)$ ) { $displaystyle R$ $R[t]$ [ $t$ $(t)$ ]의 $R[t]$ 완성입니다(헨젤의 약관 참조).

완전한 링은 교환 링보다 훨씬 단순한 구조를 가지고 있습니다.이는 코헨 구조 정리에 기인합니다. 즉, 대략적으로 완전한 국소 링은 공식 멱급수 링이나 그 몫처럼 보이는 경향이 있습니다.반면에, 통합 폐쇄와 완성 사이의 상호작용은 현대 가환 이론과 노에테르 같은 사람들에 의해 개발된 고전적인 이론을 구별하는 가장 중요한 측면 중 하나였다.나가타에 의해 발견된 병리학적 사례는 노에테리안 고리의 역할을 재검토하고 특히 뛰어난 고리의 정의에 동기를 부여했다.

생성기 및 관계가 있는 호출음

링을 구성하는 가장 일반적인 방법은 생성자와 관계를 지정하는 것입니다.F를 기호 집합 X를 갖는 자유환(즉, 정수에 대한 자유대수)이라고 하자. 즉, F는 X의 요소인 불환 변수에서 적분 계수를 갖는 다항식으로 구성된다. 자유환은 집합 X에서 F를 통해 F $F\to R$ $(\displaystyle$ F $\to$ R $)$ 에 이르는 모든 함수인 보편적 특성을 충족한다. $F\to R$ 고유한 링 동형사상입니다.그룹 케이스와 마찬가지로 모든 링은 프리 ^[47]링의 몫으로 표현될 수 있다.

이제, X의 기호들 사이의 관계를 지수를 취함으로써 나타낼 수 있습니다.명시적으로, E가 F의 서브셋인 경우, E에 의해 생성된 이상에 의한 F의 몫환을 발생기 X 및 관계 E와의 고리라고 한다.예를 들어 Z가 아닌 A를 베이스 링으로 사용했을 경우, 그 링은 A를 넘어갑니다.예를 들어, $E=\{xy-yx\mid x,y\in X\}$ { $E=\{xy-yx\mid x,y\in X\}$ y - $E=\{xy-yx\mid x,y\in X\}$ $E=\{xy-yx\mid x,y\in X\}$ $E=\{xy-yx\mid x,y\in X\}$ , $E=\{xy-yx\mid x,y\in X\}$ ) X $E=\{xy-yx\mid x,y\in X\}$ } { $display$ E = \ { $xy$ - $yx$ \ $mid x$ , y \ $in$ X \ $E=\{xy-yx\mid x,y\in X\}$ }인 경우, 결과 링은 X의 요소인 변수에서 A의 계수를 갖는 일반적인 다항식 링이 됩니다(이것은 X 기호가 있는 대칭 대수와 동일합니다).

카테고리 이론상 $S\mapsto {\text{the free ring generated by the set }}S$ $S에$ (free ring $S\mapsto {\text{the free ring generated by the set }}S$ 이며, 세트 $S에 의해 생성$ 된 프리링 $(free ring)$ 은 $S\mapsto {\text{the free ring generated by the set }}S$ 링의 카테고리에서 세트까지의 건망증 펑터의 왼쪽 인접함수이다(종종 프리링 펑터라고도 불린다).

A, B를 교환환 R 위의 대수라고 하자. $A\otimes _{R}B$ A $A\otimes _{R}B$ $B의$ 텐서 $A\otimes _{R}B$ 곱은 ( $(x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv$ ( y $(x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv$ v ) $(x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv$ $(x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv$ y $(x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv$ v ( x \ $times$ v ) $(x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv$ = $x$ v \ $display style$ ( $x$ \ $times$ v ) $A\otimes _{R}B$ $=$ xy $uvotimes$ 로 특징지어지는 R-대수이다.

특별한 종류의 반지

도메인

제로 이외의 제로 나눗셈이 없는 제로 이외의 링은 도메인이라고 부릅니다.교환 도메인은 적분 도메인이라고 불립니다.가장 중요한 통합 도메인은 주요 이상 도메인, 줄여서 PID 및 필드입니다.주 아이디얼 도메인은 모든 아이디얼이 주 아이디얼인 적분 도메인이다.PID를 포함하는 중요한 통합 도메인의 클래스는 Unique Factorization Domain(UFD; 고유 인수분해 도메인)이며, 여기서 모든 비단위 요소는 소수 요소의 산물입니다(소수가 소수 이상을 생성하면 소수입니다).대수적 수론에서 근본적인 질문은 "이상"이 소인수 분해를 허용하는 숫자 필드의 (일반화된) 정수의 고리가 PID가 되지 않는 정도에 관한 것이다.

PID에 관한 정리 중 가장 중요한 것은 주요 이상 영역에 걸쳐 최종적으로 생성된 모듈에 대한 구조 정리이다.그 정리는 선형대수에 ^[48]다음과 같은 응용으로 설명될 수 있다.V를 필드 k 및 $f:V\to V$ $f:V\to V$ 의 유한 차원 벡터 공간이라고 가정하자: V $f:V\to V$ {\ $displaystyle$ f $:$ $최소$ 다항식 q를 갖는 선형 지도 V $\to$ V $.$ k $k[t]$ [ $]$ { $style$ k [ t $}$ 는 $k[t]$ 고유한 인수분해 영역이기 때문에 q 인수는 뚜렷한 환원 불가능한 다항식(즉, 소수 원소)의 거듭제곱으로 한다.

{{displaystyle q=p_{1}^e_{1}}\ldots p_{s}^{e_{s}}.}

t $t\cdot v=f(v)$ $t\cdot v=f(v)$ $t\cdot v=f(v)$ ( $t\cdot v=f(v)$ ) { $displaystyle$ t $\cdot$ v $=f(v$ 로 하면 V는 k[t]-display가 됩니다.그러면 구조정리는 V가 k $k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right)$ [ $k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right)$ / ( $k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right)$ i $k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right)$ j ) $k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right)$ { $displaystyle$ k [ $t$ ] / ( p $k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right)$ k j ) / \ $left$ ( $p$ $k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right)$ _ { $i$ }^{ $k$ _ { $j$ } \ $right$ ) $k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right)$ }의 모듈과 동형인 순환모듈의 직합이라고 말한다. 이제, $p_{i}(t)=t-\lambda _{i}$ p $p_{i}(t)=t-\lambda _{i}$ ( ) $=$ t - $p_{i}(t)=t-\lambda _{i}$ i { $displaystyle$ p_i}\ display $style$ p_ ${i}$ \ di} \ $di$ } \ $display p_displ$ p_disterylef $isplaystyle p_{i$ 에는 f의 제한이 Jordan 매트릭스로 나타나는 기반이 있습니다.따라서 k가 대수적으로 닫힌 경우, $p_{i}$ $(\$ i $p_{i}$ 의 형식은 $t-\lambda _{i}$ - ${\$ i(\ $displaystyle$ t-\ $lambda _{$ i $t-\lambda _{i}$ })이며, 위의 분해는 f의 요르단 표준 형식에 대응한다.

대수기하학에서 UFD는 평활성 때문에 발생한다.좀 더 정확하게 말하면, (완벽한 필드를 넘는) 버라이어티의 포인트는, 그 포인트의 로컬링이 통상의 로컬링인 경우, 매끄럽습니다.일반 로컬 링은 UFD입니다.^[49]

다음은 링, 도메인 및 필드 간의 관계를 설명하는 일련의 클래스 포함입니다.

rngs "ring "rings "ring " 교환 링 " integrative domains " integrated closed domain " GCD domain " 고유 인수분해 도메인 " 주요 이상 도메인 " 유클리드 도메인" 필드 " 대수적으로 닫힌 필드"

분할링

나눗셈 링은 0이 아닌 모든 요소가 단위인 링입니다.교환분할링은 필드입니다.필드가 아닌 분할 링의 대표적인 예는 4분의 1의 링입니다.디비전 링 내의 모든 센트럴라이저는 디비전링이기도 합니다.특히 분할링의 중심은 필드이다.모든 유한 영역(특히 유한 분할 고리)은 필드이며, 특히 가환(웨더번의 작은 정리)인 것으로 밝혀졌다.

분할링 상의 모든 모듈은 자유모듈(기저를 가진다)이기 때문에 대부분의 선형대수는 필드 대신 분할링 상에서 실행할 수 있다.

켤레 등급의 연구는 분할 고리의 고전 이론에서 두드러지게 나타난다. 예를 들어 카르탕-브라우어-를 참조한다.화정리

L. E. 딕슨에 의해 도입된 순환대수는 4분위 대수의 일반화이다.

반단순 고리

반단순 모듈은 단순한 모듈의 직합입니다.반단순 링은 왼쪽 모듈(또는 오른쪽 모듈)이 그 위에 있는 반단순 링입니다.

예

분할 링은 반단순(및 단순)입니다.
임의의 $분할링$ D 및 정의 $정수$ n에 대해 $매트릭스링 n$ M $(D)$ 은 반단순(단순)이다.
$필드$ k와 $유한군$ G의 경우, k의 특성이 G의 $순서$ 를 나누지 않는 경우에만 군환 $kG$ 는 반단순이다.
클리포드 대수는 반단순이다.

와일 대수는 단순환이지만 반단순은 아니다.여러 변수의 미분 연산자 링에 대해서도 동일한 값이 유지됩니다.

특성.

반심플 링 위의 모듈은 모두 반심플입니다(증명: 반심플 링 위의 빈 모듈은 반심플이고 모든 모듈은 빈 모듈의 몫입니다).

$링$ R의 경우는, 다음과 같습니다.

$R$ 은 반단순이다.
$R$ 은 예술적이고 반신반의적이다.
$R$ 은 유한직접곱 ${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$ i ${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$ 1 ${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$ ${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$ ${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$ n ${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$ ( $){$ $textstyle$ \ $signal$ _ { $i=1}^{r}\operatorname {M}_{n_{i}(D_{i})$ 이다 ${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$ . $여기$ 서_i 각 n은 양의 정수이고, $각 i$ D는 나눗셈환(Artin-)이다.웨더번 정리).

반단순성은 분리 가능성과 밀접하게 관련되어 있습니다.필드 k에 대한 단수 연상대수 A는 필드 $F/k$ F $k$ 마다 $A\otimes _{k}F$ 확장 A $A\otimes _{k}F$ $A\otimes _{k}F$ F \ $displaystyle$ $A\otimes _{k}F$ A \ $otimes$ _ { $k$ $}$ $F$ 가 $A\otimes _{k}F$ 반단순이면 분리 가능하다고 하며, 만약 A가 필드 확장(cfable)에서의 통상적인 정의와 동등하다.

중앙단순대수와 브루어군

필드 k의 경우 중심이 k이면 k-대수가 중심이고 단순 고리이면 단순합니다.단순 k-대수의 중심이 필드이기 때문에, 단순 k-대수는 그 중심 위에 있는 중심 단순 대수이다.이 절에서 중심 단순 대수는 유한 차원을 갖는 것으로 가정한다.또한, 우리는 대부분 베이스 필드를 고정합니다. 따라서 대수는 k-대수를 가리킵니다.링 R 위의 크기n의 매트릭스 링은 R $(\$ 으로 $R_{n}$ 됩니다.

스콜렘-노에테르 정리는 중심 단순 대수의 자기동형은 모두 내부에 있다고 말한다.

두 중심 단순한 algebras A와 B가 정수 및 mn과 A⊗ kkn≈ B⊗ kkm그리고 4.9초 만 m{\displaystyle A\otimes_{k}k_{n}\approx B\otimes _{k}k_{m}}.[50]이후 kn⊗ kkm≃ knm{\displaystyle k_{n}\otimes(k_{nm}}, 닮은 점은 등가성을 rel하는 것으로 알려지고 있다.ation $[A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]$ 곱셈 [ $[A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]$ [ $[A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]$ $[A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]$ [ $[A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]$ $[A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]$ B $]$ \ $display$ style [ $A$ ][ B ] $[A]$ $=$ \ $display$ style [ A ][ B ] $[A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]$ = \ $left$ [ $A\otimes$ _ ${k}B\right]}$ 는 $[A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]$ k의 브라우어 군이라고 불리는 아벨 군을 형성하고 Br $\operatorname {Br} (k)$ ( $\operatorname {Br} (k)$ k ) \ $displaystyle \operatorname {Br}$ $k)$ 로 나타낸다.웨더번 정리, 중심 단순 대수는 나눗셈 고리의 행렬 고리이다. 따라서 각 유사도 클래스는 고유한 나눗셈 고리로 표현된다.

예를 들어, k가 유한 필드 또는 대수적으로 닫힌 필드(더 일반적으로 준대칭적으로 닫힌 필드, cf)인 경우 Br $\operatorname {Br} (k)$ δ ( k $\operatorname {Br} (k)$ ) { $displaystyle \operatorname {Br}$ ( $k)}$ 은 $\operatorname {Br} (k)$ 사소한 값이다.Tsen의 정리). $\operatorname {Br} (\mathbf {R} )$ $\operatorname {Br} (\mathbf {R} )$ ( $\operatorname {Br} (\mathbf {R} )$ ) { $displaystyle \operatorname {Br}(\mathbf {R})}$ 은 $\operatorname {Br} (\mathbf {R} )$ 차수가 2이다(프로베니우스 정리의 특수한 경우).마지막으로 k가 비아르키메데스 국소장( $\mathbf {Q} _{p}$ 를 $Q$ p \ $displaystyle \mathbf {Q} _{$ p}) $\mathbf {Q} _{p}$ 인 경우, 불변 맵을 통해 $\operatorname {Br} (k)=\mathbf {Q} /\mathbf {Z}$ ( $\operatorname {Br} (k)=\mathbf {Q} /\mathbf {Z}$ ( k ) $=$ $\operatorname {Br} (k)=\mathbf {Q} /\mathbf {Z}$ / Z ( \ $displaystyle$ \ $operatorname$ {Br} (k) = \ $mathbf$ {Q} / $\mathbf$ {Z $\operatorname {Br} (k)=\mathbf {Q} /\mathbf {Z}$ } $}$ } } )입니다.

F가 k의 필드 확장인 경우, 베이스 $-\otimes _{k}F$ 확장인 $-\otimes _{k}F$ F $-\otimes _{k}F$ {\ $displaystyle -\otimes$ _ ${k}F}$ 는 $-\otimes _{k}F$ Br $\operatorname {Br} (k)\to \operatorname {Br} (F)$ δ( $\operatorname {Br} (k)\to \operatorname {Br} (F)$ $\operatorname {Br} (k)\to \operatorname {Br} (F)$ $\operatorname {Br} (k)\to \operatorname {Br} (F)$ δ $)$ 를 $\operatorname {Br} (k)\to \operatorname {Br} (F)$ 합니다 $.\displaystyle$ \operatorname { $Br}(k)\to$ \ $operatorname {Br}(F$ $\operatorname {Br} (F/k)$ 는 커널 $\operatorname {Br} (F/k)$ 로 $\operatorname {Br} (F/k)$ 됩니다 $\operatorname {Br} (F/k)$ $A\otimes _{k}F$ ) $A\otimes _{k}F$ F { $displaystyle$ $A$ $A\otimes _{k}F$ \ $otimes$ _ ${ k$ } $F$ ) F （ A $[A]$ ) F ） $[A]$ 。확장이 유한하고 갈루아일 경우 $\operatorname {Br} (F/k)$ $\operatorname {Br} (F/k)$ ( $\operatorname {Br} (F/k)$ / $\operatorname {Br} (F/k)$ ){ $displaystyle \operatorname {Br$ } ( $F$ / $k$ ) }는 $\operatorname {Br} (F/k)$ $H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right)$ $H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right)$ $H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right)$ $H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right)$ ( $H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right)$ / $H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right)$ k $H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right)$ ) , $k$ ){ $displaystyle H^{2}\$ left ( \ $operatorname {Gal}$ ( $F$ / k ) } ),

Azumaya 대수는 중앙 단순 대수의 개념을 교환 국소환으로 일반화한다.

밸류에이션링

K가 필드일 $경우$ , $평가$ v는 $곱셈군 *$ K에서 완전 순서 아벨군 $G$ 에 대한 군 동형사상으로, 임의의 $f$ 에 대해 f + $g$ 가 0이 아닌 $k$ , v $(f$ + $g$ ) $min$ min ${v (f), v$ ( $g)}$ 이다. $v$ 의 밸류에이션 링은 v( $f)$ such 0이 $되도록$ 0과 $모든$ $비제로$ f로 구성된 $K$ 의 서브링이다.

예:

$필드$ k 위의 공식 Laurent $k(\!(t)\!)$ k $k(\!(t)\!)$ ( $k(\!(t)\!)$ t $k(\!(t)\!)$ ) { $displaystyle$ k $(\!(t)\!})$ 필드는 $k(\!(t)\!)$ v $(f)$ 가 $f$ 에서 0이 아닌 항의 최소 차원이 $되도록$ $평가$ v와 함께 제공됩니다. v의 $평가$ 링은 공식 멱급수 $]$ {\ $displaystyle$ k $[\t]\!\!!}$ 입니다 $k[\![t]\!]$
보다 일반적으로 $필드$ k와 완전 차수의 아벨 $군$ G가 주어졌을 때 $k(\!(G)\!)$ k $k(\!(G)\!)$ ( $k(\!(G)\!)$ ) $k(\!(G)\!)$ { $displaystyle$ k $(\!(G)\!})$ 는 $k(\!(G)\!)$ 지원(함수가 0이 아닌 점의 집합)이 잘 정렬된 $G$ 에서 $k$ 까지의 모든 함수의 집합이라고 $k(\!(G)\!)$ .이것은 곱셈이 컨볼루션으로 주어지는 필드입니다. $\displaystyle (f*g)(t)=\sum _{s\in G}f(s)g(t-s)}$ 또한 v $(f)$ 가 $f$ 를 뒷받침하는 $최소요소$ 인 $가치$ v와 함께 제공된다.유한한 지지를 가진 요소로 구성된 $서브링$ 을 G의 그룹 링이라고 합니다(G가 가환적이지 않아도 $의미$ 가 있습니다).G가 정수의 링일 $경우$ 앞의 예를 회복합니다(n번째 계수가 f $(n$ )인 계열에서 f를 $식별$ ).

추가 구조의 링

링은 (더하기 연산을 사용하여) 추가 구조를 가진 아벨 군으로 볼 수 있다.벨 군으로 볼 수 있다.마찬가지로, 추가적인 구조를 가진 고리로 간주될 수 있는 다른 수학적 물체도 있다.예를 들어 다음과 같습니다.

연관대수는 스칼라 곱셈이 링 곱셈과 호환되도록 필드 K 위의 벡터 공간이기도 한 링입니다.예를 들어, 실장 R 위의 n-by-n 행렬의 집합은 실벡터 공간으로서 치수² n을 가진다.
링 R은 요소 세트 R에 추가 맵 $+:R\times R\to R\,$ : $+:R\times R\to R\,$ × $+:R\times R\to R\,$ $+:R\times R\to R\,$ \ $displaystyle$ +:)을 만드는 토폴로지가 주어지는 경우 토폴로지 링입니다. $R\times$ R $\to$ R $+:R\times R\to R\,$ 및 곱셈 맵( $\cdot :R\times R\to R\,$ : $\cdot :R\times R\to R\,$ R × $\cdot :R\times R\to R\,$ $\cdot :R\times R\to R\,$ \ $displaystyle \cdot : R\times$ R $\to$ R $,$ )은 $\cdot :R\times R\to R\,$ 토폴로지 공간(여기서 X × X는 제품 토폴로지 또는 카테고리 내의 다른 제품을 상속함) 사이의 맵으로서 연속적입니다.예를 들어, 실수에 대한 n-by-n 행렬은 유클리드 위상 또는 자리스키 위상 중 하나를 제공할 수 있으며, 두 경우 모두 위상환을 얻을 수 있다.
δ-링은 연산 δⁿ: R → R로 n번째 외부 전력과 같다.

\lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y)

(

\lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y)

+ y )

\lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y)

\lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y)

0

\lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y)

\lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y)

(

\lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y)

)

\lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y)

-

\lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y)

-

\lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y)

( y ){ display

style

\

displayda

^ { n

\lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y)

} ( x + y ) = \

sum

_ { 0

}^{

n } \

sum ^

{ i

\lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y)

x ) \ displayda ^ { n -

i

} (

\lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y)

y )

예를 들어 Z는 이항계수인

\lambda ^{n}(x)={\binom {x}{n}}

\lambda ^{n}(x)={\binom {x}{n}}

(

\lambda ^{n}(x)={\binom {x}{n}}

n

)

{

displaystyle \displayda

^{

n}(x

)} =

δbinom {x}{n

인 δ환이다.그 개념은 리만-로흐 정리에 대한 대수적 접근에서 중심 법칙을 담당한다.

완전 오더링이란 링 동작과 호환되는 총 오더를 가진 링입니다.

링의 편재성의 몇 가지 예

많은 다른 종류의 수학적 물체는 연관된 고리의 관점에서 잘 분석될 수 있다.

위상 공간의 코호몰로지 링

임의의 위상 공간 X에 대해 일체형 코호몰로지 링을 연결할 수 있습니다.

H^{*}(X,\mathbf {Z})=\bigoplus _{i=0}^{\infty}H^{i}(X,\mathbf {Z}),

등급 반지공간의 호몰로지 $H_{i}(X,\mathbf {Z} )$ $H_{i}(X,\mathbf {Z} )$ )({ $displaystyle H_{i}(X,\mathbf {Z}))$ 도 $H_{i}(X,\mathbf {Z} )$ 있습니다.이러한 그룹은 포인트 집합 위상의 방법이 적합하지 않은 구와 토리와 같은 특정 위상 공간 쌍을 구별하기 위한 유용한 도구로 먼저 정의되었습니다.코호몰로지 그룹은 나중에 벡터 공간의 이중과 대략 유사한 방식으로 호몰로지 그룹의 관점에서 정의되었다.각각의 개별 적분 호몰로지 그룹을 아는 것은 본질적으로 각각의 개별 적분 코호몰로지 그룹을 아는 것과 같다. 왜냐하면 보편 계수 정리 때문이다.그러나 코호몰로지 그룹의 장점은 자연산이 있다는 것인데, 이는 k-다선형 형태와 l-다선형 형태를 점으로 곱하여 (k + l)-다선형 형태를 얻을 수 있다는 관찰과 유사하다.

코호몰로지에서의 고리 구조는 섬유 다발의 특징적인 클래스, 다양체와 대수적 변종에 대한 교차 이론, 슈베르트 미적분 등을 위한 기초를 제공합니다.

그룹의 번사이드 링

어느 그룹에나 Burnside 링이 관련지어져 있습니다.Burnside 링은 링을 사용하여 그룹이 유한 세트에 대해 다양한 동작을 할 수 있는 방법을 나타냅니다.번사이드 고리의 가법군은 그룹의 전이 작용이 기본이고 작용의 불연속 결합이 추가되는 자유 아벨 군이다.근거의 관점에서 행동을 표현하는 것은 행동을 그 추이적인 요소로 분해하는 것이다.곱셈은 표현 링의 관점에서 쉽게 표현됩니다. 번사이드 링의 곱셈은 두 개의 치환 모듈의 텐서 곱셈을 치환 모듈로 써서 형성됩니다.링 구조를 통해 하나의 동작을 다른 동작에서 감산할 수 있습니다.번사이드 링은 표현 링의 유한 지수 서브링으로 포함되어 있기 때문에 계수를 정수에서 유리수로 확장함으로써 한쪽에서 다른 쪽으로 쉽게 통과할 수 있다.

그룹 링의 표현 링

모든 그룹 링 또는 Hopf 대수는 그 표현 링 또는 "녹색 링"과 관련되어 있습니다.표현환의 가법군은 분해할 수 없는 모듈이 기본이고 가법군이 직합에 해당하는 자유 아벨 군이다.기본에 따라 모듈을 표현하는 것은 모듈을 분해할 수 없는 분해 방법을 찾는 것입니다.곱셈은 텐서 곱이다.대수가 반단순일 때, 표현 고리는 단지 문자 이론의 문자 고리일 뿐이며, 이는 고리 구조가 주어지는 그로텐디크 군이다.

축소할 수 없는 대수적 다양성의 함수장

모든 환원 불가능한 대수적 다양성은 함수장과 관련되어 있다.대수적 다양성의 포인트는 함수 필드에 포함되어 있고 좌표 고리를 포함하는 평가 고리에 해당합니다.대수기하학 연구는 환이론적인 성질에 관한 기하학적 개념을 연구하기 위해 교환대수를 많이 사용한다.이진 지오메트리 스터디는 함수 필드의 하위 링 간에 매핑됩니다.

단순 복합체의 페이스 링

모든 단순 복합체는 관련된 얼굴 고리를 가지고 있으며, 스탠리-라이즈너 고리라고도 불립니다.이 고리는 단순 복소의 많은 조합 특성을 반영하기 때문에 대수적 조합론에 특히 관심이 있다.특히, 스탠리-라이즈너 고리의 대수기하학이 단순 다면체의 각 차원에 있는 면의 수를 특징짓기 위해 사용되었다.

범주 이론 설명

모든 링은 아벨 그룹의 범주인 Ab에서 모노이드로 생각할 수 있다(Z ${\mathbf {Z} }$ {\ $displaystyle {Z}}:$ -modules의 ${\mathbf {Z} }$ ${\mathbf {Z} }$ 곱에 따른 모노이드 범주로 생각됨).아벨 군에서 링 R의 모노이드 작용은 단순히 R-모듈이다.본질적으로, R-모듈은 벡터 공간의 개념을 일반화한 것입니다. 즉, 필드 위의 벡터 공간이 아니라 링 위의 벡터 공간을 가집니다.

(A, +)를 아벨 군으로 하고 End(A)를 내형환으로 하자(위 참조).기본적으로 End(A)는 A의 모든 형태소의 집합이다. 여기서 f가 End(A)에 있고 g가 End(A)에 있는 경우 f + g 및 f µ g를 계산하기 위해 다음 규칙을 사용할 수 있다.

(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f ⋅ g)(x) = f(g(x),

여기서 f(x) + g(x)는 A에 더해지고 함수 구성은 오른쪽에서 왼쪽으로 표시됩니다.그러므로, 어떤 아벨 군과도 연관되어 있는 것은 고리이다.반대로, 임의의 링(R, +, θ)은 아벨 군이다.또, R내의 모든 r에 대해서, r에 의한 오른쪽(또는 왼쪽)의 곱셈은, 오른쪽(또는 왼쪽)의 분포에 의한 (R, +)의 모르피즘을 발생시킨다.A = (R, +)라고 합니다.A의 내형상, 즉 R의 오른쪽(또는 왼쪽) 곱셈을 고려해보자.즉, End(A)가 A의 모든 형태소 m의 집합이며, m(r x x) = r ⋅ m(x)인 특성을 가진다_R.R의 모든 r은 A: right 곱셈에 의한 r의 형태론을 발생시키는 것으로 나타났다.사실 R에서 End(A)까지의_R 함수로서 A의 형태에 대한 R의 원소의 연관성은 고리의 동형이다.따라서 어떤 링도 어떤 아벨리안 X-그룹의 내형성 링으로 볼 수 있다(X-그룹에 의해 X가 ^[52]연산자의 집합인 그룹을 의미한다).본질적으로, 고리의 가장 일반적인 형태는 어떤 아벨 X-군의 내형군이다.

모든 링은 단일 객체를 가진 사전 부가 카테고리로 볼 수 있습니다.따라서 임의의 전가법 범주를 링의 일반화라고 간주하는 것은 당연합니다.그리고 실제로 링에 대해 원래 주어진 많은 정의와 이론들은 보다 일반적인 맥락으로 번역될 수 있습니다.전가법 범주 사이의 가법 함수는 고리 동형의 개념을 일반화하며, 가법 범주에서의 이상은 임의의 형태소와 함께 추가 및 구성 하에서 닫힌 형태소의 집합으로 정의될 수 있다.

일반화

대수학자들은 고리 공리를 약화시키거나 떨어뜨림으로써 고리보다 더 일반적인 구조를 정의해 왔다.

Rng

rng는 링과 동일하지만 곱셈 아이덴티티의 존재는 ^[53]가정되지 않습니다.

비관련 링

비연관환이란 연관성과 곱셈적 동일성의 존재를 제외한 모든 고리 공리를 만족시키는 대수적 구조이다.주목할 만한 예는 리 대수이다.리 대수와 연상 ^{[citation needed]}대수의 유사한 결과를 일반화하는 그러한 대수에 대한 구조 이론이 존재한다.

세미링

(R, +)가 아벨 군이라는 가정을 (R, +)가 교환 모노이드라는 가정으로 약화시키고, R의 모든 a에 대해 0 oms a = a 0 0 = 0이라는 공리를 더함으로써 (다른 공리로부터 더 이상 따르지 않기 때문에) 반연결이 얻어진다.

예:

음이 아닌 정수 $\{0,1,2,\ldots \}$ { $\{0,1,2,\ldots \}$ , $\{0,1,2,\ldots \}$ , $…}{displaystyle$ \{ $0,1,2,\ldots$ \}}(일반 $\{0,1,2,\ldots \}$ 덧셈 및 곱셈 포함)
열대성 세미닝

기타 고리 모양의 물체

카테고리의 링 오브젝트

C를 유한곱의 범주로 하자.let pt는 C(빈 제품)의 단말 객체를 나타냅니다.C의 링 객체는 $R\times R\;{\stackrel {a}{\to }}\,R$ R × $R\times R\;{\stackrel {a}{\to }}\,R$ $R\times R\;{\stackrel {a}{\to }}\,R$ $R\times R\;{\stackrel {a}{\to }}\,R$ {\ $displaystyle$ R $\times$ R $\;{\$ $stackrel {a$ $}$ {\ $to$ $R\times R\;{\stackrel {a}{\to }}\,R$ }},R}( $R\times R\;{\stackrel {a}{\to }}\,R$ $R\times R\;{\stackrel {m}{\to }}\,R$ $R\times R\;{\stackrel {m}{\to }}\,R$ × $R$ $\operatorname {pt} {\stackrel {0}{\to }}\,R$ $R\times R\;{\stackrel {m}{\to }}\,R$ {\ $displaystyle$ R\ $times R\;{\$ to }}}, $R\times R\;{\stackrel {m}{\to }}\,R$ R $},$ R $},$ $\operatorname {pt} {\stackrel {0}{\to }}\,R$ , R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, R, Rtive identity), $R\;{\stackrel {i}{\to }}\,R$ $R\;{\stackrel {i}{\to }}\,R$ $R\;{\stackrel {i}{\to }}\,R$ $R\;{\stackrel {i}{\to }}\,R$ {\ $displaystyle R\;{\stackrel$ {i $}{\$ $to$ $}},$ $\operatorname {pt} {\stackrel {1}{\to }}\,R$ }( $R\;{\stackrel {i}{\to }}\,R$ 반전), 및 $\operatorname {pt} {\stackrel {1}{\to }}\,R$ $\operatorname {pt} {\stackrel {1}{\to }}\,R$ 1 $\operatorname {pt} {\stackrel {1}{\to }}\,R$ (\ $displaystyle$ \ $operatorname$ {pt $}{\$ to $}}{\to$ }}, $R}($ 상대칭적 아이덴티티)이 일반적인 링 공리를 만족합니다.마찬가지로 링 객체는 점 $h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets}$ $h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets}$ $h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets}$ Hom $h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets}$ ( - $h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets}$ , $h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets}$ ) : $h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets}$ $h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets}$ $→$ $h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets}$ $et$ s \ $display$ h_{R} = $\operatorname$ {Hom $}(-,R)$ 의 함수 인수분해를 갖춘 객체 R이다. $C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Rings} {\stackrel {\textrm {forgetful}}{\longrightarrow }}\mathbf {Sets}$ $^{\operatorname {op}\to \mathbf {Sets}$ the $h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets}$ $C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Rings} {\stackrel {\textrm {forgetful}}{\longrightarrow }}\mathbf {Sets}$ $C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Rings} {\stackrel {\textrm {forgetful}}{\longrightarrow }}\mathbf {Sets}$ $C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Rings} {\stackrel {\textrm {forgetful}}{\longrightarrow }}\mathbf {Sets}$ Rin $C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Rings} {\stackrel {\textrm {forgetful}}{\longrightarrow }}\mathbf {Sets}$ s $C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Rings} {\stackrel {\textrm {forgetful}}{\longrightarrow }}\mathbf {Sets}$ 건망증 $C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Rings} {\stackrel {\textrm {forgetful}}{\longrightarrow }}\mathbf {Sets}$ \ $displaystyle$ C^{\ $operatorname$ {op $} }$ \ $to$ \ $mathbf {Ring}$ { $rightarrow}$ } } 。

링 방식

대수기하학에서 기본 $스킴$ S 위의 링 스킴은 S-스켐의 범주에 속하는 링 오브젝트이다. $예$ 를 들어 규격 Z에 $대한$ 링 $스킴 n$ W는 임의의 $교환환$ A에 대해 길이 $n$ 의 p-등형 Witt 벡터의 링 $W n (A)$ 를 ^[54] $A$ 에 반환한다.

링 스펙트럼

대수위상학에서 링 스펙트럼은 구 스펙트럼 S로부터의 $\mu \colon X\wedge X\to X$ : $\mu \colon X\wedge X\to X$ X $\mu \colon X\wedge X\to X$ (\ $displaystyle \mu \wedge X\to$ X) 및 $\mu \colon X\wedge X\to X$ $S\to X$ S $S\to X$ (\ $displaystyle$ S $\to$ X)와 $S\to X$ 함께 스펙트럼 X이며, 링 공리도는 호모토피까지 이동한다.실제로는 대칭 스펙트럼의 범주와 같은 스펙트럼의 좋은 범주에서 단일 물체로서 링 스펙트럼을 정의하는 것이 일반적이다.

「」를 참조해 주세요.

특수한 타입의 링:

메모들

^ 즉, 각 연산이 정의되고 R의 각 요소 쌍에 대해 R에서 고유한 결과가 생성됩니다.
^ 일부 저자는 1의 존재를 가정하지 않는다. 여기서 rng라는 용어는 곱셈적 동일성의 존재를 가정하지 않는 경우에 사용된다.다음 항을 참조하십시오.
^ Lang과 같은 일부 다른 저자들은 0이 아닌 0을 추가로 요구합니다.
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[1] 즉, 각 연산이 정의되고 R의 각 요소 쌍에 대해 R에서 고유한 결과가 생성됩니다.

[5] 일부 저자는 1의 존재를 가정하지 않는다. 여기서 rng라는 용어는 곱셈적 동일성의 존재를 가정하지 않는 경우에 사용된다.다음 항을 참조하십시오.

[39] Lang과 같은 일부 다른 저자들은 0이 아닌 0을 추가로 요구합니다.

[41] 그러한 중심적 특효성은 중심적 원시성이라고 불린다.

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[FOOTNOTEAtiyahMacdonald1969Theorem_10.17_and_its_corollaries-50] 아티야 & 맥도날드 1969, 정리 10.17과 그 결과물.

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권한 관리
국립도서관	스페인 프랑스. (데이터) 독일. 이스라엘 미국 체코 공화국
다른.	대상 용어의 적용 면

대수 구조 → 고리 이론 링 이론

기본 개념 반지. • 서브링 • 이상적 • 비율 링 • 소수점 이상 • 분수의 총 고리 • 링 제품 • 연상 대수의 자유곱 • 대수의 텐서 곱 링 동형사상 • 커널 • 내부 자기동형성 • 프로베니우스 내형성 대수 구조 • 모듈 • 연관 대수 • 등급 링 • 인볼루티브 링 • 링의 카테고리 • 초기 $\mathbb {Z}$ Z ${\displaystyle \mathbb$ { $Z}$ • 단자 $0=\mathbb {Z} _{1}$ 0 $=$ $0=\mathbb {Z} _{1}$ 1 {\ $displaystyle$ 0=\ $mathbb {Z} _{1}}$ 관련 구조 • 필드 • 유한 필드 • 비연관 링 • 리 링 • 조던 링 • 세미닝 • 세미필드
가환 대수 교환환 • 통합 도메인 • 통합 폐쇄 도메인 • GCD 도메인 • 고유한 인수 분해 영역 • 주요 이상 영역 • 유클리드 도메인 • 필드 • 유한 필드 • 컴포지션 링 • 다항식 링 • 정식 파워 시리즈 링 대수적 수론 • 대수적 수 필드 • 정수의 고리 • 대수적 독립성 • 초월수 이론 • 초월도 p-adic 수 이론과 소수점 • 직접 한계/역 한계 • $\mathbb {Z} _{1}$ $\mathbb {Z} _{1}$ 1 $(\$ • 정수 $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ 로 Zⁿ $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ / $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ n $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ { $displaystyle \mathbb {Z}$ / $p^{n}\mathbb {Z} }$ • Prüfer $\mathbb {Z} (p^{\infty })$ Z ( ${\$ ) ( \ $displaystyle$ \ $mathbb$ { Z } ( $p^$ { \ infty $}$ ) } • Base-p 원 $\mathbb {T}$ T ${\display\mathbb$ {T $}$ } • Base-p $\mathbb {Z}$ Z {\ $displaystyle \mathbb {Z} }$ • $\mathbb {Z} [1/p]$ 은 $\mathbb {Z} [1/p]$ Z [ $\mathbb {Z} [1/p]$ $\mathbb {Z} [1/p]$ $]{ displaystyle \mathbb {Z} [1/$ p]} • Base-p 실수 $\mathbb {R}$ {\style $\mathbb {R} 표시}$ • p-adic $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Z} _{p}$ p \ $style \mathbb {Z} _{p}$ • p-adic $\mathbb {Q} _{p}$ $\mathbb {Q} _{p}$ ${$ style $\mathbb {Q}_{p}$ 표시 • p-adic $\mathbb {T} _{p}$ $\mathbb {T} _{p}$ p \ $style \mathbb {T}$ _ ${p}$ 대수기하학 • 아핀 품종
비가환 대수 비가환환 • 분할 링 • 반잠수 링 • 심플링 • 정류자 비가환 대수 기하학 자유 대수 클리포드 대수 • 기하학 대수 연산자 대수
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