프뤼퍼 군

대수적 구조 → 환론 고리이론
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수학에서, 특히 군론에서, 소수 p에 대한 Püfer p-군 또는 p-quasicyclic 군 또는 p-군^∞, Z(p^∞)는 모든 원소가 서로 다른 p번째 근을 갖는 유일한 p-군입니다.

프뤼퍼 p군은 무한 아벨 군의 분류에서 중요한 셀 수 있는 아벨 군으로, 모든 가분군 중 가장 작은 구성 요소를 형성합니다.

이 무리들의 이름은 20세기 초 독일 수학자 하인츠 프뤼퍼의 이름을 따서 지어졌습니다.

Z(p^∞)의 구성

Prüfer p-그룹은 n이 모든 음이 아닌 정수에 걸쳐 있으므로 모든 p-근으로ⁿ 구성된 원 그룹 U(1)의 하위 그룹과 동일시될 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })=\{\exp(2\pi im/p^{n})\mid 0\leq m<p^{n},\,n\in \mathbf {Z} ^{+}\}=\{z\in \mathbf {C} \mid z^{(p^{n})}=1{\text{ for some }}n\in \mathbf {Z} ^{+}\}.\;}$

여기서 그룹 연산은 복소수의 곱셈입니다.

프레젠테이션이 있습니다.

${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })=\langle \,g_{1},g_{2},g_{3},\ldots \mid g_{1}^{p}=1,g_{2}^{p}=g_{1},g_{3}^{p}=g_{2},\dots \,\rangle .}$

여기서 Z(p^∞)의 그룹 연산은 곱셈으로 적습니다.

또는 동등하게 프뤼퍼 p-그룹은 quotient group Q/Z의 Sylow p-subgroup으로 정의할 수 있으며, 순서가 p의 거듭제곱인 원소들로 구성됩니다.

${\displaystyle \mathbf {Z}(p^{\infty})=\mathbf {Z} [1/p]/\mathbf {Z} }$

(여기서 Z[1/p]는 무리 연산으로 유리수의 덧셈을 사용하여 분모가 p의 거듭제곱인 모든 유리수의 무리를 나타냅니다.)

각 자연수 n에 대하여, 몫군 Z/pZ와 p의 곱셈에 의해 유도된 임베딩 Z/pZ → Z/pZ를 고려합니다. 이 시스템의 직접 한계는 Z(p^∞)입니다.

${\displaystyle \mathbf {Z}(p^{\infty})=\varinjlim \mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z}.}$

$위상$ 그룹 범주에서 직접 한계를 수행하면 Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle Z^{}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z}$/ p$^{n}\mathbf {Z}$ 각각에 위상을 부여하고 Z $($$p$∞) ${\displaystyle \mathbf$ {Z} ($p$infty})}에 대한 최종 위상을 취해야 합니다. $Z{\displaystyle }$($p$∞) {\$displaystyle \mathbf${Z} ($p^{\$infty})}를 하우스도르프로 설정하려면 Z / p n Z {\displaystyle \mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} 각각에 이산 토폴로지를 적용해야 하므로 Z (p ∞) {\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty})}가 이산 토폴로지를 갖게 됩니다.

우리는 또한 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbf {Z}(p^{\infty})=\mathbf {Q} _{p}/\mathbf {Z} _{p}$

여기서 Q는_p p-아딕 정수의 가산군을 나타내고 Z는_p p-아딕 정수의 부분군을 나타냅니다.

특성.

Prüfer p-그룹 Z(p) = Z[1/p]/Z의 전체 부분군 목록은 다음과 같습니다.

${\displaystyle 0\subsetneq \left({1 \over p}\mathbf {Z} \right)/\mathbf {Z} \subsetneq \left({1 \over p^{2}}\mathbf {Z} \right)/\mathbf {Z} \subsetneq \left({1 \over p^{3}}\mathbf {Z} \right)/\mathbf {Z} \subsetneq \cdots \subsetneq \mathbf {Z} (p^{\infty})}$

여기서 각${\displaystyle }$(${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{p^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}\mathbf{}}$ Z${\displaystyle )}$/ ${\displaystyle Z\mathbf{}}$ ${\$ p$^{n}}\mathbf {Z} \right)/\mathbf {Z}$는 pⁿ 원소를 가진 Z(p^∞)의 순환 부분군이며, 순서가 p를ⁿ 나누고 p번째 일치의ⁿ 근 집합에 해당하는 Z(p^∞)의 원소를 정확히 포함합니다.

Prüfer p-그룹은 부분군이 포함에 의해 완전히 순서화된 유일한 무한 그룹입니다. 이 포함 순서는 Püfer p-그룹을 유한 부분군의 직접 한계로 표현합니다. Prüfer p-그룹의 최대 부분군이 없으므로, 이는 자신의 Frattini 부분군입니다.

부분군 목록이 주어지면, Prüfer p-군은 분해할 수 없습니다(적절한 부분군의 직접적인 합으로 쓸 수 없음). 더 참입니다. 프뤼퍼 p-군은 직접적으로 축소할 수 없습니다. 아벨 군이 유한 순환 p 군 또는 프뤼퍼 군과 동형인 경우에만 아벨 군은 부직접적으로 환원할 수 없습니다.

Prüfer p-그룹은 국소적으로 순환하는 고유한 무한 p-그룹입니다(모든 원소의 유한 집합은 순환 그룹을 생성합니다). 위에서 본 바와 같이, Z(p^∞)의 모든 적절한 부분군은 유한합니다. 프뤼퍼 p-군은 이 성질을 갖는 유일한 무한 아벨 군입니다.^[1]

Prüfer p-그룹은 나눌 수 있습니다. 그들은 가분군의 분류에 중요한 역할을 합니다; 유리수와 함께 그들은 가장 단순한 가분군입니다. 더 정확하게 말하면, 아벨 군은 모든 소수 p에 대하여 Q의 (가능하면 무한히 많은) 사본 수와 Z의 (가능하면^∞ 무한히 많은) 사본 수의 직접적인 합인 경우에만 분할될 수 있습니다. 이 직접 합에 사용되는 Q와 Z(p^∞) 사본의 (카디칼) 수에 따라 동형까지 분할 가능한 그룹이 결정됩니다.^[2]

아벨 군(즉, Z-모듈로서), Z(p^∞)는 아르티니아적이지만 노에테리아적은 아닙니다.^[3] 따라서 모든 아르티니아 모듈은 노에테리아인(모든 아르티니아 링은 노에테리아인)이라는 개념에 반대되는 반례로 사용될 수 있습니다.

Z(p^∞)의 내형환은 p-아딕 정수 Z의_p 환과 동형입니다.^[4]

국소적으로 콤팩트한 위상군 이론에서, 프뤼퍼 p군(이산 위상이 부여된)은 p-아딕 정수들의 콤팩트한 군의 폰트랴긴 이중이고, p-아딕 정수들의 군은 프뤼퍼 p군의 폰트랴긴 이중입니다.^[5]

참고 항목

• p-adic 정수. 프뤼퍼 p-군의 유한 부분군의 역한계로 정의할 수 있습니다.
• a/2^b 형식의 쌍대 유리수, 유리수. Prüfer 2-군은 dyadic rationals modulo 1로 볼 수 있습니다.
• 순환군(무한 아날로그)
• 원 그룹(무계 무한 아날로그)

메모들

참고문헌

• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. Vol. 2 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.
• Pierre Antoine Grillet (2007). Abstract algebra. Springer. ISBN 978-0-387-71567-4.
• Kaplansky, Irving (1965). Infinite Abelian Groups. University of Michigan Press.
• N.N. Vil'yams (2001) [1994], "Quasi-cyclic group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press