아핀 품종

대수 기하학 기하학에서, 대수학적으로 폐쇄된 필드 k에 대한 아핀 다양성 또는 아핀 대수적 다양성은 k에 계수를 갖는 n 변수의 유한 다항식 k의 아핀 공간 k에ⁿ 있는 제로 로쿠스다.원시 이상을 생성하는 조건이 제거되면 그러한 집합을 (아핀) 대수 집합이라고 한다.아핀 품종의 자리스키 오픈 하위 품종을 준아핀 품종이라고 한다.null

어떤 본문은 원시적 이상을 요구하지 않으며, 불가해한 것을 원시적 이상에 의해 정의된 대수적 다양성이라고 한다.이 글에서는 아핀 대수 집합이라고 할 수 없는 원초적 이상을 제로 로시(zero-loci)라고 언급하고 있다.null

어떤 맥락에서 계수가 고려되는 필드 k와 0-로쿠스가 고려되는 대수적으로 폐쇄된 필드 K(포함 k)를 구별하는 것이 유용하다(즉, 부속품종의 점은 K에ⁿ 있다).이 경우 k에 대해 품종을 정의하고, k에ⁿ 속하는 품종의 점을 k에 대해 k-합리적 또는 합리적이라고 한다.k가 실수의 분야인 일반적인 경우, k-합리적인 점을 실점이라고 한다.^[1]필드 k를 지정하지 않은 경우, 합리적인 점은 합리적인 숫자에 대해 합리적인 점을 의미한다.예를 들어, 페르마의 마지막 정리는 xⁿ + y - 1ⁿ = 0으로 정의된 아핀 대수적 다양성(곡선이다)이 2보다 큰 정수 n에 대해 합리적 포인트가 없다고 주장한다.null

소개

아핀 대수 집합은 k 단위의 계수를 갖는 다항식 시스템의 대수적으로 닫힌 필드 k에 있는 해법 집합이다.더 정확히 $말하면{\displaystyle {}_{}}$, f ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$f ${\displaystyle m_{}}$ ${\$이 k의 계수를 가진 다항식이라면, 그들은 아핀 대수 집합을 정의한다.

${\displaystyle V(f_{1},\ldots ,f_{m})=\left\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}\; \;f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\ldots =f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\right\}.}$

아핀(Algebraic) 품종은 아핀 대수 집합으로 두 개의 적절한 아핀 대수 하위 집합의 조합이 아니다.그러한 어핀 대수 집합은 흔히 돌이킬 수 없다고 한다.null

X가 아핀 대수 집합이고, 내가 X에 0인 모든 다항식의 이상이라면, 지수 $링{\displaystyle }$R = k [ ${\displaystyle x{1\mathrm{}}_{}}$ , …${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$/ I ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I}$를 X의 좌표 링이라고 한다$$.만약 X가 아핀 버라이어티라면 나는 프라임이기 때문에 좌표 링은 일체형 영역이다.좌표 링 R의 원소는 품종에서 정규함수 또는 다항함수라고도 한다.그것들은 다양성에 대한 규칙적인 기능의 링 또는 단순히 다양성의 링을 형성한다; 다시 말하면, 그것은 X의 구조체의 전지구적인 부분의 공간이다.

품종의 치수는 모든 품종, 심지어 모든 대수 집합에 관련된 정수로서, 그 중요성은 상당수의 등가 정의에 의존한다(대수적 품종의 치수 참조).null

예

• 아핀 버라이어티 X(일부 다항식 f의 경우 X - { f = 0 })에 있는 하이퍼페이스의 보어는 아핀이다.그것의 정의 방정식은 X의 정의 이상을 f에 의해 포화함으로써 얻어진다.좌표 링은 따라서 국산화 $k{\displaystyle }$[ X ${\displaystyle ]}$[ ${\displaystyle f{}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k[X][f^{-1}]}}$ 입니다$.$
• 특히 C${\displaystyle \mathbb{}}$- ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathb {C} -0}($원점이 제거된 아핀 라인)은 아핀이다.
• 반면 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathb {C} ^{2}-0}($원점을 제거한 아핀 평면)은 아핀 품종이 아니다; cf.하토그스의 확장 정리.
• 아핀 공간 ${\displaystyle k^{}}$ ${\$에 있는 코다이멘션 1의 하위분리는 정확히$$ 하나의 다항식으로 정의되는 품종인 하이퍼퍼페이스다.
• 불가침 부종의 정상화는 아핀이다. 정상화의 좌표 고리는 품종의 좌표 고리의 일체형 폐쇄다. (비슷하게, 투영적 품종의 정상화는 투영적 품종이다.)

이성적 포인트

이 구간은 확장이 필요하다.덧셈으로 도와줘도 된다.(2013년 3월)

For an affine variety ${\displaystyle V\subseteq K^{n}}$ over an algebraically closed field K, and a subfield k of K, a k-rational point of V is a point ${\displaystyle p\in V\cap k^{n}.}$ That is, a point of V whose coordinates are elements of k.아핀 버라이어티 V의 k-Rational 포인트 모음은 흔히 $V{\displaystyle }$( ${\displaystyle k}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle V(k$)로 표기된다$.$$}}$ 베이스 필드가 복잡한 숫자 C인 경우, R-합리적(R이 실제 숫자인 경우)인 점을 버라이어티의 실제 포인트라고 하고 Q-합리적 포인트(합리적 숫자인 Q)를 단순히 이성적인 포인트라고 부르는 경우가 많다$$.null

For instance, (1, 0) is a Q-rational and an R-rational point of the variety ${\displaystyle V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq \mathbf {C} ^{2},}$ as it is in V and all its coordinates are integers.포인트(√2/2, √2/2)는 Q-rational이 아닌 V의 실제 포인트로, (${\displaystyle i\sqrt{\mathrm{}}}$, 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle(i,{\sqrt{2}})$은 R-rational이 아닌 V의 포인트다.이 품종을 원이라고 하는데, 그 R-합리적인 점의 집합이 단위 원이기 때문이다.포인트인 Q-Rational 포인트가 무한히 많다.

${\displaystyle \left\frac{1-t^{2}}:{1+t^{2}}:}{\frac {2t}{1+t^{2}{2}}}}}\오른쪽)}$

여기서 t는 합리적인 숫자다.null

원 $V{\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle \subseteq }$ C ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}은 Q-기준점이 없는 2도 대수곡선의 예다$$.이것은 modulo 4에서 두 제곱의 합이 3이 될 수 없다는 사실에서 추론할 수 있다.null

Q-합리점을 갖는 2도의 대수곡선은 무한히 많은 다른 Q-합리점을 가지고 있다는 것을 증명할 수 있다. 각 점은 곡선의 두 번째 교차점과 합리적인 지점을 통과하는 합리적인 경사가 있는 선이다.null

콤플렉스 $버라이어티{\displaystyle {}^{}{x\mathrm{}}^{}}$ 2 +${\displaystyle {}^{}}$y ${\displaystyle 2}$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ C$$2 {\$displaystyle V(x^{2}+y^{2}+$1)\$subseteq \mathbf$ {C$}{2$}}은$$R-Rational 포인트가 없지만$$ 복잡한 포인트가 많다.null

V가 복잡한 숫자 C에 걸쳐 정의된 C의² 아핀 버라이어티인 경우, V의 R-Rational 포인트는 종이에 그리거나 그래프 작성 소프트웨어로 그릴 수 있다.오른쪽 그림에는 $V{\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- x ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ x ${\displaystyle 2{}^{}}$+ ${\displaystyle 16}$ x${\displaystyle }$)의 R-관계 지점이 표시된다.${\displaystyle {}^{}\subseteq }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 . ${\displaystyle V(y^{2}-x^{3}+x$^{$2}+16x)\subseteq \mathbf {C} ^{2}{$2}.$}$

단수 점 및 접선 공간

Let V be an affine variety defined by the polynomials ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}],}$ and ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$ be a point of V.

a에서 V의 Jacobian 행렬 J_V(a)는 부분파생상품의 행렬이다.

${\displaystyle {\frac {\frac {\f_{j}}{\put {x_{i}}}}(a_{1},\properties,a_{n}).}$

점_V a는 J(a)의 등급이 V의 코디네이션과 같을 경우 정규이고, 그렇지 않을 경우 특이하다.null

a가 정규적인 경우, a에서 V에 대한 접선 공간은 선형 방정식으로^[2] 정의된$$ ${\displaystyle {kn}^{}}$ ${\$ k$^{n}$의 부속 공간이다.

${\displaystyle \sum \sum _{i=1}^{n}{\frac {\f_{j}}{\x_{i}}}}{x_{n}}}(x_{i}-a_{n})=0,\captes j=1,\re.}$

점이 단수라면 이들 방정식에 의해 정의되는 아핀 하위공간을 일부 저자에 의해서도 접선공간이라고 부르기도 하는 반면, 다른 저자들은 단수점에 접선공간이 없다고 말한다.^[3]좌표를 사용하지 않는 보다 본질적인 정의는 자리스키 접선 공간에 의해 주어진다.null

자리스키 위상

아핀 대수학ⁿ k 집합은 자리스키 위상이라고 불리는ⁿ k에 있는 위상의 닫힌 세트를 형성한다.This follows from the fact that ${\displaystyle V(0)=k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$ ${\displaystyle V(1)=\emptyset ,}$ ${\displaystyle V(S)\cup V(T)=V(ST),}$ and ${\displaystyle V(S)\cap V(T)=V(S+T)}$ (in fact, a아핀 대수 집합의 계수 가능한 교차점은 아핀 대수 집합이다).null

The Zariski topology can also be described by way of basic open sets, where Zariski-open sets are countable unions of sets of the form ${\displaystyle U_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)\neq 0\}}$ for ${\displaystyle f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}].$$}}$ 이러한$$ 기본 오픈 세트는 ${\displaystyle {}_{}}$ 집합 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle (f}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle D_{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \in }$ k${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle f}$ : f${\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0\},}$ ${\displaystyle V(f)=D_{f}=\{p\in$ k$^{n}=f(p)=0\},$ 단일$$ 다항식의 0 loci 단위의 보완물이다ⁿ.만약 k가 노메테리아인 경우(예를 들어, k가 필드 또는 주요 이상 영역인 경우), k의 모든 이상은 미세하게 생성되므로, 모든 오픈 세트는 기본 오픈 세트의 유한 결합이다.null

V가 k의ⁿ 부차종인 경우, V의 자리스키 위상은 단순히ⁿ k의 자리스키 위상에서 물려받은 아공간 위상일 뿐이다.

지오메트리-알지브라 대응

아핀 품종의 기하학적 구조는 좌표 고리의 대수적 구조와 깊은 방식으로 연결되어 있다.나와 J는 아핀 버라이어티 V의 좌표 고리인 k[V]의 이상이 되게 하라.Let I(V) be the set of all polynomials in ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$ which vanish on V, and let ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ denote the radical of the ideal I, the set of polynomials f for which some power of f is in I.The reason that the base field is required to be algebraically closed is that affine varieties automatically satisfy Hilbert's nullstellensatz: for an ideal J in ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$ where k is an algebraically closed field, ${\displaystyle I(V(J))={\sqrt {J}}.$$}$

k[V]의 급진적 이상(자기 자신의 급진적 이상)은 V의 대수적 하위 집합에 해당한다.$실제로$ 급진적 이상 ${\displaystyle I}$과 J에 $대해서$는 $V$ (${\displaystyle J}$ ${\displaystyle )}$$$${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle V}$( $I$) ⊆ V ( )${\displaystyle }${ V ( ) ${$ { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\$ \ \ \ \ \ \$$\ \ \$}$ 따라서$$ V(I)=V(J)는 I=J일 경우에만.더욱이, 어핀 대수 집합 W를 취하고 모든 기능들의 집합인 리턴 I(W)를 갖는 함수는 Nullstellensatz에 의해 급진적 이상에 대수 집합을 할당하는 함수의 역이다.그러므로 아핀 대수 집합과 급진적 이상 사이의 대응은 편견이다.아핀 대수 집합의 좌표 링은 감소한다(Nilpotent-free), 즉, R 링의 이상 I는 지수 링 R/I가 감소하는 경우에만 급진적이기 때문이다.null

좌표 고리의 주요 이상은 부분리에 해당한다.An affine algebraic set V(I) can be written as the union of two other algebraic sets if and only if I=JK for proper ideals J and K not equal to I (in which case ${\displaystyle V(I)=V(J)\cup V(K)}$).내가 전성기가 아니면 그렇지 않을 때만 그렇다.아핀 하위분리는 정확히 좌표 링이 통합된 영역인 것이다.이상에 의한 반지의 지분이 일체적 영역일 경우에만 이상이 프라임이기 때문이다.null

k[V]의 최대 이상은 V의 점에 해당한다.If I and J are radical ideals, then ${\displaystyle V(J)\subseteq V(I)}$ if and only if ${\displaystyle I\subseteq J.}$ As maximal ideals are radical, maximal ideals correspond to minimal algebraic sets (those which contain no proper algebraic subsets), which are points in V.If V is an affine variety with coordinate ring ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle ,}$ this correspondence becomes explicit through the map ${$$\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto \langle {\overline {x_{1}-a_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}-a_{n}}}\rangle ,}$ where ${\displaystyle {\overline {x_{i}-a_{i}}}}$ denotes the image in the quotient algebra R of the polynomial ${\displaystyle x_{i}-a_{i}.$$}}$ 대수적$$ 부분집합은 부분집합 좌표 링이 필드인 경우에만 점으로, 최대 이상에 의한 반지의 몫은 필드인 경우다.null

다음 표에는 해당 좌표 링의 부속품종과 이상에 대한 대수적 하위 집합이 요약되어 있다.

대수 집합의 유형	이상 유형	좌표 링 유형
대수적 부분집합을 붙이다.	급진적 이상	환원반지
부변종을 붙이다.	최고의 이상	일체형 영역
점을 찍다	최대 이상	밭을 갈다

아핀 품종 제품

아핀 변종 제품은 이형성 Aⁿ × A = A를^mn+m 사용하여 정의한 다음 이 새로운 아핀 공간에 제품을 내장할 수 있다.A와ⁿ A에^m 각각 좌표 링 k[x₁,..., x_n]와 k[y₁,..., y_m]를 두어 제품 A에^n+m 좌표 링 k[x₁,..., x_n1, y]가 되도록_m 한다.Let V = V(f₁,..., f_N) A의ⁿ 대수적 부분집합이고, W = V(g₁,..., g_M) A의^m 대수적 부분집합이다.그러면 각 f는_i k[x₁, ..., x_n]의 다항식이고, g는_j k[y₁,..., y_m]이다.V와 W의 산물은 A에서^n+m 대수 집합 V × W = V(f₁,..., f_N, g₁, g_M)로 정의된다.각각의 V, W가 환원불능이면 그 제품은 환원불능이다.^[4]null

Aⁿ × A의^m Zariski 위상은 두 공간의 Zariski 위상의 위상이 아닌 점에 유의해야 한다.실제로 제품 토폴로지는 기본_f 오픈 세트 Uⁿ = A - V(f )와 T_g = A^m - V(g )의 제품에 의해 생성된다.따라서 k[x₁,..., x_n, y₁, y]에_m 있지만 k[x₁,..., x_n] 또는 k[x,..., x] 또는 k[y₁,..., y_m]에 없는 다항식은 제품ⁿ 위상에서는^m 아니지만 제품 위상에서는 Zariski 위상에 있는 대수 집합을 정의한다.null

아핀 변종 형태론

아핀 품종 간 유사 품종에 각 좌표에:더 정확하게 다항은 아핀 품종의 사상, 혹은 정기적으로 지도, 함수, V⊆ kn와 W⊆ km, 사상에서 V에서 W지도 φ:V→ W의 형태 φ(a1,...,))(f1(a1,...,),..., fm(a1,...,)가fi ∈ k[X1,..., Xn]을 위해 각각의 나는 정도 1,..., m이 빠진다어핀 변종 범주의 형태론null

대수적으로 폐쇄된 필드 k에 대한 아핀 변종들의 형태론과 반대 방향으로 가는 k에 대한 아핀 변종들의 좌표 고리의 동질성 사이에는 일대일 일치성이 있다.그 때문에, k에 대한 아핀 품종과 그들의 좌표 링 사이에 일대일 일치성이 있다는 사실과 함께, k에 대한 아핀 품종의 범주는 k에 대한 아핀 품종의 좌표 링 범주에 이중적이다.k에 대한 부속품종 좌표고리의 범주는 정밀하게 생성되고 nilpotent가 없는 k에 대한 알헤브라의 범주다.

더 정확히 말하면, 각 형태론 : : V → 아핀 변종의 경우 좌표 고리 사이에 동형성 φ^# : k[W] → k[V]가 있고, 그러한 동형성 각에는 좌표 고리와 연관된 변형의 형태론이 있다.이것은 분명히 보여질 수 있다: V ⊆ k와ⁿ W ⊆ k를^m 각각 좌표 링 k[V] = k[X₁, ..., X_n] / I와 k[W] = k[Y₁, ..., Y_m] / J로 붙이도록 한다.φ : V → W를 형태론적으로 보자.실제로 다항 고리 사이에 불완전 변태:k[Y1,..., Ym]/J→ k[X1,..., Xn]/나는 여러가지 요인들은 반지 k[X1,..., Xn]독특하게를 통해, 불완전 변태 ψ:k[Y1,..., Ym]/J→ k[X1,..., Xn]독특한 Y1의 이미지들에 의해,..., Ym. 따라서 각각의 준동형#φ:이미지의 eac을 위한 선택으로 k[W]→ k[V]는 독특하게 결정된다 θ.hYiThen given any morphism φ = (f₁, ..., f_m) from V to W, a homomorphism can be constructed φ^# : k[W] → k[V] which sends Y_i to ${\displaystyle {\overline {f_{i}}},}$ where ${\displaystyle {\overline {f_{i}}}}$ is the equivalence class of f_i in k[V].null

마찬가지로 좌표 링의 각 동형성에 대해 아핀 변종의 형태론은 반대 방향으로 구성될 수 있다.위의 단락을 반영하여 동형상 ism^# : k[W] → k[V]는 k[V]의 다항식 $f{\displaystyle {}_{}}$ i (${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}{}_{}}$…${\displaystyle }$,${\displaystyle X_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle f_{i}(X_{1},\dots ,X_{n})$로 Y를_i 보낸다.이는 varieties(a, ..., a_n) = (f₁(a₁₁, ..., a), ...(a_nm1, ...), ...(a_n, ..., a)로 정의되는 품종 φ : V → W에 해당한다.null

구조물 덮개

아래에 설명된 구조용 칼집을 갖추고 있는 아핀 버라이어티는 국소적으로 링이 달린 공간이다.null

Given an affine variety X with coordinate ring A, the sheaf of k-algebras ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ is defined by letting ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$ be the ring of regular functions on U.

A의 각 f에 대해 D(f) = { x f(x) ≠ 0 }을(를) 두십시오.X 위상의 기초를 형성하므로 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$은(는) 오픈 세트 D(f)의 값에 의해 결정된다$$(참고: 모듈#의 조각 참조).모듈에 연결된 피복)null

본질적으로 힐베르트 nullstellensatz에 의존하는 핵심적인 사실은 다음과 같다.

증명:^[5]포함 ⊃은 명확하다.반대로 g는 왼쪽, $J{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \in }$ A ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A\}}$ ${\displaystyle J=\{h\in A$ 이상적이다.x가 D(f)에 있으면 g가 x 근처에 규칙적이기 ${\displaystyle \mathrm{때문}}$에 x의 일부 개방된 인접 지역 D(h)가 있는데, ${\displaystyle \mathrm{이러한}}$ 이웃은 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ k${\displaystyle }$[ ${\displaystyle D}$( ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle ]}$= A${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle g\in k[D(h)]=$이다.$A[h^{-1$ 즉, h^m g는 A에 있으므로 x는 V(J)에 있지 않다.In other words, ${\displaystyle V(J)\subset \{x f(x)=0\}}$ and thus the Hilbert nullstellensatz implies f is in the radical of J; i.e., ${\displaystyle f^{n}g\in A}$. ${\displaystyle \square }$

그 주장은 우선 X가 그 이후부터 "로컬 링"된 공간이라는 것을 암시한다.

${\displaystyle {\mathcal{O}_{X,x}=\varinjlim_{f(x)\neq 0}A[f^{-1}]=A_{{\mathfrak{m}_{x}}}$

where ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{f\in A f(x)=0\}}$. Secondly, the claim implies that ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ is a sheaf; indeed, it says if a function is regular (pointwise) on D(f), then it must be in the coordinate ring of D(f); that is, "regular-ness" can be아치형으로 만든null

따라서${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle O_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (X,{\mathcal{O}_{X}})$은 로컬 링 공간이다.null

세레의 친절에 대한 정리

세레의 정리는 붙임성 품종에 대한 동족학적 특성을 부여한다; 만약 ${\displaystyle {Hi}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}X,}$ F${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle H^{i}(X,F)=0}$과 X. (cf) 상의 모든 > ${\displaystystyle i>0}$에 대한$$ 모든 준조립성 sheAF에 대해 대수적 품종이 일 경우에만 붙는다.카르탄의 정리 B.)이것은 선다발들의 코호몰로지 집단이 중심적인 관심을 갖는 프로젝트적인 사례와 극명하게 대조되는, 어핀 다양성의 코호몰로지 연구는 존재하지 않게 만든다.null

아핀 대수군

대수적으로 폐쇄된 필드 k에 대한 아핀 다양성 G는 다음과 같은 경우 아핀 대수군이라고 한다.

• 곱셈 μ: G × G → G.는 연관성 공리를 따르는 규칙적인 형태론이다. 즉, G에서 모든 f, g, h에 대해 μ(μ(f, g), h = μ(g, h)가 μ(f, μ, h)가 된다.
• G의 모든 G에 대해 μ(e, g) = μ(g, e) = g와 같은 식별 요소 e;
• 역 형태론, 정규 편향 ι: G → G의 모든 G에 대해 μ(μ) = μ(μ(g), g) = e.

이들은 함께 다양성에 대한 그룹 구조를 정의한다.위의 형태는 보통 그룹 표기법을 사용하여 표기하는 경우가 많다: μ(f, g)는 f + g, f⋅g 또는 fg로 표기할 수 있으며, 역 ι(g)는 -g 또는 g로⁻¹ 표기할 수 있다.승법 표기법을 사용하면 연관성, 정체성, 역법칙 등을 f(gh) = (fg)h, ge = eg = g, gg⁻¹ = gg⁻¹ = e로 다시 쓸 수 있다.

아핀 대수 그룹의 가장 두드러진 예는 gl_n(k)으로, 도 n의 일반 선형 그룹이다.이것은 벡터 공간 k의ⁿ 선형 변환 그룹이다. k의ⁿ 기초가 고정되어 있다면, 이것은 k의 항목이 있는 n×n 반전성 행렬의 그룹과 같다.아핀 대수집단은 GL_n(k)의 하위집단에 이형성이 있음을 알 수 있다.이런 이유로 아핀 대수집단을 흔히 선형 대수집단으로 부른다.null

아핀 대수집단은 유한단순군 분류에 중요한 역할을 하는데, 이는 리형의 집단이 모두 아핀 대수집단의 F-합리적인_q 점들의 집합이기 때문이며, 여기서 F는_q 유한한 분야다.null

일반화

• 만약 저자가 아핀 품종의 베이스 필드를 대수적으로 폐쇄하도록 요구한다면(이 글과 같이), 비-아프라인 아핀 대수학 집합은 아핀 품종의 일반화다.이 일반화에는 특히 실수에 대한 아핀 품종이 포함된다.

• 아핀 품종은 대수 품종에 대한 국부 차트의 역할을 한다. 즉, 투영 품종과 같은 일반 대수 품종은 아핀 품종을 붙임으로써 얻는다.품종에 부착된 선형 구조도 접선 다양성(예: 접선 공간, 대수 벡터 번들의 섬유)이다.

• 아핀 버라이어티는 아핀 체계의 특별한 경우로서, 국소적으로 링이 있는 공간으로서, 교환 링의 스펙트럼에 이형성이 있다(범주의 등가까지).각 부속품종에는 그것과 연관된 부속 체계가 있다: 만약 V(I)가 좌표 링 R = k[x₁, ..., x_n] / I와 함께ⁿ k의 부속품종이라면, V(I)에 해당하는 체계는 R의 주요 이상 집합인 스펙(R)이다.아핀 체계는 다양성의 점(따라서 다양성의 좌표 링의 최대 이상)과 일치하는 "일반적인 점"을 가지고 있으며, 또한 다양성의 닫힌 각 하위 변수에 대한 점(이 점들은 좌표 링의 원시, 비 최대 이상에 해당한다)도 있다.이것은 닫힌 각 하위변수에 하위변수에 밀도가 높은 개방점을 할당함으로써 부속품종의 "일반적인 점"에 대한 보다 잘 정의된 개념을 만들어낸다.더 일반적으로, 어핀 체계는 대수적으로 닫힌 필드 k에 대해 감소되고, 해독할 수 없으며, 유한한 형태의 어핀 품종이다.

메모들

참고 항목

• 대수적 품종
• 아첨하는 계책
• 좌표 링에 대한 표현

참조

원고는 해당 프랑스어 기사를 부분적인 인간 번역으로 쓴 것이다.null

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Fulton, William (1969). Algebraic Curves (PDF). Addison-Wesley. ISBN 0-201-510103.
• Milne, J.S. (2017). "Algebraic Geometry" (PDF). www.jmilne.org. Retrieved 16 July 2021.
• 밀른, 에탈레 코호몰로지 강의
• Mumford, David (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1358 (2nd ed.). Springer-Verlag. doi:10.1007/b62130. ISBN 354063293X.
• Reid, Miles (1988). Undergraduate Algebraic Geometry. Cambridge University Press. ISBN 0-521-35662-8.