지수 반지

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링 이론에서, 요소 링, 차이 링^[1] 또는 잔류물 등급 링이라고도 알려진 추상 대수학의 한 가지 분기는 그룹 이론의 몫 그룹과 선형 대수에서의 몫 공간과 상당히 유사한 구조다.^[2][3]보편적 대수학의 일반적인 설정에서 본 바와 같이, 그것은 인수의 특정한 예다.R의 링 R과 R의 양면 이상 I를 시작으로, 새로운 링인 지수 링 R/I가 구성되는데, 이들의 요소는 특수 +와 ⋅ 연산의 대상인 R의 I의 코제트다.(분수 슬래시 "/"만 수평 분수대가 아닌 지수 링 표기법에서 사용된다.)null

지수 링은 지역화를 통해 얻은 보다 일반적인 "인수의 링"뿐만 아니라, 통합 영역의 소위 "양수 필드" 또는 분수 영역과 구별된다.null

공식 지수 링 구조

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R$$}$과($와{\displaystyle }$) R {\displaystyle $R$$}$의 양면 이상 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ I$}$에 대해$$ 다음과 같이 동등성 관계를 $정의$할 수 있다$.$

${\displaystyle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle }$~ ${\displaystyle b}$ ${\$$displaystyle a-b}$이${\displaystyle (}$가$)$ $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I$에 있는$$ 경우에만 해당$.$

이상적인 속성을 사용하면${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \sim }$이(가) 일치 관계인지 확인하는 것은 어렵지 않다.$a{\displaystyle }$~ ${\displaystyle b}${\$displaystyle a\sim$ b$}$인 경우$,$ $우리$는$$a {\$displaystyle$ a$}$과 b ${\displaystyle b}$이(가) 합치되는 $모듈$로 I$${\$displaystyle I}$이라고 말한다$.$$R$ ${\displaystyle R}$의 $요소{\displaystyle }$ a ${\displaystyle a}$의 동등성 클래스는

${\displaystyle [a]=a+$$I:=\{a+r:r\in$ I$\backslash \}\}$

이 동등성 클래스는 ${\displaystyle mod}$ ${\displaystyle I}$ ${\$ a${\bmod{I}}$로도 작성되며$$, $"{\displaystyle a}$ $modulo$ I$${\$displaystyle I}$의 residue 클래스"라고도 한다.$$

그러한 모든 동등성 클래스의 $집합$은 R${\displaystyle /I}${\$displaystyle$R/$I}$으로 표시되며$,$ $R{\displaystyle }${\$displaystyle R}$$모듈$로 I$${\$displaystyle I$}의 계수 링 또는 인수 링이 된다$.$

• ${\displaystyle (a+I)++(b+I)=(a+b)+++++++$$I}$;
• ${\displaystyle (a+I)(b+I)=(ab)+++$$I}$ $.$

(여기서는 이러한 정의가 잘 정의되어 있는지 확인해야 한다.코제트(coset)와 인용부(index) 그룹을 비교하십시오.)$R{\displaystyle /I}$ ${\displaystyle R/$${\displaystyle I}$$}$의 0-요소는 $0$ } =${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$+${\displaystyle I}$ ) =$$I {\$displaystyle {\bar{0$}}=($0+I)=$$I}$, 그리고 승법정체는 $1{\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle ¯}$ =${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$+ $){\displaystyle {\bar{1}=(1+I)}$ 입니다$.$

${\displaystyle \mathrm{p<img\; alt="R/I"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/0650c975ee7bf3b39ce3144a5de71179c40ee493"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:4.098ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="287">}(}$$$a )로 정의된 R {\${\displaystyle displaystyle}$ R$}$에서 R / I {\$displaystyle$ $R/I}$까지의 $맵{\displaystyle }$ p ${\$$displaystyle p(a)=a+$$I}$은(는) 허탈적인 고리 동형주의로, 때로는 자연적 몫의 지도 또는 정론적 동형주의라고 불리기도 한다.null

예

• 지수 링 R/{0}은 자연적으로 R에 이형이며, R/R은 제로 링 {0}이다. 왜냐하면, 우리의 정의에 따르면 R에서 어떤 R에 대해서도 [r] = r + "R" := {r + b : b ∈ "R"}}이 있기 때문이다. 이는 R 그 자체와 동일하다.이는 이상 I가 클수록 지분의 R/I가 작다는 경험칙과 맞아떨어진다. 즉, 내가 R의 적절한 이상이라면, 즉 I r R, R/I는 제로 링이 아니다.
• 정수 Z의 링과 2Z로 표시된 짝수 수의 이상을 고려하십시오.그러면 지수 링 Z / 2Z는 짝수로 구성된 코셋 0+2Z와 홀수로 구성된 코셋 1+2Z, 즉 [z] = z + 2Z := {z + 2y: 2y ∈ 2Z}의 정의만 적용하며, 여기서 2Z는 짝수의 이상이다.F라는₂ 두 개의 원소를 가진 유한한 장에 자연적으로 이형성이 있다.직관적으로 모든 짝수를 0으로 생각하면 모든 정수는 0( 짝수일 경우) 또는 1(이상하여 짝수일 경우 1)이다.모듈형 산술은 본질적으로 지수 링 Z/nZ(원소가 n개 있음)에서 산술적인 것이다.
• 이제 다항식 X + 1의 모든 배수로 구성된 실제² 계수 R[X]와 이상적인 I = (X² + 1)을 갖는 변수 X의 다항식 링을 고려한다.지수 링 R[X] / (X² + 1)은 자연적으로 복잡한 숫자 C의 영역에 이형성이며, 클래스 [X]는 가상 단위 i의 역할을 한다.그 이유는 우리가² X + 1 = 0, 즉² X = -1을 "강제"했기 때문인데, 이것은 i의 정의 속성이다.
• 이전 예를 일반화하면, 지수 링은 필드 확장을 구성하는 데 종종 사용된다.K가 어떤 분야이고 f가 K[X]의 수정 불가능한 다항식이라고 가정하자.L = K[X] / (f)는 K에 대한 최소 다항식이 f인 필드인데, 여기에는 K와 원소 x = X + (f)가 포함된다.
• 앞의 예에서 중요한 예시 중 하나는 유한장의 건설이다.예를 들어 세 개의₃ 요소가 있는 F = Z / 3Z 필드를 고려하십시오.다항식 f(X²) = X + 1은 (뿌리가 없기 때문에) F보다₃ 수정할 수 없으며, 우리는 몫의₃ 링 F[X] / (f)를 구성할 수 있다.이것은² 3 = 9 원소를 가진 분야로 F로₉ 표시된다.다른 유한 분야는 유사한 방식으로 건설될 수 있다.
• 대수적 변종들의 좌표 고리는 대수 기하학에서 지수적 고리의 중요한 예들이다.간단한 경우, 실제 품종 V = {(x, y) x² = y³ }을(를) 실제 평면 R의² 하위 집합으로 간주하십시오.V에 정의된 실제 값 다항 함수의 링은 지수 R[X,Y] / (X²³ - Y)로 식별할 수 있으며, 이것이 V의 좌표 링이다.버라이어티 V는 현재 좌표 링을 연구하여 조사되고 있다.
• M이 C-manifold이고^∞ p가 M의 지점이라고 가정하자. M에 정의된 모든 C-기능의^∞ 링 R = C^∞(M)를 고려하고, 내가 p의 일부 근린 U(U가 f에 의존할 수 있는 경우)에서 동일하게 0인 기능 f로 구성된 R에서 이상적이 되도록 하라.그러면 지수 R / I는 p에서 M에 있는 C 기능의^∞ 세균의 링이다.
• 초현실 필드 *R의 유한 요소의 링 F를 고려한다.그것은 -n < x < n을 가진 표준 정수 n이 존재하는 모든 초현실적 숫자 x의 극소수 또는 동등하게 표준 실수와 다른 모든 초현실적 숫자로 구성된다.*R에서 0과 함께 모든 소수점 이하 숫자의 집합 I는 F에서 이상적이며, F/I는 실제 숫자 R에 대해 이형이다.이형성(異形性)은 F의 모든 요소 x에 x의 표준 부분, 즉 x의 소수점 이하에 의해 x와 다른 고유한 실수와 연관시켜 유도된다.실제로, 동일한 결과, 즉 R을 얻는다. 유한 초합성 쌍의 링 F(즉, 초정수 쌍의 비율)로 시작하는 경우, 실제 숫자의 구성을 참조한다.

대체 복합 평면

R[X] / (X), R[X] / (X + 1) 및 R[X] / (X - 1)는 모두 R에 이형성이며 처음에는 거의 관심을 받지 못한다.그러나 R[X] / (X²)는 기하 대수에서는 이중수평면이라고 불린다.X로² R[X]의 원소를 줄인 후 "리메인더"로서 선형 이항체로만 구성된다.이 대체 복합 평면은 대수가 실제 선과 영수를 포함할 때마다 하위 지브라로 발생한다.null

Furthermore, the ring quotient R[X] / (X² − 1) does split into R[X] / (X + 1) and R[X] / (X − 1), so this ring is often viewed as the direct sum R ⊕ R. Nevertheless, an alternative complex number z = x + y j is suggested by j as a root of X² − 1, compared to i as root of X² + 1 = 0.이 분할 복합 숫자의 평면은 대수의 정격이 0에서 단위 거리에 있는 2-공간에 대한 기초 {1, j}을 제공함으로써 직접 합계 R ⊕ R을 정규화한다.이 기준으로 단위 하이퍼볼라를 일반 복합 평면의 단위 원과 비교할 수 있다.null

쿼터니언 및 대안

X와 Y가 비 커밋, 미결정, 자유 대수 R⟨X, Y⟩의 두 개라고 가정하자.그러면 해밀턴의 1843년의 쿼터는 로 캐스팅될 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {R} \langle X,Y\rangele /(X^{2}+1,Y^{2}+1,XY+)YX).}$

Y² - 1을 Y² + 1로 대체하면 분할 쿼터 링을 얻는다.2차 이항 분기의 플러스 마이너스 값을 대입하면 분할 분기도 발생한다.반선호도 속성 YX = -XY는 XY가 제곱과 같음을 의미한다.

(XY)(XY) = X(YX)Y = −X(XY)Y = −XXYY = -1.

또한 세 가지 유형의 바이쿼터니온은 세 개의 불연속 R⟨X, Y, Z⟩과 함께 자유대수를 사용하여 적절한 이상을 구성함으로써 인용문으로 쓸 수 있다.null

특성.

분명히, R이 교감 고리라면 R/I도 마찬가지일 것이다; 그러나 그 반대는 일반적으로 사실이 아니다.null

자연적 지수 p는 I을 그것의 커널로 가지고 있다; 모든 고리 동형성의 커널은 양면 이상이기 때문에, 우리는 양면 이상이 정확히 고리 동형성의 커널이라고 말할 수 있다.null

링 동형성, 커널, 지수 링 사이의 친밀한 관계는 다음과 같이 요약할 수 있다: R/I에 정의된 링 동형성은 I에 소멸(즉, 0)된 R에 정의된 링 동형성과 본질적으로 동일하다.더 정확히 말하면, R의 양면 이상 I과 커널이 I을 포함하는 고리 동형성 f : R → S를 고려할 때, gp = f와 함께 정확히 하나의 고리 동형성 g : R / I → S가 존재한다(여기서 p는 자연적 몫의 지도다).여기서 지도 g는 모든 a in R에 대해 잘 정의된 규칙 g([a] = f(a)에 의해 주어진다.실제로, 이 보편적 특성은 반지와 그들의 자연적 반지를 정의하는 데 사용될 수 있다.null

위와 같은 결과로서 기본적인 진술을 얻는다: 모든 고리 동형성 f : R → S는 지수 고리 R / ker(f)와 이미지 im(f) 사이에 고리 이형성을 유도한다.(동형성에 대한 기본 정리도 참조)null

R과 R / I의 이상은 밀접하게 관련되어 있다: 자연적 지지도는 I를 포함하는 R의 양면 이상과 R/I의 양면 이상(좌측과 우측 이상도 마찬가지) 사이에 편견을 제공한다.This relationship between two-sided ideal extends to a relationship between the corresponding quotient rings: if M is a two-sided ideal in R that contains I, and we write M / I for the corresponding ideal in R / I (i.e. M / I = p(M)), the quotient rings R / M and (R / I) / (M / I) are naturally isomorphic via the (well-defined!) mapping a + M ↦ (a + I) + M / I.

다음과 같은 사실들이 교환 대수학 및 대수학 기하학에서 유용함을 증명한다: R ≠ {0} 교호작용에 대해 R / I는 최대 이상일 경우에만 필드인 반면, R / I는 원시 이상일 경우에만 통합 도메인이다.다수의 유사한 문장은 이상적인 I의 속성과 지수 R/I의 속성에 관련된다.

중국의 나머지 정리는 이상 I가 쌍방향 복사 이상 I₁, ...의_k 교차점(또는 동등하게, 생산물)이라면, 그 다음, 지수 링 R/I는 지수 링 R/I_n, n = 1, ..., k의 곱에 이형체라고 기술하고 있다.

알헤브라가 링 위에 있는 경우

교감 고리 R에 대한 연관 대수 A는 고리 그 자체다.만일 내가 A(R-배열에 따라 닫힘)에서 이상이라면, A/I는 R보다 대수 구조를 계승하며, 지수 대수다.null

참고 항목

• 연관 그라데이션 링
• 잔류장
• 골디의 정리
• 지수 모듈

메모들

추가 참조사항

• F. Kasch (1978) Moduln und Ringe (1982) DAR Wallace (1982) Modulen and Ringes (1982) Modulen and Ringes (1982) Modulen and Ringes (1982) Modulen and Ringe
• Neal H. McCoy (1948) 반지와 이상, §13 잔류물 클래스 링, 61페이지, Carus Mathematical Monographs #8, Mathematical Association of America.
• Joseph Rotman (1998). Galois Theory (2nd edition). Springer. pp. 21–3. ISBN 0-387-98541-7.
• 뉴욕 주 프레드릭 언가 출판사 프레드블럼과 존 R 슐렌버거가 번역한 B.L. 반 데어든(1970) 대수학.3.5장 "이상"을 참조하십시오.레거시 클래스 링" 47페이지에서 51페이지까지

외부 링크

• "Quotient ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• John Beachy의 추상 대수 온라인에서 나온 이상과 요인 고리