초월도
Transcendence degree| 대수구조 → 링 이론 링 이론 |
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추상 대수학에서 장 확장자 L/K의 초월 정도는 확장의 "크기"에 대한 다소 거친 측정이다.구체적으로는 K에 대한 L의 대수적으로 독립적인 부분집합에서 가장 큰 카디널리티로 정의된다.
L의 부분집합 S는 K에 대해 대수적으로 독립되어 있고, 나아가 L이 필드 K(S)의 대수적 확장(S에서 K까지의 원소를 결합하여 얻은 필드)인 경우 L / K의 초월적 기초가 된다.모든 필드 익스텐션에는 초월성 기반이 있으며, 모든 초월성 베이스는 동일한 카디널리티를 가지고 있다는 것을 보여줄 수 있다. 이 카디널리티는 익스텐션의 초월성과 동일하며 트리그K L 또는 트리그(L / K)로 표시된다.null
필드 K가 지정되지 않은 경우 필드 L의 초월도는 동일한 특성의 프라임 필드에 상대적인 정도, 즉 L이 특성 0이면 합리수 필드 Q, 특성 p이면p 유한 필드 F이다.null
필드 확장자 L / K는 K에 대해 대수적으로 독립된 L의 부분 집합 S가 있고 L = K(S)가 있다면 순전히 초월적이다.null
예
- 그 초월도가 0인 경우에만 연장은 대수학이다. 빈 집합은 여기서 초월적 기초의 역할을 한다.
- n 변수 K(x1,...,xn)의 합리적 함수 분야는 K에 대한 초월도 n을 갖는 순전히 초월적 확장이다. 예를 들어 {x1, ...,xn}을(를) 초월적 기준으로 삼을 수 있다.
- 보다 일반적으로 지상장 K에 대한 n차원 대수적 다양성의 함수장 L의 초월도는 n이다.
- Q(√2, e)는 √2는 대수학이고 e는 초월이기 때문에 Q에 대한 초월도 1을 갖는다.
- Q에 대한 C나 R의 초월도는 연속체의 카디널리티다.(Q는 그 자체로 카운트할 수 있기 때문에, 어떤 원소든 Q에는 카운트할 수 있는 대수적 요소만 있기 때문에, 이는 다음과 같다.)
- Q에 대한 Q(e, π)의 초월도는 1이나 2 중 하나이며, e와 algebra이 대수적으로 독립되어 있는지 알 수 없기 때문에 정확한 답은 알 수 없다.
- S가 콤팩트한 리만 표면인 경우, S에 있는 용적함수의 필드 C(S)는 C에 대한 1도 이상의 초월도를 갖는다.
벡터 공간 치수와 유사
벡터 공간 차원 이론과 유사성이 있다.이 비유는 대수적으로 독립된 집합과 선형적으로 독립된 집합과 일치한다; S는 스패닝 집합이 있는 K(S)보다 L이 대수적으로, 베이스가 있는 초월성 베이스, 차원과의 초월성 정도를 설정한다.초월적 기초가 항상 존재한다는 사실(선형대수학에서는 항상 기초가 존재한다는 사실처럼)은 선택의 공리를 필요로 한다.어떤 두 개의 베이스가 동일한 카디널리티를 가지고 있다는 증거는 각각의 설정에서 교환 보조정리기에 달려있다.[1]null
이러한 비유는 벡터 공간의 선형 독립성과 필드 확장의 대수적 독립성 둘 다 각각 선형 매트로이드와 대수적 매트로이드라고 불리는 매트로이드의 예를 형성한다는 것을 관찰함으로써 보다 공식화할 수 있다.따라서 초월도는 대수적 매트로이드의 순위함수다.모든 선형 매트로이드는 대수 매트로이드에 이형성이지만 그 반대의 경우도 아니다.[2]null
사실들
M/L이 필드 확장이고 L/K가 다른 필드 확장인 경우, M/K의 초월도는 M/L과 L/K의 초월도 합계와 같다.이것은 M/L과 L/K 중 하나의 초월적 기준의 결합을 취함으로써 M/K의 초월적 기준을 얻을 수 있다는 것을 보여줌으로써 증명된다.
적용들
초월 기반은 필드 동형성에 대한 다양한 존재 진술을 증명하는 유용한 도구다.예를 들어, 대수학적으로 폐쇄된 필드 L, 하위 필드 K 및 필드 오토모르프 f를 고려할 때, F(즉, K에 대한 제한이 f인 필드 오토모프리즘)가 확장되는 L의 필드 오토모프리즘이 존재한다.그 증명에 대해서는 L / K의 초월적 기준 S로 시작한다.K(S)의 원소는 K에 계수가 있는 S의 원소에 있는 다항식의 인수에 불과하므로, 자동형 f는 S의 모든 원소를 그 자체로 전송함으로써 K(S) 중 하나로 확장될 수 있다.필드 L은 K(S)의 대수적 폐쇄로, 대수적 폐쇄는 이소모르피즘에 따라 고유하다. 이는 자동형성을 K(S)에서 L(L)로 더욱 확장할 수 있다는 것을 의미한다.
또 다른 애플리케이션으로서, 우리는 (필드로) C와 이형인 (많은) 복합수 필드 C의 적절한 하위 필드가 있음을 보여준다.그 증거로 C/Q의 초월적 기준 S를 취하라. S는 무한( 심지어 셀 수 없는) 집합이므로 주입적이지만 굴절적이지 않은 (많은) 지도 f: S → S가 존재한다.그러한 지도는 어떤 필드 동형성 Q(S) → Q(S)까지 확장될 수 있으며, 이는 굴절적이지 않다.그러한 전계 동형성은 차례로 대수적 폐쇄 C까지 확장될 수 있으며, 결과 전계 동형성 C → C는 굴절적이지 않다.null
초월도는 밭의 크기를 직관적으로 이해할 수 있다.예를 들어, 시겔에 의한 정리는 X가 치수 n의 콤팩트하고 연결되고 복잡한 다지관이고 K(X)가 그 위에 있는 (광학적으로 정의된) 용적함수의 장을 나타낸다면, trdegC(K(X) ≤ n을 나타낸다고 명시한다.
참조
- ^ 제임스 S. Milne, Fields and Galois 이론, 페이지 100-101.
- ^ Joshi, K. D. (1997), Applied Discrete Structures, New Age International, p. 909, ISBN 9788122408263.
