환원반지

수학의 한 분야인 링 이론에서, 링은 0이 아닌 영점 원소가 없다면 축소 링이라고 불린다.이와 동등하게, 사각형 0이 아닌 원소가 없으면 링이² 감소한다. 즉, x = 0은 x = 0은 x = 0을 의미한다.교환 링 위에 있는 정류 대수학(communative greatory)은 그 기본 링이 줄어들면 줄어든 대수학(reclosed greatory)이라고 불린다.

교감 링 R의 영점 원소는 R의 영점이라고 불리는 R의 이상을 형성한다. 따라서 교감 링은 그 영점 원소가 영(0)인 경우에만 감소한다.더욱이 모든 주요 이상에 포함된 원소가 0인 경우에만 상호 작용 링이 감소한다.

내가 급진적인 이상일 경우에만 지수 링 R/I가 감소한다.

D를 감소된 링 R에 있는 모든 제로 디비저의 집합으로 두십시오.그렇다면 D는 모든 최소의 프라임 이상들의 결합이다.^[1]

Over a Noetherian ring R, we say a finitely generated module M has locally constant rank if ${\mathfrak {p}}\mapsto \operatorname {dim} _{k({\mathfrak {p}})}(M\otimes k({\mathfrak {p}}))$ is a locally constant (or equivalently continuous) function on Spec R.R은 국소 상수 등급의 모든 모듈을 투영하는 경우에만 감소한다.^[2]

예시 및 비예시

서브링, 제품, 감소된 링의 국소화는 다시 감소된 링이다.
정수 Z의 링은 축소된 링이다.한 필드 위에 있는 모든 필드 및 모든 다항식 링(임의적으로 많은 변수에서)은 축소된 링이다.
보다 일반적으로, 영점 원소는 0분위 원소이기 때문에 모든 필수 영역은 감소된 고리다.반면에, 모든 축소된 링이 필수적인 영역은 아니다.예를 들어, 링 Z[x, y]/(xy)는 0-divisor로 x + (xy)와 y + (xy)를 포함하지만 0이 아닌 nilpotent 요소는 포함하지 않는다.또 다른 예로서, 링 Z × Z는 (1, 0)과 (0, 1)을 영분할로 포함하지만, 0이 아닌 영분할 원소는 포함하지 않는다.
링 Z/6Z는 감소하지만 Z/4Z는 감소하지 않는다.클래스 2 + 4Z는 영점이다.일반적으로 z/nZ는 n = 0 또는 n이 제곱이 없는 정수인 경우에만 감소한다.
만약 R이 정류 링이고 N이 R의 nilradical이라면, 지수 R/N은 감소한다.
일부 소수 p에 대한 특성 p의 정류 링 R은 그것의 프로베니우스 내형성이 주입된 경우에만 감소한다(cf).완벽한 필드.)

일반화

환원반지는 대수 기하학에서 기본적인 역할을 하는데, 여기서 이 개념은 환원된 계략의 개념으로 일반화된다.

참고 항목

총 지수 링#환원 링의 총 분수 링

메모들

^ 증명: p ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\$ 을(를) 최소의 프라임 이상(약 0)으로 ${\mathfrak {p}}_{i}$ 두십시오.
$D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:$ $D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:$ $D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:$ $D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:$ $D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:$ : ${\displaystyle D\subset \cupple$ {\ $mathfrak {p}{$ i $}}}}$ x를 D에 두십시오 $D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:$ .그런 다음 0이 아닌 y의 경우 xy = 0.Since R is reduced, (0) is the intersection of all ${\mathfrak {p}}_{i}$ and thus y is not in some ${\mathfrak {p}}_{i}$ . Since xy is in all ${\mathfrak {p}}_{j}$ ; in particular, in ${\mathfrak {p}}_{i}$ , x is in ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\$

$D\supset {\mathfrak {p}}_{i}:$ $D\supset {\mathfrak {p}}_{i}:$ p $D\supset {\mathfrak {p}}_{i}:$ : ${\displaystyle D\supset {\mathfrak {p}_{i}}}($ 카플란스키에서 온 스톨렌, 정류 링, 정리 84).우리는 첨자 i를 떨어뜨린다.Let $S=\{xy x\in R-D,y\in R-{\mathfrak {p}}\}$ . S is multiplicatively closed and so we can consider the localization $R\to R[S^{-1}]$ . Let ${\mathfrak {q}}$ be the pre-image of a maximal ideal.그러면 ${\mathfrak {q}}$ ${\$ {q $}}$ 은 ${\mathfrak {p}}$ (는) D 및 ${\mathfrak {p}}$ ${\$ 에 모두 포함되며 ${\mathfrak {q}}$ 최소성 ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}$ = ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}$ ${\$ (R이 관련 프리타임 이론에 의해 노메테리아인 경우 이 방향은 즉시)이다.)
^ 아이젠버드, 연습 20.13.

참조

N. 부르바키, 공동 대수학, 헤르만 파리 1972, 채프II, § 2.7
N. 부르바키, 대수학, 스프링거 1990, 채프V, § 6.7
아이젠버드, 데이비드, 대수기하를 향한 관점을 가진 정류 대수학, 수학의 대학원 본문, 150, 스프링거-베를라크, 1995, ISBN 0-387-94268-8.

[1] 증명: p ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\$ 을(를) 최소의 프라임 이상(약 0)으로 ${\mathfrak {p}}_{i}$ 두십시오.
$D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:$ $D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:$ $D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:$ $D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:$ $D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:$ : ${\displaystyle D\subset \cupple$ {\ $mathfrak {p}{$ i $}}}}$ x를 D에 두십시오 $D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:$ .그런 다음 0이 아닌 y의 경우 xy = 0.Since R is reduced, (0) is the intersection of all ${\mathfrak {p}}_{i}$ and thus y is not in some ${\mathfrak {p}}_{i}$ . Since xy is in all ${\mathfrak {p}}_{j}$ ; in particular, in ${\mathfrak {p}}_{i}$ , x is in ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$ ${\$

$D\supset {\mathfrak {p}}_{i}:$ $D\supset {\mathfrak {p}}_{i}:$ p $D\supset {\mathfrak {p}}_{i}:$ : ${\displaystyle D\supset {\mathfrak {p}_{i}}}($ 카플란스키에서 온 스톨렌, 정류 링, 정리 84).우리는 첨자 i를 떨어뜨린다.Let $S=\{xy x\in R-D,y\in R-{\mathfrak {p}}\}$ . S is multiplicatively closed and so we can consider the localization $R\to R[S^{-1}]$ . Let ${\mathfrak {q}}$ be the pre-image of a maximal ideal.그러면 ${\mathfrak {q}}$ ${\$ {q $}}$ 은 ${\mathfrak {p}}$ (는) D 및 ${\mathfrak {p}}$ ${\$ 에 모두 포함되며 ${\mathfrak {q}}$ 최소성 ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}$ = ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}$ ${\$ (R이 관련 프리타임 이론에 의해 노메테리아인 경우 이 방향은 즉시)이다.)

[2] 아이젠버드, 연습 20.13.

[1]

[2]

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