코호몰로지 링

수학, 특히 대수적 위상에서 위상학적 공간 X의 코호몰로지 링은 X의 코호몰로지 그룹에서 링 곱셈의 역할을 하는 컵 제품과 함께 형성된 링이다.여기서 '동호학'은 보통 단수동호학으로 이해되지만, 고리 구조는 드 람동호학과 같은 다른 이론에도 존재한다.그것은 또한 functorial이다: 공간의 연속적인 매핑을 위해 사람들은 반비례적인 공동동형학 고리에 고리 동형성을 얻는다.

구체적으로, X에 계수(일반적으로 R은 Z_n, Z, Q, R, C)를 갖는 공동호몰로지 그룹 H^k(X;R)의 순서에 따라 컵 제품을 정의할 수 있으며, 컵 제품은 형태를 취한다.

${\displaystyle H^{k}(X;R)\time H^{\\el }(X;R)\to H^{k+\ell }(X;R).}$

컵 제품은 코호몰로지 그룹의 직접 합계에 대한 곱셈을 제공한다.

${\displaystyle H^{\bullet }(X;R)=\bigoplus _{k\in \mathb {N}}}H^{k}(X;R).}$

이 곱셈은 H^•(X;R)를 고리로 바꾼다.사실, 그것은 자연스레 음이 아닌 정수 k가 학위 역할을 하는 N-graded 링이다.컵 제품은 이 등급을 존중한다.

코호몰로지 링은 컵 제품이 등급에 의해 결정되는 부호까지 통한다는 의미에서 등급으로 분류된다.특히, 도 k와 ℓ의 순수한 원소들에 대해서는; 우리는

${\displaystyle(\displaystyle)(\cHB ^{k}\displaystyle \dll }=(-1)^{k\ell }(\cHB ^{\ell }\reason \bea \cHB}).}$

코호몰로지 링에서 파생된 숫자 불변제는 컵 길이인데, 이는 곱하면 0이 아닌 결과를 주는 ≥ 1의 등급화된 원소의 최대 수를 의미한다.예를 들어, 복잡한 투영 공간은 그것의 복잡한 치수와 같은 컵 길이를 가지고 있다.

예

• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]/(\alpha ^{n+1})}$ where ${\displaystyle \alpha =1}$.
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{\infty };\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]}$ where ${\displaystyle \alpha =1}$.
• Künneth 공식에 따르면, R ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$$∞{\$의 n개 복사본으로 이루어진 데카르트 제품의 mod 2 코호몰로지 링은 $F{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ 2 ${\$$_{2$}}의 계수를 갖는 n개 변수들의 다항 링이다$$.

참고 항목

• 양자 코호몰로지

참조

• Novikov, S. P. (1996). Topology I, General Survey. Springer-Verlag. ISBN 7-03-016673-6.
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.