일반 로컬 링

정류 대수학에서 정규 국부 링은 그 최대 이상적 생성자의 최소 수가 크롤 치수와 같다는 특성을 가진 노메테리아 지방 링이다.^[1]기호에서 A는 최대 이상 m을 가진 노메테리아 지역 링이 되도록 하고, a는₁_n m의 최소 발전기 집합이라고 가정한다.그 후 크룰의 주된 이상적 정리 n ≥ 딤 A에 의해, n = 딤 A일 경우 규칙적으로 A로 정의된다.

호칭규칙은 기하학적 의미에 의해 정당화된다.대수적 품종 X의 점 x는 x에 있는 세균의 ${\mathcal {O}}_{X,x}$ 국소 링 ${\mathcal {O}}_{X,x}$ ${\mathcal {O}}_{X,x}$ , ${\mathcal {O}}_{X,x}$ ${\$ 이 정규인 경우에만 비논리적이다.(일반 구성표 참조)정기적인 지역 고리는 폰 노이만 일반 고리와 관련이 없다.^[a]

노메테리아 지방 고리의 경우 다음과 같은 포함 사슬이 있다.

보편적으로 코헨-맥컬레이 링 고렌슈타인 링 고렌슈타인 링 고렌스테인 링 완전 교차 링 regular 일반 지역 링

특성화

일반 지역 링에는 여러 가지 유용한 정의가 있는데, 그 중 하나는 위에 언급되어 있다.특히 $A$ $A$ 이(가) 최대 이상 ${\mathfrak {m}}$ ${\$ 을 ${\mathfrak {m}}$ 를) 가진 노메트리안 로컬 링이라면 $A$ 다음은 동등한 정의다.

${\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ = ${\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ( ${\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ , ${\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ) ${\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ {\ $displaystyle {\mathfrak{m}=(a_{1},\ldots ,a_{n}}$ 을(를) 두십시오. 여기서 ${\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ $n$ ${\displaystyn n}$ 은(를 $n$ ) 최대한 작게 선택하십시오.그렇다면 $A$ 과 같은경우 A {\ $displaystyle$ A}이 $($ 가) 일반적임 $A$

{\mbox{dim }}A=n\,

{\mbox{dim }}A=n\,

=

{\mbox{dim }}A=n\,

{\

여기서 치수는 Krull 치수다.

a_{1},\ldots ,a_{n}

,

a_{1},\ldots ,a_{n}

…

a_{1},\ldots ,a_{n}

,

a_{1},\ldots ,a_{n}

{\

의 최소 생성자 집합을 매개 변수의 정규 시스템이라고 한다

a_{1},\ldots ,a_{n}

.

$k=A/{\mathfrak {m}}$ = $k=A/{\mathfrak {m}}$ / $k=A/{\mathfrak {m}}$ m {\ $displaystyle k=$ A/{\ $mathfak{m}}}$ 을 $k=A/{\mathfrak {m}}$ (를) $A$ 의 $잔여$ 필드로 한다 $A$ 그렇다면 $A$ $A$ 은(는) 정규적이다 $A$ .

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,

/

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,

2

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,

=

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,

mathfrak{

m}/{\mathfrak{m}^{2}=\dim

A

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,

여기서 두 번째 차원은 Krull 차원이다.

Let ${\mbox{gl dim }}A:=\sup\{{\mbox{pd }}M{\mbox{ }} {\mbox{ }}M{\mbox{ is an }}A{\mbox{-module}}\}$ be the global dimension of $A$ (i.e., the supremum of the projective dimensions of all $A$ -modules.) 그러면 다음과 $같은$ 경우 A {\ $displaystyle$ A}이(가 $)$ 일반임 $A$

{\mbox{gl dim }}A<\infty \,

{\mbox{gl dim }}A<\infty \,

<

{\mbox{gl dim }}A<\infty \,

{\

displaystyle {\mbox{gl dim }A<\inful

{\mbox{gl dim }}A<\infty \,

이 경우

{\mbox{gl dim }}A=\dim A

{\mbox{gl dim }}A=\dim A

=

{\mbox{gl dim }}A=\dim A

{\mbox{gl dim }}A=\dim A

{\mbox{gl dim }}A=\dim A

{\displaystyle {\mbox{gl dim }}A=\dim A

Multiplicity 한 기준 주:[2]이Noetherian 지역 링 A의 완성은unimixed(감각은 0이상이 포함된 소인수고 각 최소 주요 p에서 희미한 ⁡ ^/p)희미한 ⁡ ^{\displaystyle \dim{\widehat{A}}/p=\dim{\widehat{A}}})과 A의 다양성은 단 하나, 그때 A 는정칙의(반전은 항상 진실이다: 일반 국소고리의 다중성은 1이다.)이 기준은 교차점이 횡단 교차점인 경우에만 교차점의 국부 링이 규칙적이라는 대수 기하학 기하학상의 기하학적 직관에 해당한다.

긍정적인 특성 사례에서는 쿤츠로 인한 다음과 같은 중요한 결과가 있다.프로베니우스 모피즘 $R\to R,r\mapsto r^{p}$ → R $R\to R,r\mapsto r^{p}$ $r$ r $R\to R,r\mapsto r^{p}$ ${\$ displaystyle $R$ $}$ 이(가) $R$ 하고 $R\to R,r\mapsto r^{p}$ $R$ $r^{p$ 이 $R$ (가) 축소된 경우에만 양성 특성 p의 $R$ 노메테리아 로컬 링 $R$ ${\$ $displaystysty R}$ 이(가)가 정규화된다.특성 0에서는 유사한 결과가 나오지 않는다(프로베니우스를 어떻게 대체할 것인가가 불분명하다는 이유만으로).

예

모든 들판은 평범한 지역 반지 입니다.이것들은 (Krull) 치수 0을 가지고 있다.사실, 그 들판은 정확히 치수 0의 정규 국소 고리들이다.
모든 이산 평가 링은 차원 1의 일반 국부 링이며 차원 1의 일반 국부 링은 정확히 이산 평가 링이다.구체적으로는 k가 필드이고 X가 불확실한 경우 공식 파워시리즈 k[X]의 링은 (Krull) 차원 1을 갖는 일반 로컬 링이다.
p가 일반적인 소수인 경우 p-adic 정수 링은 이산 평가 링의 예로서, 결과적으로 필드를 포함하지 않는 일반 국소 링이다.
보다 일반적으로 k가 필드이고 X₁, X₂, ..., X가_d 불연속인 경우, 공식 파워 시리즈 k[X₁₂, X, ..., X_d]의 링은 (Krull)차원 d를 갖는 일반 로컬 링이다.
A가 일반 로컬 링이라면, 공식 파워 시리즈 링 A[x]가 일반 로컬 링인 것이다.
Z가 정수의 링이고 X가 불확실한 경우, Z[X](_{(2, X)}즉, 원시 이상(2, X)에서 국소화된 링 Z[X]는 필드를 포함하지 않는 2차원 일반 국소 링의 예다.
어빈 코헨의 구조 정리로는 크룰 치수 d의 완전한 등가균성 정규 국소 링과 필드가 포함된 것이 들판 위에 있는 파워 시리즈 링이다.

비예시

링 $A=k[x]/(x^{2})$ = $A=k[x]/(x^{2})$ [ $A=k[x]/(x^{2})$ $A=k[x]/(x^{2})$ / $A=k[x]/(x^{2})$ ( $A=k[x]/(x^{2})$ $A=k[x]/(x^{2})$ ) ${\displaystyle A=k[x]/(x^{2})$ 는 크기가 유한하지만 글로벌 치수가 유한하지 않기 때문에 일반 로컬 링이 아니다 $A=k[x]/(x^{2})$ .예를 들어, 무한한 해상도가 있다.

\cdots {\xrightarrow {\cdot x}{{k[x]}}}{\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}}}}}}}\to k\to 0

Using another one of the characterizations,

A

has exactly one prime ideal

{\mathfrak {m}}={\frac {(x)}{(x^{2})}}

, so the ring has Krull dimension

0

, but

{\mathfrak {m}}^{2}

is the zero ideal, so

{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}

{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}

{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}

{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}

{\

k

{\displaystyle

k}

치수가

k

적어도

{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}

1

{\displaystyle

1

1

. (

x+{\mathfrak {m}}

x +

{\

이 기본이기

x+{\mathfrak {m}}

1

에

1

1

{\

displaystystystysty}과 동일

)

기본 속성

아우슬란더-뷔흐스바움 정리는 모든 규칙적인 국부 링은 고유한 요소화 영역이라고 명시하고 있다.

일반 지역 반지의 모든 국산화 작업은 규칙적이다.

일반 지방반지의 완성은 규칙적이다.

$(A,{\mathfrak {m}})$ $(A,{\mathfrak {m}})$ , $(A,{\mathfrak {m}})$ ) ${\displaystyle(A,{\mathfrak{m})$ 이 $(A,{\mathfrak {m}})$ 필드를 포함하는 완전한 일반 로컬 링인 경우

A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]

A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]

A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]

[

A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]

x

A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]

,

A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]

…

A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]

,

A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]

A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]

A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]

{\displaystyle A\cong

k

[[x_{1},\ldots ,x_{d

여기서 $k=A/{\mathfrak {m}}$ = $k=A/{\mathfrak {m}}$ / m ${\$ 는 $k=A/{\mathfrak {m}}$ 잔류장이고, $d=\dim A$ = $d=\dim A$ dim $d=\dim A$ ${\displaystyle$ d $=\dim$ A $},$ Krull 치수 $d=\dim A$

참고 항목:세레의 키에 대한 불평등과 세레의 다중성 추측.

기본 개념의 기원

규칙적인 지역반지는 원래 1937년 볼프강 크롤에 의해 정의되었지만,^[3] 몇 년 후 오스카 자리스키의 작품에서 처음으로 두각을 나타냈는데,^[4]^[5] 기하학적으로 정규 지역반지는 대수학적 다양성의 매끄러운 점에 해당한다는 것을 보여주었다.Y를 완벽한 영역에 걸쳐 아핀 n 공간에 포함된 대수적 품종으로 하고 Y가 다항식 f₁,...,f_m. Y가 Jacobian 조건을 만족한다면 Y는 P에서 비정형이라고 가정한다.M = ( (f_i/∂x_j)이 품종의 정의 방정식의 부분파생물의 행렬인 경우, P에서 M을 평가하여 찾은 행렬의 순위는 n - dim Y이다. 자리스키는 P에서 Y의 국부 링이 규칙적인 경우에만 P에서 Y가 비정음계임을 증명했다.(자리스키는 이것이 완벽하지 않은 필드를 페일오버할 수 있다는 것을 관찰했다.)이것은 부드러움이 품종의 본질적 속성이라는 것을 암시하는데, 다시 말해 품종이 부속 공간에 어디에 어떻게 내장되어 있느냐에 따라 달라지지 않는다는 것이다.또한 일반 국소고리는 좋은 성질을 가져야 한다고 제안하지만, 호몰로지 대수에서 기법이 도입되기 전에는 이 방향에서 거의 알려지지 않았다.1950년대에 이런 기술이 도입되자 아우슬란더와 벅스바움은 모든 일반 지역 고리가 고유한 요소화 영역임을 증명했다.

기하학적 직관에 의해 제안된 또 다른 특성은 일반 국부 반지의 국산화도 다시 규칙적이어야 한다는 것이다.다시 말하지만, 이것은 동질적 기법의 도입까지 미해결 상태로 놓여 있었다.장 피에르 세레(Jean-Pierre Serre)는 일반 지역 반지의 동질적 특성을 발견했다.국부 링 A는 A가 한정된 글로벌 치수(즉, 모든 A-모듈이 유한한 길이의 투사 분해능을 갖는 경우)를 가지는 경우에만 정규 링이다.한정된 글로벌 차원을 갖는 특성이 현지화 하에서는 보존되고 있으며, 그 결과 프라임 이상에서 정기적인 지역 고리의 지역화가 다시 규칙적이라는 것을 쉽게 보여줄 수 있다.

이는 다음 절에 제시된 비 국부적 교환 링에 대한 규칙성의 정의를 정당화한다.

일반 반지

정류 대수학에서, 정규 링은 정류형 노메테리아 링으로, 모든 주요 이상에서 국산화란 규칙적인 국소 링이다. 즉, 그러한 국소화는 그 최대 이상에서 발생기의 최소 수가 크롤 치수와 같다는 속성을 가지고 있다.

정규반지라는 용어의 유래는 규칙적인 기능의 링이 규칙적인 경우에만 아핀 품종이 비정규어(모든 포인트가 규칙적)라는 사실에 있다.

일반 링의 경우 Krull 치수는 글로벌 호몰로지 치수와 일치한다.

장 피에르 세레는 일반 반지를 유한한 지구적 동질성의 상호 작용 노메트리안 반지라고 정의했다.그의 정의는 무한 크룰 차원의 규칙적인 고리를 허용하는 위의 정의보다 더 강하다.

일반 링의 예로는 (차원 0) 필드와 디데킨드 도메인이 있다.A가 규칙적인 경우 A[X]도 A보다 치수 1이 큰 A[X]도 그렇다.

특히 $k$ 가 필드, 정수 링 또는 주 이상 영역인 경우 다항식 $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ k $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ [ $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ , $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ … , $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ X $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ 이(가) 정규적이다 $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ .필드의 경우, 이것이 힐베르트의 시지 정리다.

일반 반지의 국산화도 규칙적이다.

일반 링은 줄어들지만^[b] 필수 영역이 될 필요는 없다.예를 들어, 두 개의 정규 통합 도메인의 제품은 정규적이지만 통합 도메인은 아니다.^[6]

참고 항목

기하학적 정규 링

메모들

^ 지역 폰 노이만 정규반지는 사단반지여서 두 조건이 그다지 맞지 않는다.
^ 반지는 최상의 이상에서 지역화가 이루어져야만 감소하기 때문이다.

인용구

^ 아티야 & 맥도날드 1969, 페이지 123, 정리 11.22.
^ 헤르만, M, S이케다, 그리고 U. Orbanz:등극성과 블로킹 업.B에 의한 부록에 의한 대수학 연구문엔.1988년 베를린 하이델베르크 뉴요크 스프링거 베를라크.정리 6.8.
^ Krull, Wolfgang (1937), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III", Math. Z.: 745–766, doi:10.1007/BF01160110
^ Zariski, Oscar (1940), "Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0", Amer. J. Math., 62: 187–221, doi:10.2307/2371447
^ Zariski, Oscar (1947), "The concept of a simple point of an abstract algebraic variety", Trans. Amer. Math. Soc., 62: 1–52, doi:10.1090/s0002-9947-1947-0021694-1
^ 도메인에서 일반 링임

참조

Atiyah, Michael F.; Macdonald, Ian G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, MR 0242802
쿤즈, 특징 p의 일반 국소고리의 특성화.아머. J. 수학 91번(1969), 772–784.
Tsit-Yuen Lam, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-1-4612-0525-8 모듈 및 반지에 대한 강의.제5장 G.
장-피에르 세레, 지역 대수학, 스프링거-베를라크, 2000, ISBN 3-540-66641-9채프디
스택 프로젝트의 일반 링

[2] 지역 폰 노이만 정규반지는 사단반지여서 두 조건이 그다지 맞지 않는다.

[7] 반지는 최상의 이상에서 지역화가 이루어져야만 감소하기 때문이다.

[FOOTNOTEAtiyahMacdonald1969123Theorem_11.22-1] 아티야 & 맥도날드 1969, 페이지 123, 정리 11.22.

[3] 헤르만, M, S이케다, 그리고 U. Orbanz:등극성과 블로킹 업.B에 의한 부록에 의한 대수학 연구문엔.1988년 베를린 하이델베르크 뉴요크 스프링거 베를라크.정리 6.8.

[4] Krull, Wolfgang (1937), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III", Math. Z.: 745–766, doi:10.1007/BF01160110

[5] Zariski, Oscar (1940), "Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0", Amer. J. Math., 62: 187–221, doi:10.2307/2371447

[6] Zariski, Oscar (1947), "The concept of a simple point of an abstract algebraic variety", Trans. Amer. Math. Soc., 62: 1–52, doi:10.1090/s0002-9947-1947-0021694-1

[8] 도메인에서 일반 링임

[1]

[a]

[3]

[4]

[5]

[b]

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