분수 이상

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특히 수학에서, 특히 교감대수학에서는, 분수 이상 개념은 적분 영역의 맥락에서 도입되고, 특히 데데킨드 영역의 연구에서는 결실을 맺는다.어떤 의미에서 통합 영역의 분수적 이상은 분모가 허용되는 이상과 같다.분파적 이상과 평범한 고리적 이상이 모두 논의되고 있는 맥락에서 후자는 명료함을 위한 일체적 이상으로 불릴 때가 있다.null

정의 및 기본 결과

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 통합 도메인으로 하고$$, $K{\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{Quot}}$ ${\displaystyle (R}$) ${\displaystyle K={\text{Quot}(R)}$을(를) 분수의 필드로 한다$$.null

A fractional ideal of ${\displaystyle R}$ is an ${\displaystyle R}$-submodule ${\displaystyle I}$ of ${\displaystyle K}$ such that there exists a non-zero ${\displaystyle r\in R}$ such that ${\displaystyle rI\subseteq R}$. The element ${\displaystyle r}$ can be thought of as clearing$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I$의 분모를 제외하여 이름 부분적 이상.null

The principal fractional ideals are those ${\displaystyle R}$-submodules of ${\displaystyle K}$ generated by a single nonzero element of ${\displaystyle K}$. A fractional ideal ${\displaystyle I}$ is contained in ${\displaystyle R}$ if, and only if, it is an ('integral') ideal of ${\displaystyle R}$.

$소수{\displaystyle }$ 이상 I {\$displaystyle I}$이(가$$$)$ 다음과 같은 또 다른 $소수{\displaystyle }$이상 J {\$displaystyle$ J}이$($가) 있는 경우 변환 불가능이라고 불린다$$.

$(\displaystyle IJ=R}$

어디에

${\displaystyle IJ=\{a_{1}b_{1}b_{1}+a_{2}b_{n2}+\cdots +a_{n}b_{n}}:a_{n}\in I,b_{j}\in J,n\in \mathb {Z}_{n_0}\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

두 가지 분파적 이상의 산물이라고 불린다.null

이 경우 소수 이상적 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$은(는) 고유하게 결정되며$$ 일반화된 이상적 지수와 동일하다.

${\displaystyle(R:_{K}I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}}$

불가역적인 분수 이상 집합은 위의 제품에 관하여 아벨 그룹을 형성하는데, 여기서 정체성은 단위 이상$({\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle(1)=R}$ 그 자체다$$.이 집단은 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 분수 이상 집단으로 불린다$.$ 주요 분수 이상은 하위 집단을 형성한다.(비영역) 부분 이상은 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -module로$$ 투영되는 경우에만 되돌릴 수 있다.기하학적으로, 이것은 변환 불가능한 부분적 이상이 부속 체계 ${\displaystyle \text{사양}}$($){\displaystyle{\text{Spec}(R)}$에 걸쳐 1위 벡터 번들로 해석될 수 있다는 것을 의미한다$.$

K의 모든 미세하게 생성된 R-하위절은 부분적인 이상이며, $만약{\displaystyle }$ R ${\displaystyle$R}이$$(가) noetherian이라면 이것들은 모두 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 부분적인 이상이다$.$

디데킨드 도메인

디데킨드 도메인에서 상황은 훨씬 더 간단하다.특히 0이 아닌 모든 분수 이상은 되돌릴 수 없다.실제로 이 속성은 디데킨드 도메인의 특징을 다음과 같이 나타낸다.

정수 도메인은 0이 아닌 모든 분수 이상이 반전 가능한 경우에만 디데킨드 도메인이다.

Dedekind 도메인 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에 대한 부분 이상 집합은$$ ${\displaystyle \text{Div}}$( ${\displaystyle R}$) ${\displaystyle {\textDiv}(R)}$으로 표시된다$.$

주요 부분군 이상에 의한 부분군 이상에 대한 그것의 몫 집단은 이상적인 계급 집단이라고 불리는 데데킨드 영역의 중요한 불변이다.null

수 필드

For the special case of number fields ${\displaystyle K}$ (such as ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$) there is an associated ring denoted ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ called the ring of integers of ${\displaystyle K}$. For example, ${\displaystyle {\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}=\mathbb{Z}[\sqrt{d}]}$$$${\$$displaystyle {\mathcal{O}_{\mathb {Q}({\sqrt{d}})=\mathb {Z}[{\sqrt{d}}}}}$ $d$ $displaystyle$ 2,$3}{\text{\mod}}}}}}}$과 같은 $경우$.이들 링 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$의 주요 속성은 디데킨드 도메인이다.따라서 소수 영역의 정수 링에 대해 분수 이상 이론을 설명할 수 있다.사실, 학급장 이론은 그러한 반지의 집단을 연구하는 학문이다.null

관련 구조물

숫자 필드의 정수^{[1]pg 2}$$ $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$의 경우, 소수 이상 집단은 ${\displaystyle I_{}}$ $K{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$를 나타내는 그룹을 형성하고, 주요$$ 소수 이상 집단은 ${\displaystyle P_{}}$ $K{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\${P$}_{P$}_${K$을 나타낸다.이상적인 계급 집단은 주요한 분수적 이상을 모듈로 하는 분절적 이상 집단이므로,

${\displaystyle {\mathcal{C}_{K}:={\mathcal{I}_{K}/{\mathcal{P}_{K}}}$

and its class number ${\displaystyle h_{K}}$ is the order of the group ${\displaystyle h_{K}= {\mathcal {C}}_{K} }$. In some ways, the class number is a measure for how "far" the ring of integers ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ is from being a unique factorization domain.$이$는 O ${\displaystyle K_{}}$ ${\$이(가) UFD인$$ 경우에만$$ $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle h_{K}=1$}이$($가) 되기 때문이다.null

이상적인 클래스 그룹에 대한 정확한 순서

정확한 순서가 있다.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}_{K}^{*}\to K^{*}\to {\mathcal {I}_{K}\to 0}$

모든 숫자 필드와 연관됨.null

부분적 이상을 위한 구조 정리

숫자 필드의 소수 이상에 대한 중요한 구조 이론 중 하나는 모든 소수 이상 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ I$}$은(는) 주문에 따라 고유하게 분해된다는$$ 것이다.

${\displaystyle I=({\mathfrak{p}_{1}\dots{\mathfrak{p}}}\dots{\mathfrak{q}}}}{-1}:{-1}}}}$

최상의 이상을 위하여.

${\displaystyle {\mathfrak{p}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{q}_{}}$ j ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \text{Spec}}$(${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$) ${\displaystyle {\mathfrak {p}_{i},{\mathfrak {q}_{j}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}_{K$

$O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$의 스펙트럼에서$.$ 예를 들면,

${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \frac{5}{}}$ ${\displaystyle O{\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle Q_{\mathbb{}}}$ $){\$${\displaystyle \mathrm{i}})\}\}\}\}\}\}\}\}{\displaystyle }$ ${\displaystyle 1}$ +${\displaystyle i}$(${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$)${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle 1^{}}$- 1 - 디스플레이 $스타일(1+i)(1+2i$)($1-i)($1-i)($1-i$)($2-i$)(2-i)(2-i)(2-2)(2-2)(2-2)(2-2)(2-2)(2-2)(2-i$)$$^{-1}}$

또한 숫자 필드에 대한 부분적인 이상은 모두 미세하게 생성되기 때문에 이상적인 $J{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \alpha }$을(를) 얻기 위해 일부$$ $[\$$displaystyle$ \alpha }을(를$)$ 곱하여 분모를 클리어할 수 있다$.$ 그러므로

${\displaystyle I={\frac {1}{\alpha }J}$

또 다른 유용한 구조 정리는 적분 이상이 최대 2개의 원소에 의해 생성된다는 것이다.$우리$는 O ${\displaystyle K_{}}$ ${\${\$mathcal{O}_{K}}$ 적분된$$ 부분을 부분적 이상이라고 부른다.null

예

• ${\displaystyle \frac{5}{}}$ ${\displaystyle \frac{4}{}}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$은(는) Z$${\$displaystyle \mathb {Z}$보다 약간 이상적이다$.$
• For ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (i)}$ the ideal ${\displaystyle (5)}$ splits in ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}=\mathbb {Z} [i]}$ as ${\displaystyle (2-i)(2+i)}$

• $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\$${\displaystyle \mathrm{zeta\_}}$${3}}}$에 인자화${\displaystyle }$( ${\displaystyle 3}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\zeta \mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$+ 1${\displaystyle {}^{}}$) 2 ${\$$2}}.$

곱해보면 알 수 있기 때문이다.

${\displaystyle {\jeta _{3}+1)^{2}&=4\zeta _{3}^{2}+4\zeta _{3}+1\&=4(\제타 _{3}^{2}+\jeta _{3}+1\end{ligned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

$\zeta {\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 $\zeta {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle \mathrm{\zeta }}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle \jeta _{3}^{2}+\zeta _{3}=-1}$을 만족하므로$,$ 우리의 인자화는 타당하다.이 요인은 다음 작업을 통해 일반화할 수 있다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle {\displaysty}(n\zeta _{3}+1)^{2}}&=2n\zeta _{3}^{2}+2n\zeta _{3}+1\\&#2n(\제타 _{3}^{2}+\zeta _{3}+\&=1-2n\end{aigned}}}}}}}}}}$

$홀수{\displaystyle }$ 번호 $1{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle 2}$ k ${\displaystyle 1+2k}($k${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- n ${\displaystyle$ k$=-n}$ 포함)$$에 의해 생성된 모든 이상에 대한 인자화 제공.

• $Q{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{23}}$) ${\displaystyle \mathb {Q}({\sqrt{-23})$에서 분수$$ 이상을 곱할 수 있다.

• ${\displaystyle \mathrm{I}}$${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( 2${\displaystyle }$,${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$)${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{23}}$-${\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$)${\displaystyle I=(2,(1/2){\sqrt{-23}-(1/2)}$ 및
• ${\displaystyle J=(4,(1/2){\sqrt{-23}+(3/2)}$

이상을 얻다

${\displaystyle IJ=(-(1/2){\sqrt{-23}-(3/2)}$

분신 이상

Let $I{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$은(는) 0이 아닌 부분 $이상{\displaystyle }$ I ${\displaystyle I$}을(를) 포함하는 모든 주요 부분 이상들의 교차점을 나타낸다$$$.$

동등하게,

${\displaystyle {\tilde{I}=(R:(R:I)),}$

위와 같이

${\displaystyle(R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}}$

${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \stackrel{}{~}}$= I ${\displaystyle {\tilde{I}}=$$I}$ 그러면$$ 나는 점괘라고 불린다.^[2]null

다시 말해, 분점 이상은 일부 비빈 부분적인 주요 이상들의 집합이 0이 아닌 교차점이다.null

만약 내가 분수이고 J가 0이 아닌 분수 이상이라면, (I : J)는 분수 이상이다.null

R을 로컬 Krull 도메인(예: 통합적으로 닫힌 Noetherian 도메인)으로 설정한다.null

R의 최대 이상이 분점일 경우에만 R은 별개의 가치평가 링이다.^[3]null

분신 이상에 대한 상승 체인 조건을 만족시키는 일체형 도메인을 모리 도메인이라고 한다.^[4]null

참고 항목

• 분음면
• 데데킨트쿠머 정리

메모들

참조

• Stein, William, A Computational Introduction to Algebraic Number Theory (PDF)
• 제9장
• 제7장 제1절
• 제11장