총순번

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수학에서 총계 또는 선형 순서는 어떤 두 원소가 비교 가능한 부분 순서다. 즉, 전체 순서는 일부 $집합{\displaystyle }$X {\$displaystyle X}$의 이진 관계 $\le {\displaystyle }$ ${\displaystyle \leq }$이며$,$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a,b}$ 및$$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ c$}$에 대해 다음을 충족한다.

1. $≤[\displaystyle a\leq$ a$}($구체적)
2. ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leq b}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{b<img\; alt="a\backslash leq\; b"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/41558abc50886fdf38817495b243958d7b3dd39b"\; style="vertical-align:\; -0.505ex;\; width:5.326ex;\; height:2.343ex;"\; papago-attr-id="51">}}$ ${\displaystyle \le }$ c ${\displaystyle b\leq c}$인 경우$$, ${\displaystyle \le }$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle a\leq$ c$}($변환)
3. ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leq b}$ 및 $b$ ${\displaystyle \le }$ a ${\displaystyle b\leq a}$인 경우 ${\displaystyle \mathrm{a<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; b\backslash leq\; a\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/d38bff9a811bdd9b92516d9c2694712555b99952"\; style="vertical-align:\; -0.505ex;\; width:5.326ex;\; height:2.343ex;"\; papago-attr-id="56">}}$= b ${\displaystyle a=b}($대칭)
4. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leq$ b$}$ 또는$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b\leq$ a$}($이전까지 연결된 strongly)

총 주문량을 단순 주문,^[1][2] 연결 주문 또는 전체 주문이라고도 한다.^[3]

토탈 오더가 장착된 세트는 완전 오더 세트로서 단순 ^[4]오더 세트,^[1] 선형 오더 세트,^[2][4] 로셋^[5][6] 등의 용어도 사용된다. 체인이라는 용어는 때때로 완전히 순서가 정해진 집합의 동의어로 정의되기도 하지만,^[4] 일반적으로 부분적으로 순서가 정해진 집합의 어떤 종류의 완전 순서가 있는 하위 집합을 가리킨다.

주어진 부분 순서의 전체 순서에 대한 확장을 해당 부분 순서의 선형 확장이라고 한다.

엄격 및 엄격하지 않은 총 주문 수

세트 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 엄격한 전체 순서는 두 요소가 비교 $가능$한 X$${\$displaystyle$ X$}$에 대한 엄격한 부분 순서다. 즉, 전체 순서는 일부 $집합{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$의 이진 관계< ${\displaystyle <}$이며$,$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 $모든{\displaystyle }$ ,${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a,b}$ $및{\displaystyle }$ c$$ ${\displaystyty c}$에 대해 다음을 만족한다$.$

1. $<<<<<$a$>>>>가$ 아니다.
2. ${\displaystyle a<b>$와 ${\displaystyle b<c}$인 경우 < ${\displaystyle a<c}($transpliction)>인 경우.
3. ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\neq b$인 경우 < ${\displaystyle$a$<b}$ <${\displaystyle$b$<a}($연결됨).

각(비정확한) 총 주문 $\le {\displaystyle }$ ${\displaystyle \leq$}에 대해 $\{{\displaystyle }${\$displaystyle \leq$}과(와) 관련된 엄격한 총 주문이라 불리는 관련 관계< ${\displaystyle <}}$이(가) 있다$$ 이$$ 두 가지 동등한 방법으로 정의할 수 있다.

• $a{\displaystyle }$${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leq b}$ 및$$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\neq$ b$}($확률적 감소).
• < b$(\displaystyle a)$ b${\displaystyle (}그렇지$ 않다면$)$ $([\displaystyle b\leq$ a$})$ (즉 <{\$displaystyle <})$는$≤({\displaystyle \leq$})의 반전을 보완한 것이다.$$$$

반대로 엄격한 총주문< ${\displaystyle <}>$의 반사적 폐쇄는 (비강제적) 총주문이다.

예

• 완전히 주문된 집합 X의 하위 집합은 X에 대한 주문 제한에 대해 완전히 주문된다.
• 빈 세트의 고유 순서인 ∅은 총주문이다.
• 모든 기본 번호 또는 순서 번호 집합(더 강하게 말하면, 순서가 잘 되어 있다).
• X가 어떤 세트이고 X에서 완전히 주문된 세트까지 주입 함수가 f인 경우, f(x₁) f f(x₂)인 경우에만 x₁ ≤ x를₂ 설정하여 X에 대한 총 오더를 유도한다.
• 완전히 주문된 세트의 카르트 제품군에서 주문된 사전 순서는 주문된 웰 세트에 의해 색인화된 그 자체로 총 주문이다.
• 통상적인 "보다 작거나 같음" (ㄴ) 또는 "보다 크거나 같음" (ㄴ) 관계에 의해 정렬된 실수의 집합은 완전히 순서화되며, 따라서 자연수, 정수, 합리적인 수의 하위 집합도 순서가 된다. 이들 각각은 특정 재산과 함께 완전히 주문된 집합의 고유한 (주문 이형성까지) "초기적 예"로 보일 수 있다(여기서, 총 주문 A는 재산에 대해 초기 단계로서, 만약 B가 재산을 가질 때마다 A에서 B의 부분 집합까지의 순서가 있는 경우).^{[7][citation needed]}
  • 자연수는 상한이 없는 완전하게 완전하게 정렬된 초기 비빈 집합을 형성한다.
  • 정수는 상한과 하한이 모두 아닌 완전하게 정렬된 초기 세트를 형성한다.
  • 합리적인 숫자는 실제 숫자에 밀도가 높은 초기 완전 순서 집합을 형성한다. 더구나 반사적 감소 <는 이성적인 숫자에 대한 밀도 높은 순서다.
  • 실수는 오더 위상(아래 정의)에 연결된 언바운드되지 않은 전체 오더 세트를 형성한다.
• 순서가 지정된 필드는 정의에 따라 완전히 순서가 정해진다. 그들은 합리적인 숫자와 실제 숫자를 포함한다. 순서가 지정된 모든 필드에는 합리적인 숫자에 대해 이형성이 있는 순서가 지정된 하위 필드가 있다. 모든 데데킨드-완전한 순서 필드는 실제 숫자와 이형성이 있다.
• 표준 사전 순서에 의해 순서가 정해진 알파벳 문자(예: A < B < C 등)는 엄격한 합계 순서다.

체인스

체인이라는 용어는 때때로 완전히 순서가 정해진 집합과 동의어로 정의되기도 하지만, 일반적으로 유도된 순서에 대해 순서가 완전히 순서가 정해진 부분 순서의 하위 집합을 가리키는 데 사용된다.^[8][9] 일반적으로 부분적으로 순서가 지정된 집합의 하위 집합 집합으로, 포함에 의해 순서가 지정되며, 이 용어는 체인 집합의 속성을 명시하는 데 사용된다. 이렇게 중첩된 집합의 수가 많으면 용어의 유용성이 설명된다.

완전히 주문된 하위 세트를 참조하기 위한 체인의 일반적인 예로는 부분적으로 주문된 X의 모든 체인이 X의 상한선을 가지고 있다면, X는 적어도 하나의 최대 요소를 포함하고 있다고 주장하는 Zorn의 보조정리기가 있다.^[10] 조른의 보조정리기는 일반적으로 X가 서브셋의 집합일 때 사용되는데, 이 경우 X에 있는 체인 요소의 결합이 X에 있다는 것을 증명함으로써 상한을 얻는다. 벡터 공간에는 하멜의 기초가 있고 고리는 최대의 이상을 가지고 있다는 것을 증명하기 위해 일반적으로 사용되는 방법이다.

어떤 맥락에서, 고려되는 체인은 그들의 통상적인 순서나 그 반대 순서로 자연 숫자에 이형적인 순서다. 이 경우 체인은 단조 시퀀스로 식별할 수 있으며, 시퀀스가 증가하는지 감소하는지에 따라 오름차순 또는 내림차인으로 불린다.^[11]

부분적으로 주문한 세트는 모든 하강 체인이 결국 안정화되면 하강 체인 조건을 가진다.^[12] 예를 들어, 질서가 하강 체인 조건을 갖는다면 충분히 성립된다. 마찬가지로, 상승 체인 조건은 모든 상승 체인이 결국 안정된다는 것을 의미한다. 예를 들어, 노메테리아 링은 이상이 상승 체인 조건을 만족시키는 링이다.

다른 맥락에서는 유한 집합인 체인만 고려한다. 이 경우, 종종 체인처럼 짧아지는 유한 체인에 대한 한 가지 이야기가 있다. 이 경우 체인의 길이는 체인의 연속된 요소들 사이의 불평등(또는 설정된 포함)의 수, 즉 체인의 요소들 중 하나를 뺀 수이다.^[13] 따라서 싱글톤 세트는 길이 0의 체인이며, 주문한 쌍은 길이 1의 체인이 된다. 공간의 치수는 종종 하위 공간의 체인의 최대 길이로 정의되거나 특징지어진다. 예를 들어 벡터 공간의 치수는 선형 서브 스페이스 체인의 최대 길이이며, 교감 링의 크롤 치수는 원시 이상 체인의 최대 길이이다.

"체인"은 부분적으로 정렬되지 않은 구조물의 전체 정렬 하위 집합에도 사용될 수 있다. 예를 들어 다항식 체인의 규칙적인 체인에 의해 제시된다. 또 다른 예는 그래프에서 걷는 것과 동의어로 "사슬"을 사용하는 것이다.

추가 개념

격자 이론

어떤 사람은 완전히 순서가 정해진 세트를 특정한 종류의 격자, 즉 우리가 가지고 있는 격자로 정의할 수 있다.

${\displaystyle \{}$ a${\displaystyle }$b ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$} ${\displaystyle \{a\ve b,a\not b\}=\{a,b\}}}$모든 a$$, b.

그런 다음 $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle a}$ =${\displaystyle }${$$b {\$displaystyle$ a$=a=a\wedge$ b$}$인 경우에만 write b를 쓴다. 따라서 완전히 순서가 정해진 집합은 분배 격자다$.$

유한총수주문

단순 계수 인수는 비어 있지 않은 유한한 집합(따라서 비어 있지 않은 집합)이 최소 요소를 갖는지 검증한다. 따라서 모든 유한한 총질서는 사실상 양호한 질서가 된다. 직접 증명에 의해 또는 모든 우물 순서가 서수 순서에 대한 이형질이라는 것을 관찰함으로써 모든 유한한 총질서가 <에 의해 순서가 순서가 순서의 첫 번째 자연수 부분에 이형질이라는 것을 보여줄 수 있다. 즉, k 원소가 있는 세트의 전체 순서는 첫 번째 k 자연수와의 편차를 유도한다. 따라서 유한 총주문 또는 웰 오더를 순서와 관련하여 0으로 시작하거나 1로 시작하는 방식으로 순서의 유형 Ω으로 순서에 따라 인덱싱하는 것이 일반적이다.

범주론

완전 순서 집합은 부분 순서 집합 범주의 전체 하위 범주를 형성하며, 형태는 순서를 존중하는 맵으로 구성된다. 즉, 만일 b b가 f(a) f f(b)일 경우 맵 f.

두 주문을 존중하는 완전히 순서가 정해진 두 세트 사이의 편향적 지도는 이 범주에서 이형성이다.

순서 위상

완전히 순서가 정해진 X의 경우, 우리는 개방형 구간(a, b) = {x : a < x와 x < b}, (-16, b) = {x : x < b}, (a, ∞) = {x : a < x} 및 (16, ∞) = X. 이러한 개방형 구간을 사용하여 순서 집합, 즉 순서 위상에 대한 위상을 정의할 수 있다.

한 세트에 두 개 이상의 주문이 사용될 때, 특정 주문에 의해 유도된 주문 위상에 대해 이야기한다. 예를 들어 N이 자연수인 경우, <는 <에 의해 유도된 N의 순서 위상 및 >에 의해 유도된 N의 순서 위상(이 경우 그것들은 우연히 동일하지만 일반적으로는 그렇지 않을 것이다)을 참조할 수 있는 것보다 작다.

전체 순서에 의해 유도된 순서 위상은 유전적으로 정상인 것으로 나타날 수 있다.

완성도

완전히 정렬된 집합은 상한, 최소 상한의 모든 비빈 부분 집합이 있는 경우 완료된다고 한다. 예를 들어, 실수 R의 집합은 완성되었지만 이성적인 숫자 Q의 집합은 완성되지 않는다. 즉, 완성도의 다양한 개념("전체"와 혼동하지 않음)이 제약으로 이어지지 않는다. 예를 들어, 실제 숫자에 걸쳐 관계 ≤의 속성은 R에 상한이 있는 R의 모든 비 빈 부분 집합 S가 R에서 최소 상한(우월이라고도 함)을 갖는다는 것이다. 그러나 합리적인 숫자에 대해서는 이러한 우월성이 반드시 합리적이라고 할 수 없기 때문에, 같은 속성이 이성적인 숫자에 대한 관계 ≤의 제한을 유지하지 않는다.

주문 위상의 속성과 X의 완전성을 연관시킨 많은 결과가 있다.

• X의 순서 토폴로지가 연결되면 X가 완성된다.
• X는 만일 완전하고 X에 간극이 없는 경우에만 순서 위상 아래 연결되어 있다(공극은 X에서 2점 a와 b이며, X에서는 c가 < c < b>를 만족하지 않는 것이다).
• X는 순서 토폴로지에서 닫힌 모든 경계 집합이 압축된 경우에만 완료된다.

완전 주문형 집합(주문 토폴로지와 함께)은 완전 격자형이다. 예를 들어 단위 간격 [0,1]과 같이 단위 간격[0,1]과 쉽게 확장된 실수 시스템(확장된 실수 라인)이 그 예다. 이 예들 사이에는 질서를 유지하는 동형식이 있다.

주문합계

For any two disjoint total orders ${\displaystyle (A_{1},\leq _{1})}$ and ${\displaystyle (A_{2},\leq _{2})}$, there is a natural order ${\displaystyle \leq _{+}}$ on the set ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}}$, which is called the sum of the two orders or 때로는 단지 $A{\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ + ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}$$:

$x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ x$,y\in A_{1}\cup A_{2$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x\leq _{+}y}$는 다음 중 하나가 유지되는 경우에만 유지된다$$.

1. ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ x$\leq _{1}y}$
2. ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} 및$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x\leq _{2}y}$
3. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$및 $y$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}

직관적으로, 이것은 첫 번째 세트의 요소들 위에 두 번째 세트의 요소들이 더해진다는 것을 의미한다.

More generally, if ${\displaystyle (I,\leq )}$ is a totally ordered index set, and for each ${\displaystyle i\in I}$ the structure ${\displaystyle (A_{i},\leq _{i})}$ is a linear order, where the sets ${\displaystyle A_{i}}$ are pairwise disjoint, then the natural total order on ${\$$A_{i}}$은(는) 다음에 의해 정의된다.

$x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle I_{}}$ I ${\$ $x{\displaystyle y}$ y$$${\$$displaystyle x\leq$ y$}$은(는) 다음과$$ 같은 경우에 유지된다.

1. $x{\displaystyle }$${\displaystyle }$I${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle$ i$\in$ I$}$이(가) 있고 x$$ x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x\leq _{i}y}$도(가) 있다.
2. ${\displaystyle }$ $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$에 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I_{}}${\$displaystyle x\in A_{i$ y ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$가 있는 일부 < ${\displaystystyle i}$

전체 주문 세트의 데카르트 제품 주문

강도를 증가시키기 위해, 즉, 쌍의 감소, 두 개의 완전 주문 세트의 데카르트 제품에서 가능한 주문 중 세 가지는 다음과 같다.

• 사전순서: (a,b) ≤ (c,d) 만약 (a = c, b ≤ d) 또는 (a = c, b ≤ d)일 경우에만. 이건 완전 주문이야.
• (a,b) ≤ (c,d) ≤ c와 b ≤ d (제품 주문)인 경우에만. 이것은 부분적인 주문이다.
• (a,b) ≤ (c,d) (a = c 및 b < d) 또는 (a = c 및 b = d) (해당 엄격한 총 주문의 직접 생산물의 반사적 폐쇄)인 경우에만. 이것도 부분적인 주문이다.

세 가지 모두 세트가 넘는 데카르트 제품에 대해 유사하게 정의될 수 있다.

벡터 공간 R에ⁿ 적용되며, 이들 각각은 순서가 정해진 벡터 공간이 된다.

부분적으로 정렬된 집합의 예제를 참조하십시오.

R의ⁿ 하위 집합에 정의된 n개의 실제 변수의 실제 함수는 엄격한 약점 순서와 해당 하위 집합에 해당하는 총 사전 순서를 정의한다.

관련 구조물

비대칭, 전이, 반사적(꼭 총체적인 것은 아님)인 이항 관계는 부분적인 순서다.

전체 순서가 호환되는 그룹은 완전히 주문된 그룹이다.

전체 순서의 축소(상호 정의할 수 있는) 몇 개의 비경쟁 구조만 있을 뿐이다. 방향을 잊어버리면 중간 관계가 된다. 끝의 위치를 잊어버리면 순환 순서가 된다. 두 데이터를 모두 잊으면 분리 관계가 된다.^[14]

참고 항목

메모들

참조

• Garrett Birkhoff (1967). Lattice Theory. Colloquium Publications. 25. Providence: Am. Math. Soc.
• Brian A. Davey; Hilary Ann Priestley (1990). Introduction to Lattices and Order. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36766-2. LCCN 89009753.
• Fuchs, L (1963). Partially Ordered Algebraic Systems. Pergamon Press.
• 조지 그래처(1971년). 격자 이론: 첫 번째 개념과 분배 격자. W. H. 프리먼 앤 코 ISBN 0-7167-0442-0
• 존 G. 호킹과 게일 S. 젊은(1961년). 위상. 1988년 도버, 정정된 재인쇄. ISBN 0-486-65676-4
• Rosenstein, Joseph G. (1982). Linear orderings. New York: Academic Press.
• Schmidt, Gunther; Ströhlein, Thomas (1993). Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-77970-1.

외부 링크

• "Totally ordered set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]